В) Пересмотр логических и эвристических опровержений

Пи. Позвольте снова обратиться к некоторым выводам, получившимся в связи с дедуктивным угадыванием. Прежде всего возьмем проблему выбора между эвристиче­скими и логическими контрапримерами, вставшую в ди­скуссии между Альфой и Тетой.

Мое изложение, я думаю, показало, что даже так назы­ваемые логические контрапримеры были эвристическими. В первоначальном понимании толкования нет несовмест­ности между

а) все многогранники будут эйлеровыми и

б) картинная рама неэйлерова.

Если мы будем придерживаться молчаливых семантиче­ских правил нашего первоначального языка, то наши контрапримеры не будут контрапримерами. Они превра­тились в логические контрапримеры только от изменения правил языка при расширении понятий.

Гамма. Вы подразумеваете, чтовсеинтересные оп­ровержения будут эвристическими?

Пи. Совершенно верно. Вы не можете поместить от­дельно, с одной стороны, опровержения и доказательства, а с другой изменения в концептуальной, таксономической и лингвистической системе. Обычно при появлении «контрапримера» вы можете выбирать: или вы отказываетесь заниматься им, так как на вашемданномязыкеL1 он совсем не контрапример, или вы согласитесь изменить ваш язык при помощи расширения понятия и принять этот контрапример на вашем новом языкеL2.

Дзета...и объяснить его наL3!

Пи. В соответствии с традиционной, не меняющейся рациональностью вы должны сделать первый выбор. Нау­ка учит нас выбирать второй.

Гамма. Иначе мы можем иметь два утверждения, которые совместны наL1, но мы переключаемся наL2, где они несовместны. Или мы можем иметь два утверж­дения, несовместные наL1, но мы переключаемся наL2, где они совместны. По мере роста знания меняются языки. «Каждый творческий период является одновременно периодом изменения языка»¹⁶¹. Рост знания нельзя промоде­лировать на любом заданном языке.

Пи. Это верно. Лингвистика занимается динамикой языка, а логика только его статикой.

Г) Противоположность между теоретическим и наивным расширением понятий, между непрерывным и критическим ростом

Гамма. Вы обещали вернуться к вопросу, может или нет дедуктивное угадывание дать непрерывное изображе­ние роста знания.

Пи. Позвольте мне сначала очертить некоторые из многочисленныхисторическихформ, которые может принять этаэвристическаякартина.

Первое основное изображениеполучается, когда наивное расширение понятий намного обгоняет тео­рию и производит большой хаос контрапримеров: наши наивные понятия ослабляются, но теоретические понятия не заменяют их. В этом случае дедуктивное угадывание может — постепенно — справиться с залежами контрапри­меров. Это будет, если хотите, непрерывное «обобщающее» изображение. Но не забывайте, что оно начинает с опро­вержений, что его непрерывность представляет постепен­ное объяснение растущей теории эвристических опровер­жений ее первой версии.

Гамма. Или «непрерывный» рост только указывает, что опровержения далеко впереди!

Пи. Это верно. Но может случиться, что каждое от­дельное опровержение, или распространение наивных по­нятий,непосредственновлечет за собой распрост­ранение теории (и теоретических понятий), которые объ­ясняют контрапример; тогда «непрерывность» уступает место возбуждающему чередованию опровержений, расши­ряющих понятия, и еще более мощных теорий,наивных расширений понятийи объяснительныхтеоре­тических расширений понятий.

Сигма. Две случайные исторические вариации на ту же самую эвристическую тему!

Пи. Ну, в действительности между ними не так уже много различия. В них обоихсила теории лежит в способности объяснить опровержения в процессе роста. Но есть ещевторое основное изображение дедуктивногоугадывания.

Сигма. Еще другая случайная вариация?

Пи. Да, если хотите. Однако в этой вариации растущая теория не толькообъясняет, но ипроизводитее опровержения.

Сигма. Что?

Пи. В этом случае теоретический рост обгоняет — и, конечно, исключает — наивное расширение понятий. На­пример, кто-нибудь начинает, скажем, с теоремы Коши без единого контрапримера на горизонте. Затем испытывают эту теорему, преобразуя многогранник всеми возможными способами: разрезая пополам, отрезая пирамидальные уг­лы, сгибая, растягивая, раздувая... Некоторые из этих идей-испытаний приведут к идеям-доказательствам¹⁶²(если мы получим результат, о котором уже было известно, что он верен, и затем: повернем назад, т. е. будем следовать папповой картине анализа-синтеза), но некоторые — вроде «испытания двойным склеиванием» Дзеты — приведут нас не назад к чему-либо уже известному, но к действительной новости, к какому-нибудь эвристическому опровержению испытываемого предложения —не при помощи расширения наивного понятия, а путем рас­ширения теоретической системы. Такое оп­ровержение само себя объясняет...

Йота. Как в диалектике! Испытания превращаются в доказательства, контрапримеры становятся примерами по самому методу их построения...

Пи. Почему диалектика? Испытания одного предложе­ния превращаются в доказательстводругогоболее глу­бокого предложения, контрапримеры первого в примеры второго. Зачем смещение называть диалектикой? Но поз­вольте вернуться к моей точке зрения: я не думаю, что мою вторую основную картину дедуктивного угадывания можно рассматривать — как хотел бы Альфа — как непре­рывный рост знания.

Альфа. Конечно, так можно. Сравните наш метод с идеей Омеги о замене одной идеи доказательства другой, радикально отличной, более глубокой. Оба метода увеличи­вают содержание, но в то время как в методе Омеги опера­ции доказательства, применимые в узкой области,заме­няютсяоперациями, применимыми в более широкой области, или более радикально, все доказательство заме­няется другим, применимым в более широкой области, — дедуктивное угадываниерасширяетданное доказатель­ство добавлением операций, расширяющих его приложи­мость. Разве это не непрерывность?

Сигма. Это верно! Из данной теоремы мы выводим цепь еще более широких теорем! Из частного случая все более и более общие случаи! Обобщение путем дедук­ции¹⁶³!

Пи. Но насытившись контрапримерами, вы когда-то признали, чтолюбоеувеличение содержания,любоеболее глубокое доказательство впереди себя имеет или порождает эвристические опровержения предшествующих более бедных теорем...

Альфа. Тета распространял понятие «контрапример», чтобы покрыть эвристические контрапримеры. Вы теперь распространяете его, чтобы покрыть эвристические контра­примеры, которые никогда реально не существуют. Вы считаете, что ваша «вторая картина» полна контраприме­рами и основана на распространении понятия контрапримера на контрапримеры с нулевой продолжительностью жизни, открытие которых совпадает с их объяснением! Но почему всякая интеллектуальная активность, всякая борь­ба за увеличение содержания в объединенной теоретиче­ской системе должна быть «критической»? Ваша догмати­ческая «критическая позиция» затемняет исход!

Учитель. Исход спора между вами и Пи безусловно темен, потому что ваш «непрерывный рост» и «критиче­ский рост» Пи вполне совместимы. Я более интересуюсьограничениями, если такие имеются, дедуктивного угадывании или «непрерывного критицизма».