afanasev_v_n_optimalnye_sistemy_upravleniya_ana

p 0( ), f (x0 ,v, )p 0( ), f (x0 ,u0 , ) 0.

Учитывая (2.20), последнее выражение можно переписать в виде

минимум функционалу (2.23), то существует такая непрерывная вектор-

достигает максимума по всем u(t) U.

В задаче со свободным правым концом и заданным временем окончания переходного процесса условия трансверсальности (2.25) приводят к такой же структуре двухточечной краевой задачи, которая рассматривалась в разделе § 1.2. Однако, если в задаче Лагранжа управление находится при помощи условия стационарности

H(x,u, ,t) 0,

u(t)

то в задаче Понтрягина управление отыскивается с помощью условия

H(x0 ,u0 , p 0, ) max H(x0 ,v, p 0, ).

v U

Естественно, что в случае, когда U совпадает со всем пространством, а функция Понтрягина имеет один экстремум, который при этом является максимумом, оба условия дают одну и ту же функцию u0 (t).

§ 2.3. Задача с фиксированными значениями некоторых переменных состояния в заданный момент окончания переходного процесса

Доказательство принципа максимума Понтрягина для рассматриваемого случая усложняется тем, что неравенство, аналогичное (2.24), должно выполняться не для всех вариаций, а только для тех из них, которые не нарушают граничных условий.

Проведем ряд дополнительных построений для общего случая, когда значения некоторых переменных фиксированы, а время окончания переходного процесса не фиксировано.

Найдем множество концевых вариаций, получающихся вследствие воздействия нескольких игольчатых вариаций управления и вариаций времени окончания переходного процесса.

Определим вначале концевую вариацию dx(T), получаемую при воздействии одной игольчатой вариации управления и варьировании времени окончания переходного процесса:

Дадим геометрическую интерпретацию множеству концевых вариаций

иначе говоря, будем откладывать от концевой точки x(T) векторы концевых вариаций (2.32), получающиеся при всевозможных выборах q,vk , k ,lk , k 1,...,q, dT .

P

n K

Г

x00 (T) Jmin

Рис. 2.3. Конус концевых вариаций

Покажем, что К – выпуклый конус. Если dx(T) - концевая вариация, то

Так как точки, расположенные ниже оптимальной траектории, недостижимы, то множество К не может заполнить все пространство. Из этого следует, что К – конус.

Для того чтобы сделать заключение о выпуклости конуса К,

рассмотрим две произвольные вариации и dx2 (T), и пусть - произвольное неотрицательное число 0 1. Тогда

45

удовлетворяющих проварьированным граничным условиям (2.37), должно выполняться равенство

Используя выражения (2.37) и (2.39), получим условия трансверсальности в таком виде, как это уже было получено в разделе § 1.4. Для этого умножим

максимальный ранг k, то, приравнивая к нулю соответствующие k коэффициентов в (2.40), можно получить систему с ненулевым детерминантом, определяющую множители 1,..., k по i (x(T)) однозначно.

Остальные n-k условий в (2.40) равны нулю в силу независимости

позволяет осуществить перенос неравенства (2.43) из конечного времени t=T

которое, используя функцию Понтрягина (2.20), можно переписать в виде

47

Поскольку по условию dT может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то соотношение (2.49) выполняется при единственном условии

т.е. в конечный момент t=T функция Понтрягина должна быть равной нулю

Таким образом, в том случае, когда рассматриваются задачи с фиксированными значениями некоторых переменных состояния в неопределенный момент времени окончания переходного процесса, к необходимым условиям, полученным в предыдущем разделе (§ 2.3), добавляется необходимое условие трансверсальности (2.52).

Для частного случая, когда объект и функционал качества не зависят в явном виде от времени t, т.е. объект описывается уравнением

d x(t) f (x,u), x Rn , u Rr dt

и функционал имеет вид

T

J(x,u) L(x,u)dt,

t0

функция Понтрягина не зависит от времени и его полная производная по t имеет вид

Учитывая тот факт, что первые два слагаемых образуют каноническую систему, связанную с основной задачей, это выражение можно переписать:

области допустимых управлений, то равенство H(x,u, p)/ u(t) 0 не будет выполняться. В этих случаях, как правило, u(t) является постоянным,

следовательно, и опять dH(x,u, p)/dt 0. Если одно из двух этих

условий не удовлетворяется, то можно показать, что векторы H(x,u, p)/ u(t) и du(t)/dt взаимно ортогональны и, следовательно, полная производная

dH(x,u, p)/dt 0.

Таким образом,

d m[x0 (s), p0 (s)]t ds

(2.59)

H(x,u, p) x. (t) H(x,u, p) p. (t) 0.

x(t) p(t)

Поскольку H / x, H / pнепрерывны на X1 P1 U1 и x0 (t), p0 (t) существуют, то существуют и производные от m[x0 (t), p0 (t)], и на основании выражений (2.58) и (2.59) можно заключить, что

минимум функционалу (2.48) при уравнениях связи (2.46), ограничениях на

удовлетворяющая сопряженной системе (3.18) и условиям трансверсальности (2.40) и (2.52), что при каждом функция Понтрягина достигает максимума при оптимальном управлении u0 (t) U.

Для частного случая, когда объект и функционал качества не зависят в явном виде от времени, максимальное значение функции Понтрягина, принимаемое на оптимальной траектории, постоянно и равно нулю.

Рассмотрим случай, когда ограничения на правом конце задаются в виде функций, т.е. в момент окончания переходного процесса состояние системы должно отвечать следующему условию:

i(x(T),T) 0, i ,...,k, k n 1. (2.62)

Вывод необходимых условий проведем с помощью редукции этой задачи к задаче, уже рассмотренной выше.

Введем обозначение xn 1(t) t

и рассмотрим систему

В такой формулировке эта задача, с одной стороны, эквивалентна задаче уже рассмотренной выше, а с другой, является частным случаем задачи § 2.3 (частным - в силу того, что время окончания переходного

51