Д) Пределы увеличения содержания. Теоретические и наивные опровержения

Пи. Я думаю, что рано или поздно «непрерывный» рост обязательно зайдет в тупик, достигнетточки насыще­ниятеории.

Гамма. Но, конечно, я всегда могу расширить неко­торое понятие!

Пи. Конечно.Наивноерасширение понятий может продолжаться, нотеоретическоерасширение имеет пределы. Опровержения при помощи наивного расшире­ния понятий — это только поводы, побуждающие идти вперед при помощи теоретического расширения понятий. Имеются два сорта опровержений. На первый сорт мынаталкиваемсявследствие совпадения, или счастья, или произвольного расширения какого-нибудь понятия. Они вроде чудес, их «аномальное» поведение необъяснимо, мы принимаем их как контрапримерыbonafide(добросовестно (лат).) только потому, что привыкли принимать расширяющий понятие критицизм. Я буду называть ихнаивнымиконтрапри­мерами или причудами. Далее существуюттеоретиче­ские контрапримеры: они или производятся пер­воначально от расширения доказательств, или в других случаях являются причудами, которые получаются от рас­ширенных доказательств, объясняются ими и поэтому по­вышаются до статуса теоретических контрапримеров. На причуды надо смотреть с большим подозрением: они могут быть не подлинными контрапримерами, а примерами из совершенно другой теории, если не простыми ошибками.

Сигма.Но что мы должны делать, когда застрянем? Когда не сможем превратить наши наивные контрапримеры в теоретические, расширяя наше первоначальное дока­зательство?

Пи. Мы можем снова и снова пробовать, не содержит ли наша теория какой-нибудь скрытой способности роста. Иногда, однако, могут иметься хорошие причины бросить дело. Например, как правильно указал Тета, если наше де­дуктивное угадывание начинает с вершины, то мы, конеч­но, не можем ожидать, что оно когда-нибудь может объяс­нить нам лишенный вершин цилиндр.

Альфа. Значит, все-таки цилиндр был не монстром, а причудой!

Тета. Но с причудами нужно быть осторожным! Они являютсядействительнымиопровержениями: их нельзя подогнать под образец непрерывных «обобщений» и они могут действительно заставить нас революционизи­ровать нашу теоретическую систему¹⁶⁴...

Омега. Хорошо! Для отдельной цели дедуктивного угадывания можно получитьточку относитель­ного насыщения— но тогда кто-нибудь найдет рево­люционную, новую, более глубокую идею доказательства, которая имеет большую возможность объяснить. В итоге все-таки попадаешь наокончательноедоказательст­во — без пределов, без точки насыщения, без причуд для его опровержения!

Пи.Что? Единая объединенная теория для объясне­ниявсехявлений вселенной? Никогда! Рано или поздно мы всегда приблизимся к чему-то вродеабсолютной точки насыщения.

Гамма. Мне по настоящему безразлично, придем мы к этому или нет. Если контрапример может быть объяснен дешевым,тривиальнымрасширением доказательства, то я стал бы рассматривать его уже как «причуду». Повторяю: я действительно не вижу никакого особого смысла в таком обобщении «многогранника», чтобы оно включило многогранник с полостями: это не один много­гранник, но класс многогранников. Я также хотел бы за­быть о «многосвязных гранях» — почему бы не провести недостающие диагонали? Что касается обобщения, которое включит тетраэдры-близнецы, то я схватился бы за ору­жие: это годится лишь, чтобы изготовлять сложные пре­тенциозные формулы для ничего.

Ро. Наконец-то вы снова открыли мой метод исправ­ления монстров¹⁶⁵! Он освобождает вас от узкого обобще­ния. Омега не должен был называть содержание «глуби­ной» — не всякое увеличение содержания будет увеличением глубины: подумайте о фор­мулах (6) и (7)¹⁶⁶.

Альфа. Значит, в моем ряду вы остановились на (5)?

Гамма. Да;(6) и (7) не рост, а вырождение! Вместо того чтобы идти к (6) и (7), я лучше нашел бы и объяс­нил какой-нибудь возбуждающий новый контрапример¹⁶⁷.

Альфа. По-видимому, вы все-таки правы. Но кто же решит, где остановиться? Глубина — дело только вкуса.

Гамма. А почему бы не иметь математических кри­тиков наподобие литературных для развития математиче­ского вкуса общественной критикой? Мы даже могли бы задержать волну претенциозных тривиальностей в матема­тической литературе¹⁶⁸.

Сигма. Если мы остановимся на (5) и превратим тео­рию многогранников в теорию триангулированных сфер с ручками, то как вы сможете в случае надобности спра­виться с тривиальными аномалиями, вроде объясненных в (6) и (7)?

Мю. Детская игра!

Тета. Правильно. Тогда мы остановимся на минуту на (5).Но можем ли мы остановиться?Расширение понятий может опровергнуть (5)! Мы можем игно­рировать расширение понятия, если оно дает контрапри­мер, обнаруживающий бедность содержания нашей теоремы. Но если расширение дает контрапример, который ясно показывает ее ложность, то как тогда? Мы можем отка­заться от применения наших увеличивающих содержаниеПравила 4илиПравила 5для объяснения причуды, но нам придется применить наше сохраняющее содержа­ниеПравило 2для устранения опровержения при по­мощи причуды.

Гамма. Вот это так! Мы можем отбросить «дешевые»обобщения, но вряд ли можем отбрасывать «дешевые»опровержения.

Сигма. Почему бы не построить устраняющее мон­стры определение «многогранника», добавив новое усло­вие для каждой причуды?

Тета. В обоих случаях снова вернется наш старый кошмар, порочная бесконечность.

Альфа. Пока вы увеличиваете содержание, вы разви­ваете идеи, делаете математику; после этого вы выясня­ете понятия, вы делаете лингвистику. Почему не остано­виться совсем, когда перестаешь увеличивать содержа­ние? Зачем попадаться в ловушку порочных бесконечно­стей?

Мю. Не надо опять сталкивать математику с лингви­стикой! Наука никогда не выигрывает от таких диспутов.

Гамма. Слово «никогда» скоро обратится в «скоро». Я целиком за возобновление нашей старой дискуссии.

Мю. Но мы уже кончили тупиком. Или кто-нибудь мо­жет сказать нам что-нибудь новое?

Каппа. Я думаю, что могу.