Матриця коефіцієнтів ефективності реклами

Табл.2.3

Групи товарів Вид реклами	Меблі	Комп’ютери	Парфуми	Тканини	Автомобілі
ГАЗЕТА	а11=2.8 b11=0.4	а12=2.4 b12=0.7	а13=3.2 b13=0.4	а14=4.2 b14=0.4	а15=4.8 b15=0.3
РАДІО	а21=3.9 b21=0.3	а22=3.2 b22=0.6	а23=5.6 b23=0.4	а24=2.4 b24=0.4	а25=4.6 b25=0.4
ТЕЛЕБАЧЕННЯ	а31=12.1 b31=0.4	а32=16.4 b32=0.4	а33=4.8 b33=0.5	а34=6.5 b34=0.5	а35=18.2 b35=0.5
ЩИТОВА РЕКЛАМА	а41=8.1 b41=0.4	а42=5.4 b42=0.3	а43=3.7 b43=0.8	а44=2.4 b44=0.4	а45=2.2 b45=0.4

2. Формулювання мети прийняття рішень.

Вибрати такий варіант розподілення коштів між видами реклами та групами товарів, щоб сумарний прибуток, який отримає фірма від реалізації товарів, що рекламуються був би максимальним.

3. Визначення множини допустимих альтернатив.

Під альтернативою ОПР в даній задачі розуміються двомірний вектор =, які визначають обсяг коштів, що вкладаються у кожний вид реклами для кожної групи товарів (під вектором будемо розуміти групу однорідних параметрів та позначати рисочкою над символом)

Допустимість альтернативи визначається фінансовими та логічними обмеженнями.

Фінансові обмеження

Логічні обмеження ,

Всі альтернативи, які задовольняють цим вимогам є допустимими.

4. Ідентифікація типу задачі прийняття рішення.

Мета задачі прийняття рішень породжує критерій, який дозволяє упорядкувати альтернативи: кожному з альтернативних варіантів розподілення коштів співставляється величина прибутку, який отримує фірма .Таким чином, задача розподілення коштів на рекламу є однокритеріальною, повністю визначеною задачею прийняття рішень.

5. Порівняння альтернатив та вибір рішення

1. Виключення з розгляду альтернатив, що домінуються.

Як правило, збільшення витрат на рекламу приводить до збільшення отриманого прибутку. Це означає, що альтернативи, де всі наявні кошти витрачаються не повністю. не можуть принести максимального прибутку.

Таким чином розподілу задача коштів на рекламу формалізується через наступну математичну модель:

Функція мети (2.9)

Обмеження (2.10)

, (2.11)

де - функція мети, що характеризує сумарний прибуток фірми.

2. Знаходження значення критерію для кожної з допустимих альтернатив.

Множина допустимих альтернатив є не зовсім очевидною, оскільки існує безліч варіантів розподілення коштів. Визначити значення критерію для кожної з допустимих альтернатив не виявляється можливим. Але, вважаючи на те, що ця задача належить до класу задач нелінійного математичного програмування та функція мети на відрізку є диференційованою, рішення задачі може бути отримано в термінахфункції Лагранжа.

Необхідні теоретичні відомості.

Метод множників Лагранжа полягає в отриманні умов максимуму функції у вигляді:

, (2.12)

де - функція Лагранжа (Лагранжіан), λ – множник Лагранжа,- вектор обмеженнь, який для даної задачі має вигляд.

Для всіх допустимих множник Лагранжа не змінює значення функції, тому, що повинна виконуватись умова:

(2.13)

Функція Лагранжа для умов задачі, що розглядається має вигляд:

(2.14)

Максимум функції (2.14) та одночасно функції мети (2.9) досягається в точці, де всі частинні похідні функції Лагранжа за всіма змінними тадорівнюють 0.

(2.15)

Рівняння (2.15) є необхідними умовами локального максимуму. Оскільки в задачі максимізується сума увігнутих функцій, кожний локальний максимум буде також і глобальним.

Визначимо через λ.

(2.16)

Підставляючи (2.16) в (2.13) отримуємо рівняння з одним невідомим

(2.17)

Визначаючи з (2.17) значення λ, отримуємо

, (2.18)

Практичні рекомендації