- •И.Лакатос
- •1. Задача и догадка
- •2. Доказательство
- •3. Критика доказательства при помощи контрапримеров, являющихся локальными, но не глобальными
- •4. Критика догадки при помощи глобальных контрапримеров
- •А) Отбрасывание догадки. Метод сдачи
- •Б) Отбрасывание контрапримера. Метод устранения монстров
- •В) Улучшение догадки методами устранения исключений. Частичные исключения. Стратегическое отступление или безопасная игра
- •Г) Метод исправления монстров
- •Д) Улучшение догадки методом включения лемм. Рожденная доказательством теорема против наивной догадки
- •5. Критика анализа доказательства контрапримерами, являющимися глобальными, но не локальными. Проблема строгости. А) Устранение монстров в защиту теоремы
- •Б) Скрытые леммы
- •В) Метод доказательств и опровержений
- •Г) Доказательство против анализа доказательства. Релятивизация понятий теоремы и строгости в анализе доказательства
- •Замечание.
- •6. Возвращение к критике доказательства при помощи контрапримеров, которые являются локальными, но не глобальными. Проблема содержания а) Возрастание содержания при более глубоких доказательствах
- •Б) Стремление к окончательным доказательствам и соответствующим необходимым и достаточным условиям
- •В) Различные доказательства дают различные теоремы
- •7. Проблема пересмотра содержания а) «Наивность» наивной догадки
- •Б) Индукция как основа метода доказательств и опровержений
- •В) Дедуктивная догадка против наивной догадки
- •Г) Увеличение содержания путем дедуктивного угадывания
- •Д) Логические контрапримеры против эвристических
- •8. Образование понятий а) Опровержение при помощи расширения понятий. Переоценка устранения монстров и пересмотр понятий ошибки и опровержения
- •Б) Рожденное доказательством понятие против наивного. Теоретическая классификация против наивной.
- •В) Пересмотр логических и эвристических опровержений
- •Г) Противоположность между теоретическим и наивным расширением понятий, между непрерывным и критическим ростом
- •Д) Пределы увеличения содержания. Теоретические и наивные опровержения
- •9. Как критика может математическую истину превратить в логическую а) Бесконечное расширение понятий уничтожает смысл и истину
- •Б) Смягченное расширение понятий может превратить математическую истину в логическую
- •Литература
Д) Логические контрапримеры против эвристических
Альфа. Мне нравитсяПравило 5141Дзеты так же, как иПравило 4142Омеги. Мне нравился метод Омеги за то, что он искал локальные, а не глобальные контрапримеры, как раз те самые, которые первоначальными тремя правилами Ламбды143игнорировались как логически безобидные и, следовательно, эвристически неинтересные. Омега был ими побужден к изобретению новых мысленных экспериментов: реальный прогресс в нашем знании!
Теперь Дзета вдохновляется контрапримерами, которые одновременно являются и локальными, и глобальными — прекрасными подтверждениями с логической, но не с эвристической точки зрения; хотя они и подтверждения, но все же призывают к действию. Дзета предлагает распространить, сделать усложненным наш первоначальный мысленный эксперимент, превратить логические подтверждения в эвристические, логически удовлетворительные примеры в такие, которые будут удовлетворительными и с логической, и с эвристической точки зрения.
И Омега, и Дзета стоят за новые идеи, тогда как Ламбда, и особенно Гамма, заняты лишь лингвистическими трюками с их неуместными глобальными, но не локальными контрапримерами — единственными существенными с их причудливой точки зрения.
Тета. Так что же, логическая точка зрения будет «причуднической»?
Альфа. Если этовашалогическая точка зрения, то да. Но я хочу сделать еще одно замечание. Увеличивает ли дедукция содержание или нет — заметьте, что она, конечно, это делает — она, по-видимому, наверняка гарантируетнепрерывный рост знания. Мы начинаем с одной вершины и заставляем знание расти насильственно и гармонически для выяснения соотношения между числами вершин, ребер и граней какого угодно многогранника: чистый не драматический рост без опровержений!
Тета. (Каппе). Разве Альфа потерял способность суждений? Начинают сзадачи, а не с вершины144!
Альфа. Эта постепенная, но неодолимо победоносная кампания приведет нас к теоремам, которые «не являются сами по себе очевидными, но только выведены из истинных и известных принципов при помощи постоянного и непрерывающегося действия ума, который отчетливо видит каждый шаг процесса»145. Эти теоремы никак не могут быть получены «беспристрастным» наблюдением и внезапной вспышкой интуиции.
Тета. В этой окончательной победе я все же сомневаюсь. Такого рода рост никогда не приведет нас к цилиндру — так как (1) начинает с вершины, а у цилиндра их нет. Также, может быть, мы никогда не достигнем односторонних многогранников или многогранников с большим числом измерений.
Это постепенное непрерывное распространение вполне может остановиться на какой-нибудь точке и вам придется ждать нового революционного толчка. И даже такая «мирная непрерывность» полна опровержений и критики! Что заставляет нас идти от (4) к (5), от (5) к (6) и от (6) к (7), как не постоянное давление контрапримеров, являющихся и глобальными, и локальными? В качестве подлинных контрапримеров Ламбда принимал только такие, которые являются глобальными, но не локальными: они обнаруживают ложностьтеоремы. Правильно оцененным Альфой было нововведение Омеги — в качестве подлинных контрапримеров рассматривать и такие, которые являются локальными, но не глобальными: они обнаруживают, что теорема беднаистиной. Теперь Дзета советует нам считать подлинными и такие контрапримеры, которые являются и глобальными, и локальными: они тоже обнаруживают у теоремыбедность истиной. Например, картинные рамы для теоремы Коши будут и глобальными, и локальными контрапримерами: они, конечно, будут подтверждениями, если рассматривать одну толькоистину, но опровержениями, если рассматриватьсодержание. Мы можем первые (глобальные, но не локальные) контрапримеры назватьлогическими, а остальные —эвристическими контрапримерами. Но чем больше мы признаем опровержений — логических или эвристических — тем быстрее растет знание. Логические контрапримеры Альфа считает неуместными, а эвристические контрапримеры вообще отказывается называть контрапримерами и все по причине его одержимости идеей, что рост математического знания непрерывен и критика не играет никакой роли.
Альфа- Понятие об опровержении и понятие о критике вы искусственно распространяете только для того, чтобы оправдать вашу критическую теорию роста знания. Разве лингвистические хитрости могут быть орудиями философов?
Пи. Я думаю, что обсуждение образования понятий поможет нам выяснить исход спора.
Гамма. Мы все навострили уши.