8. Образование понятий а) Опровержение при помощи расширения понятий. Переоценка устранения монстров и пересмотр понятий ошибки и опровержения

Пи. Я хотел бы сначала вернуться назад в период до Дзе­ты или даже до Омеги, к трем основным методам форми­рования теории: устранению монстров, устранению исклю­чений и методу доказательств и опровержений. Оба они начинали с одной и той же наивной догадки, но кончилиразличными теоремами и различными теоре­тическими терминами. Альфа уже очертил неко­торые аспекты этих различий¹⁴⁶, но его обзор недостато­чен — особенно в случае устранения монстров и метода доказательств и опровержений. Альфа думал, что устраняю­щая монстры теорема «за тождеством лингвистического выражения скрывает существенное улучшение» наивной догадки: он думал, что Дельта класс «наивных» многогран­ников постепенно сжимал в класс, очищенный от неэйле­ровых монстров.

Гамма. А что было дурного в обзоре Альфы?

Пи. То, что не устранители монстровсжимаютпо­нятия, это опровергателирасширяютих.

Дельта. Слушайте, слушайте!

Пи. Вернемся назад ко времени первых исследователей нашего вопроса. Они были зачарованы прекрасной симмет­риейправильныхмногогранников; они думали, что пять правильных тел содержат тайну космоса¹⁴⁷. В то вре­мя была выставлена догадка Декарта — Эйлера, и понятие многогранника включало всякого сорта выпуклые много­гранники и даже некоторые с вогнутостями. Но тогда это понятие не включало многогранников, которые не были простыми, или многогранников с кольцеобразными граня­ми. Для всех многогранников, которые тогда имелись в ви­ду, догадка в ее тогдашнем состоянии была правильна и до­казательство не имело погрешностей¹⁴⁸.

Затем выступили опровергатели. В своей критической ревности они расширяли понятие многогранника, чтобы покрыть предметы, которые были чуждыми предложен­ному истолкованию. В предположенном истол­кованиидогадка была верной, она оказалась неправиль­ной только внепредполагавшемся истолкова­нии, внесенном контрабандой опровергателями. Их «оп­ровержение» не обнаружило ниневерностив первона­чальной догадке, ниошибкив первоначальном доказа­тельстве; оно обнаружило только ложностьновойдогад­ки, которую никто не выставлял и о которой никто еще раньше не думал.

Бедный Дельта! Он храбро защищал первоначальное толкование многогранника. Он противодействовал каждо­му контрапримеру новым ограничением для спасения пер­воначального понятия...

Гамма. Но разве не Дельта изменял каждый раз сво­ей позиции? Когда мы выставляли новый контрапример, он менял свое определение на более длинное, которое обнару­живало еще одно из его скрытых «ограничений»!

Пи. Какая чудовищная переоценка устранения монст­ров! Он толькоказалсяизменяющим свою позицию. Вы несправедливо обвиняли его в пользовании потайными терминологическими эпициклами в защиту упорной идеи. Его несчастием было это пышноеОпределение 1: «Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из многоугольных граней», за которое опроверга­тели сразу же и ухватились. Но Лежандр предполагал по­крыть имтолькосвои наивные многогранники; что оно покрывало гораздо большее число, этого предложивший и не понял и не намеревался понять. Математическая публи­ка была готова проглотить чудовищное содержание, которое медленно выплывало из этого правдоподобного, невинного по виду определения. Вот почему Дельте приходилось все время лепетать: «Я думал...» и продолжать выявление сво­их бесконечных «молчаливых» ограничений; все это пото­му, что наивное понятие никогда не было закреплено, и простое, но чудовищное, непредполагавшееся определение вытеснило его. Но вообразим другую ситуацию, когда оп­ределение правильно фиксировало предположенное толко­вание «многогранника». Тогда опровергателям пришлось бы выдумывать все более длинные определения,включа­ющие монстры, скажем, для «комплексных многогран­ников»: «Комплексным многогранником называется агре­гат (реальных) многогранников, таких, что каждая пара их спаяна конгруэнтными гранями». «Грани комплексных многогранников могут быть комплексными многоугольни­ками, которые являются агрегатами (реальных) много­угольников, таких, что каждая пара их спаяна конгруэнт­ными ребрами». Такойкомплексный многогран­никбудет соответствовать рожденному опровержением понятиюмногогранникау Альфы и Гаммы — первое определение допускало также многогранники не являвши­еся простыми, а второе — грани, которые не были односвязными. Таким образом, изобретение новых определений не будет необходимым делом устранителей монстров или охра­нителей понятий — им могут также заниматься включате­ли монстров или распространители понятий¹⁴⁹.

Сигма. Понятия и определения — т. е. предположен­ные понятия и непредполагавшиеся определения — могут тогда устраивать хитрые штуки одно другому. Я никогда не думал, что образование понятий может тянуться вслед за бессознательно широким определением!

Пи. Да, может. Устранители монстров только сохраня­ют первоначальное определение, тогда как расширители понятий увеличивают его; любопытная вещь заключается в том, что расширение понятий идет скрыто; никто этого не сознает и так как «координатная система» всякого челове­ка расширяется по мере того, как увеличивается объем по­нятий, то он становится жертвой эвристического обмана зрения, что устранение монстровсужаетпонятия, тогда как в действительности оно сохраняет их неизменными.

Дельта. Тогда кто же был интеллектуально нечест­ным? Кто сделал тайные изменения в своей позиции?

Гамма. Я допускаю, что мы были неправы, обвиняя Дельту за скрытые сжатия его понятия о многограннике; .все шесть его определений означали то же самое доброе старое понятие о многограннике, которое он унаследовал от своих предков.Он определял одно и то же бед­ное понятие в возрастающем богатстве тео­ретических форм выражения или языков; устранение монстров не образует поня­тий, но только переводит определения на другой язык. Устраняющая монстры теорема не пред­ставляет улучшения наивной догадки.

Дельта. Вы считаете, что все мои определения были логически эквивалентными?

Гамма. Это зависит от вашей логической теории — по моей они, конечно, не были такими.

Дельта. Вы должны сознаться, что такой ответ не очень помогает. Но скажите мне, опровергали ли вы наив­ную догадку? Вы опровергали ее, только извращая тайком ее первоначальное толкование!

Гамма. Ну, мы опровергли ее более интересным тол­кованием, заставляющим работать воображение, как вы и не грезили.Это-то и составляет разницу между опровер­жениями, которые только обнаруживают глупую ошибку, и опровержениями, явля­ющимися большими событиями в росте знания.Если вследствие неумения считать вы нашли бы, что «для всех многогранниковV—E+F=1» и я ис­правил бы вас, то я не назвал бы это «опровержением».

Бета. Гамма прав. После откровения Пи мы могли бы колебаться называть наши контрапримерылогически­ми контрапримерами, так как они все же не явля­ются несовместными с догадкой в ее первоначально пред­полагавшемся толковании: однако они определенно будутэвристическими контрапримерами, так как побуждают рост знания. Если бы нам пришлось принять узкую логику Дельты, то знание не возрастало бы. Предпо­ложим, что кто-нибудь с узкой системой понятий познако­мится с данным Коши доказательством эйлеровой теоремы. Он найдет, что все этапы этого мысленного эксперимента легко могут быть выполнены налюбоммногограннике. Он примет как очевидный, не вызывающий сомнения «факт», что все многогранники являются простыми и что все грани односвязны. Ему никогда не придет в голову пре­вратить свои «очевидные» леммы в условия для некоторой исправленной догадки и таким образом построить теоре­му, — потому что отсутствует стимул контрапримеров, показывающих, что некоторые «тривиально истинные» леммы неверны. Таким образом, он будет думать, что «до­казательство» без всякого сомнения устанавливает истин­ность наивной догадки, что ее правильность вне всяких сомнений. Но его «уверенность» совсем не будет призна­ком успеха, она только симптом отсутствия воображения, концептуальной бедности. Она создает уютную удовлет­воренность и препятствует росту знания¹⁵⁰.