- •И.Лакатос
- •1. Задача и догадка
- •2. Доказательство
- •3. Критика доказательства при помощи контрапримеров, являющихся локальными, но не глобальными
- •4. Критика догадки при помощи глобальных контрапримеров
- •А) Отбрасывание догадки. Метод сдачи
- •Б) Отбрасывание контрапримера. Метод устранения монстров
- •В) Улучшение догадки методами устранения исключений. Частичные исключения. Стратегическое отступление или безопасная игра
- •Г) Метод исправления монстров
- •Д) Улучшение догадки методом включения лемм. Рожденная доказательством теорема против наивной догадки
- •5. Критика анализа доказательства контрапримерами, являющимися глобальными, но не локальными. Проблема строгости. А) Устранение монстров в защиту теоремы
- •Б) Скрытые леммы
- •В) Метод доказательств и опровержений
- •Г) Доказательство против анализа доказательства. Релятивизация понятий теоремы и строгости в анализе доказательства
- •Замечание.
- •6. Возвращение к критике доказательства при помощи контрапримеров, которые являются локальными, но не глобальными. Проблема содержания а) Возрастание содержания при более глубоких доказательствах
- •Б) Стремление к окончательным доказательствам и соответствующим необходимым и достаточным условиям
- •В) Различные доказательства дают различные теоремы
- •7. Проблема пересмотра содержания а) «Наивность» наивной догадки
- •Б) Индукция как основа метода доказательств и опровержений
- •В) Дедуктивная догадка против наивной догадки
- •Г) Увеличение содержания путем дедуктивного угадывания
- •Д) Логические контрапримеры против эвристических
- •8. Образование понятий а) Опровержение при помощи расширения понятий. Переоценка устранения монстров и пересмотр понятий ошибки и опровержения
- •Б) Рожденное доказательством понятие против наивного. Теоретическая классификация против наивной.
- •В) Пересмотр логических и эвристических опровержений
- •Г) Противоположность между теоретическим и наивным расширением понятий, между непрерывным и критическим ростом
- •Д) Пределы увеличения содержания. Теоретические и наивные опровержения
- •9. Как критика может математическую истину превратить в логическую а) Бесконечное расширение понятий уничтожает смысл и истину
- •Б) Смягченное расширение понятий может превратить математическую истину в логическую
- •Литература
Замечание.
В этом отделе я попытался показать, каким образом выступление математического критицизма было движущей силой в поисках «оснований» математики.
Сделанное нами различие между доказательствомианализом доказательстваи соответствующее различениестрогости доказательстваистрогости анализа доказательства, по-видимому, является решающим. Около 1800 г.строгость доказательства(кристально ясный мысленный эксперимент или конструкция) противопоставлялась путаной аргументации и индуктивному обобщению. Именно это подразумевал Эйлер под термином «rigidademonstratio», и на этом понятии была основана идея Канта о непогрешимой математике [см. его пример математического доказательства в книге (1781), стр. 716—717]. Точно так же думали, что человек доказывает то, что он вознамерился доказать. Никому не приходило в голову, что словесное выражение мысленного эксперимента сопряжено с какой-нибудь реальной трудностью. Аристотелева формальная логика и математика были двумя совершенно раздельными дисциплинами — математики считали первую совершенно бесполезной. Доказательство мысленного эксперимента имело полную убедительность без какой-нибудь формы «логической» структуры.
В начале XIXв. поток контрапримеров вызвал смущение. Так как доказательства были кристально ясными, то опровержения должны были быть занятными шалостями, должны быть полностью отделены от несомненных доказательств. ВведеннаяКоширеволюция строгостибазировалась на эвристическом нововведении, что математик не должен останавливаться на доказательстве: он должен пойти вперед и выяснить, что именно он доказал путем перечисления исключений, или, лучше, установления безопасной области, в пределах которой доказательство является справедливым.Но Коши — или Абель — не видели какой-либо связи между обеими задачами. Им ни когда не приходило в голову, что если они открыли исключение, то им следовало бы еще раз обратить внимание на доказательство. (Другие практиковали устранение или приспособление монстров, или даже «закрывали глаза» — но все соглашались, что доказательство представляет табу и не может иметь никакого дела с «исключениями».)
Происшедший в XIXв. союз логики и математики имел два основных источника: неевклидову геометрию ивейерштрассову революцию строгости. Этот союз привел к объединению доказательства (мысленного эксперимента) и опровержений и дал возможность развивать анализдоказательства, постепенно вводя дедуктивные формы в мысленный эксперимент доказательства. Эвристическим нововведением было то, что мы назвали «методом доказательства и опровержений»:оно впервыесоединило логику и математику. Вейерштрассова строгость одержала победу над ее реакционными оппонентами с устранениями монстров и скрытыми леммами, которые пользовались лозунгами вроде «скуки от строгости», «искусственности против красоты» и т. д.Строгость анализа доказательства стала выше строгости доказательства, но большинство математиков мирилось с таким педантизмом лишь до тех пор, пока он обещал им полную достоверность.
Теория множеств Кантора, давшая еще одну жатву неожиданных опровержений «строго доказанных» теорем, обратила многих членов старой гвардии Вейерштрасса в догматиков, всегда готовых сражаться с «анархистами» при помощи устранения новых монстров или отыскания «скрытых лемм» в их теоремах, которые представляли последнее слово строгости, и в то же время карали «реакционеров» более старого типа за такие же грехи.
Затем некоторые математики поняли, что стремление к строгости анализа доказательства в методе доказательства и опровержений ведет к порочной бесконечности. Началась «интуиционистская» контрреволюция; разрушающий логико-лингвистический педантизм анализа доказательствабыл осужден и длядоказательствабыли изобретены новые экстремистские стандарты строгости, математика и логика были разведены еще раз.
Логики пытались снасти это супружество и провалились на парадоксах. Гильбертова строгость превратила математику в паутину анализов доказательстваи потребовала остановки их бесконечных спусков путем кристально ясной совместимостидоказательствс интуиционистской метатеорией. «Обосновательный слой», область не подлежащего критике предварительного знания (Uncriticisablefamiliarity), переместился в мысленные эксперименты математики. (См.Lakatos, 1962, стр. 179-184.)
При каждой «революции строгости» анализ доказательства проникал, все глубже в доказательства вплоть до «обосновательного слоя» (foundationallayer) хорошо знакомого основного знания (familiarbackgroundknowledge)*, где верховно правила кристально ясная интуиция, строгость доказательства, а критика изгонялась. Таким образом,различные уровни строгости отличаются только местом, где они проводят линию между строгостью анализа доказательства и строгостью доказательства, т. е. местом, где должен остановиться критицизм и должно начаться подтверждение. «Достоверность» никогда не может быть достигнута, «основания» никогда не могут быть обоснованы, но «хитрость разума» превращает всякое увеличение строгости в увеличение содержания, в цель математики. Но эта история лежит вне пределов настоящего исследования.