Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

afanasev_v_n_optimalnye_sistemy_upravleniya_ana

.pdf
Скачиваний:
9
Добавлен:
29.03.2016
Размер:
1.77 Mб
Скачать

p 0( ), f (x0 ,v, )p 0( ), f (x0 ,u0 , ) 0.

Учитывая (2.20), последнее выражение можно переписать в виде

 

 

 

 

 

 

 

(2.28)

H(x0 ,u0 , p 0, ) H(x0 ,v, p 0, )

или

 

H(x0 ,u0 ,

 

0, ) max H(x0 ,v,

 

0, ).

(2.29)

p

p

 

 

v U

 

Таким образом, если управление u0 (t) и

траектория x0 (t) доставляют

минимум функционалу (2.23), то существует такая непрерывная вектор-

 

 

 

 

 

 

 

функция

 

p T (t) p0(t), p1(t),...,pn ,

удовлетворяющая уравнению (2.18) и

условию

(2.25), что при t [t0 ,T]

функция Понтрягина H(x0 ,u0 ,

 

0,t) (2.20)

p

достигает максимума по всем u(t) U.

В задаче со свободным правым концом и заданным временем окончания переходного процесса условия трансверсальности (2.25) приводят к такой же структуре двухточечной краевой задачи, которая рассматривалась в разделе § 1.2. Однако, если в задаче Лагранжа управление находится при помощи условия стационарности

H(x,u, ,t) 0,

u(t)

то в задаче Понтрягина управление отыскивается с помощью условия

H(x0 ,u0 , p 0, ) max H(x0 ,v, p 0, ).

v U

Естественно, что в случае, когда U совпадает со всем пространством, а функция Понтрягина имеет один экстремум, который при этом является максимумом, оба условия дают одну и ту же функцию u0 (t).

§ 2.3. Задача с фиксированными значениями некоторых переменных состояния в заданный момент окончания переходного процесса

Доказательство принципа максимума Понтрягина для рассматриваемого случая усложняется тем, что неравенство, аналогичное (2.24), должно выполняться не для всех вариаций, а только для тех из них, которые не нарушают граничных условий.

Проведем ряд дополнительных построений для общего случая, когда значения некоторых переменных фиксированы, а время окончания переходного процесса не фиксировано.

Найдем множество концевых вариаций, получающихся вследствие воздействия нескольких игольчатых вариаций управления и вариаций времени окончания переходного процесса.

Определим вначале концевую вариацию dx(T), получаемую при воздействии одной игольчатой вариации управления и варьировании времени окончания переходного процесса:

d

 

(T) lim

x*(T dT) x(T)

,

x

 

 

 

0

 

 

 

 

43

где dT - произвольное положительное или отрицательное число. Учитывая, что

x*(T dT) x*(T) f (x,u,T) dT 0( ),

получим

 

 

 

x*(T) x(T) f (x,u,T)dT

 

0( )

 

 

 

 

 

dx(T) lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(T) f (x,u,T)dT.

Содержательный смысл концевой вариации dx(T)такой же, как и полной вариации dx(T) из раздела § 1.4.

Рассмотрим теперь результат воздействия игольчатого варьирования на нескольких отрезках траектории, т.е. результат воздействия управления:

v

если t [

 

,

 

 

l

 

],

(2.30)

u*(t)

0k ,

 

 

 

k

 

 

k

 

k

k 1,...,q.

u

(t),

если t [ k ,

k

lk ],

 

Обозначим через

 

k (t)

вариацию фазовой траектории, получающейся

x

при независимом воздействии одной игольчатой вариации uk (t). Вариация

xk (t)зависит от выбора параметров vk , k , lk , определяющих игольчатую

вариацию uk (t). Для нас будет интересна зависимость xk (t) только от lk :

xk (t) xk (t,lk ).

(2.31)

Поскольку дифференциальное уравнение (2.16), решением которого

является

 

k (t), линейное, а в начальные условия (2.17) параметр lk

входит

x

как множитель, то выражение (2.31) можно переписать в виде

 

xk (t) lk xk (t,1),

где xk (t,1)- вариация фазовой траектории, соответствующая игольчатому варьированию с параметрами vk , k , lk 1.

Обозначим через x суммарную вариацию, получающуюся при управлении (2.30). На основании линейности управлений (2.16) суммарная вариация x (t) равна сумме вариаций

qq

x (t) xk t lk xk t,1 .

k 1

k 1

Полная вариация dx(T), вызванная воздействием управления (2.30) и вариацией времени окончания переходного процесса, будет иметь вид

 

 

q

 

d

 

(T) lk

 

k (T,1)

 

(x0,u0 ,T)dT .

(2.32)

x

x

f

 

 

k 1

 

Совокупность векторов dx(T) образует множество К, которое является выпуклым конусом. (Множество К называется выпуклым конусом, если: 1) для любой точки М множества К, отличной от вершины Р, радиус РМ целиком содержится в этом множестве; 2) отрезок М1М2 , соединяющий произвольные точки М1 и М2 множества, принадлежит этому множеству). Конус К называют конусом концевых вариаций.

44

dx1(T)

Дадим геометрическую интерпретацию множеству концевых вариаций

(2.32). В (n+1) - мерном фазовом пространстве X переменных

x0 ,x1,...,xn

будем рассматривать множество К, состоящее из точек

 

K :

 

(T) d

 

(T) ,

(2.33)

x

x

иначе говоря, будем откладывать от концевой точки x(T) векторы концевых вариаций (2.32), получающиеся при всевозможных выборах q,vk , k ,lk , k 1,...,q, dT .

P

n K

Г

x00 (T) Jmin

x1

x(t0 )

x2

 

 

x0

Рис. 2.3. Конус концевых вариаций

Покажем, что К – выпуклый конус. Если dx(T) - концевая вариация, то

и dx(T),

0,

является

концевой вариацией. Чтобы убедиться в этом,

достаточно, согласно (2.32), ввести обозначения:

 

 

l1 l

k

,

dT dT .

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

1

 

 

 

 

точкой x

 

 

(T) множество К

Следовательно,

вместе с

каждой

(T) d

 

x

содержит и луч

 

(T) d

 

(T), 0,

т.е. множество К имеет вершину в точке

x

x

 

 

(T).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как точки, расположенные ниже оптимальной траектории, недостижимы, то множество К не может заполнить все пространство. Из этого следует, что К – конус.

Для того чтобы сделать заключение о выпуклости конуса К,

рассмотрим две произвольные вариации и dx2 (T), и пусть - произвольное неотрицательное число 0 1. Тогда

45

[x(T) dx1(T)] (1 )[x(T) dx2 (T)]

q1

x(T) [ lk1 xk1 (T,1) f (x0 ,u0T)dT1]

k1

q2

(1 )[ lk2 xk2 (T,1) f (x0 ,u0T)dT2 ].

k2

Обозначив

 

 

 

 

 

 

 

 

l1

l

k

, l2 (1 )l

k

 

, dT dT (1 )dT ,

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

2

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q1

 

 

 

 

 

 

 

q2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

(T) lk1

 

x

k (T,1) lk2

x

k (T,1),

получим

 

 

 

 

 

 

 

k1

 

 

 

 

 

 

 

k2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[

 

 

(T) d

 

 

1(T)] (1 )[

 

(T) d

 

2

(T)]

 

 

 

x

x

x

x

(2.34)

 

 

 

(T)

 

 

(T)

 

 

(x0 ,u0 ,T)dT.

 

 

 

 

 

x

x

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как

 

 

 

(T)- вершина конуса, а вид второго и третьего слагаемого

 

 

 

 

 

 

x

(2.34) такой же, как и (2.32),

 

то отрезок,

соединяющий вариации d

 

1(T) и

 

x

dx2 (T), входит в конус концевых вариаций. Иными словами, вместе с двумя

точками x(T) dx1(T)и x(T) dx2 (T) конус К содержит отрезок (2.34), соединяющий эти точки, т.е. К – выпуклый конус. Поэтому через вершину Р (рис. 2.3) можно провести гиперплоскость Г таким образом, что конус будет расположен в одном из полупространств (в общем случае возможно существование нескольких гиперплоскостей Г). Проведем теперь через точку Р «направленную вниз» нормаль n к гиперплоскости Г. Для любого вектора

dx(T) K будет справедливо

 

n,dx(T) 0.

(2.35)

Используя это соотношение, выведем принцип максимума Понтрягина. Вернемся к постановке задачи. Пусть граничные условия системы

 

d

x(t) f (x,u,t),

x Rn , u Rr

 

 

 

 

 

dt

 

 

имеют вид

 

 

 

x(t0 ) x0 ,

 

(2.36)

i (x(T)) 0, i 1,...,k, k n,

t0 , T задано,

причем функции i (x(T)) непрерывны и непрерывно дифференцируемы, а

якобиан i(x(T)/ x(T) имеет свой максимальный ранг k (в этом случае

говорят, что правый конец принадлежит (n-k) - мерному гладкому многообразию).

Концевые вариации dx(T) не должны нарушать граничных условий (3.36), т.е. должно выполняться соотношение

i

(x(T))

 

(2.37)

 

 

, dx(T) ,

i ,...,k.

 

 

x(T)

 

 

46

В качестве конечного значения вектор - функции

p(T) выберем вектор

nT (n0, n1,...,nn ), т.е.

 

 

 

(T) n.

(2.38)

 

p

Поскольку вектор

 

(T) выбран в виде (2.38),

то для любых dx(T),

p

удовлетворяющих проварьированным граничным условиям (2.37), должно выполняться равенство

p(T),dx(T) 0.

(2.39)

Используя выражения (2.37) и (2.39), получим условия трансверсальности в таком виде, как это уже было получено в разделе § 1.4. Для этого умножим

каждое уравнение

 

(2.37)

на i , сложим полученные выражения, а затем

результат вычтем из уравнения (2.39). Тогда получим

 

 

n

k

 

 

(x(T))

 

 

pj (T) i

 

i

 

 

dxj (T) 0.

(2.40)

 

x (T)

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

j 1

 

 

 

 

 

 

 

Из выражения (2.40) получаем, что

 

 

k

 

(x(T))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pj (T) i

 

 

i

 

, j 1,...,n.

(2.41)

 

xj (T)

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как,

по

 

предположению, якобиан

 

 

 

i(x(T))/ x(T

 

 

 

имеет свой

 

 

 

 

 

максимальный ранг k, то, приравнивая к нулю соответствующие k коэффициентов в (2.40), можно получить систему с ненулевым детерминантом, определяющую множители 1,..., k по i (x(T)) однозначно.

Остальные n-k условий в (2.40) равны нулю в силу независимости

оставшихся вариаций.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В силу выбора

 

(T) n (2.38) неравенство (2.35) можно переписать в

p

виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(T), d

 

 

(T) 0.

 

 

 

 

 

 

(2.42)

 

 

 

p

x

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку в настоящем разделе рассматривается задача с

фиксированным временем окончания переходного процесса,

то dT=0 и

d

 

(T)

 

(T), так что неравенство (2.42) можно переписать в виде

 

x

x

 

 

 

 

 

(T),

 

(T) 0.

 

 

 

 

 

 

(2.43)

 

 

 

p

x

 

 

 

 

 

 

 

 

Согласно (2.19)

выражение

 

(t),

 

(t) const для t T .

Этот факт

 

 

p

x

позволяет осуществить перенос неравенства (2.43) из конечного времени t=T

в момент времени t ,

при котором

осуществлялось игольчатое

варьирование:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(T),

 

 

(T)

 

( ),

 

( )

0.

(2.44)

 

p

x

p

x

Подставляя в (2.44) выражение (2.17) для

 

( )при x0 ( ), u0 ( ), получим

x

неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0( ),

 

(x0 ,v, )

 

 

0( ),

 

(x0 ,u0 , ) 0,

 

 

 

 

p

f

p

f

 

 

 

которое, используя функцию Понтрягина (2.20), можно переписать в виде

47

H(x0 ,v, p, ) H(x0 ,u0 , p, ),

или окончательно

 

 

 

 

 

 

H(x0 ,u0 , p, )) max H(x0 ,v, p, ) .

(2.45)

 

 

v U

 

Таким образом, если управление u0 (t) и траектория

x0 (t) доставляют

минимум функционалу (2.23) при уравнениях связи (2.22) и краевых условиях (2.36), то существует такая ненулевая непрерывная вектор -

функция

 

 

 

 

 

 

 

 

,

удовлетворяющая

условиям

p T (t) (p

 

, p ,...,p

n

), p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

трансверсальности (2.41),

что

при

каждом t [t0 ,T] функция

Понтрягина

достигает при оптимальном управлении u0 (t)максимума по всем u(t) U . Отметим, что при свободном правом конце условия трансверсальности

(2.41) дают

pj (T) 0, j 1,...,n,

что совпадает с результатами предыдущего параграфа.

§ 2.4. Задача с фиксированными значениями некоторых переменных состояния в неопределенный момент окончания переходного процесса

Управляемый объект описывается нелинейным векторным дифференциальным уравнением вида (2.1)

 

d

x(t) f (x,u,t), x Rn ,

,u Rr

(2.46)

 

 

 

dt

 

 

с граничными условиями

 

 

 

x(t0 ) x0 ,

 

(2.47)

i (x(T),T) 0, i 1,...,k,

k n,

t0 задано.

Требуется отыскать управление u(t) U , доставляющее минимум функционалу

T

(2.48)

J(x,u) L(x,u,t)dt.

t 0

 

Положив сначала dT=0 и повторяя рассуждения раздела § 2.3, получим, что необходимые условия рассматриваемой задачи содержат в себе все необходимые условия, установленные для задачи с заданными значениями некоторых переменных состояния в заданный момент окончания

переходного

 

 

процесса

(§ 2.3). Далее

вернемся к

неравенству (2.35)

n,d

 

(T) 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

концевую вариацию

d

 

(T)(2.32)

при lk 0

k 1,...,q

 

 

x

(игольчатые вариации отсутствуют), и при dT 0 будем иметь

 

 

 

d

 

 

(T)

 

 

(x0 ,u0 ,T)dT .

 

 

 

 

(2.49)

 

 

x

 

f

 

 

 

 

Подставляя (2.49)

в (2.42), получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(T),

 

 

(x ,u ,T)dT

.

 

 

 

 

(2.50)

 

 

 

p

 

f

 

 

 

 

48

du/dt

Поскольку по условию dT может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то соотношение (2.49) выполняется при единственном условии

 

 

 

 

(2.51)

p(T), f (x0,u0,T) 0,

т.е. в конечный момент t=T функция Понтрягина должна быть равной нулю

 

 

 

 

H(x ,u , p,T) .

(2.52)

Таким образом, в том случае, когда рассматриваются задачи с фиксированными значениями некоторых переменных состояния в неопределенный момент времени окончания переходного процесса, к необходимым условиям, полученным в предыдущем разделе (§ 2.3), добавляется необходимое условие трансверсальности (2.52).

Для частного случая, когда объект и функционал качества не зависят в явном виде от времени t, т.е. объект описывается уравнением

d x(t) f (x,u), x Rn , u Rr dt

и функционал имеет вид

T

J(x,u) L(x,u)dt,

t0

функция Понтрягина не зависит от времени и его полная производная по t имеет вид

dH(x,u, p)

H(x,u, p) x(t) H(x,u, p)

p(t)

H(x,u, p)u(t).

 

 

 

 

 

.

 

 

 

.

 

.

dt

 

 

(t)

 

 

 

(t)

 

u(t)

x

p

 

Учитывая тот факт, что первые два слагаемых образуют каноническую систему, связанную с основной задачей, это выражение можно переписать:

 

dH(x,u, p)

 

 

H(x,u, p)

 

du(t)

.

 

 

 

 

dt

u(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

Внутри множества U необходимое условие максимума Н состоит в том,

чтобы dH(x,u,

 

)/du(t) 0.

Отсюда следует

равенство dH(x,u,

 

)/dt 0. Если

p

p

максимум Н (минимума функционала J)

достигается только на замыкании

области допустимых управлений, то равенство H(x,u, p)/ u(t) 0 не будет выполняться. В этих случаях, как правило, u(t) является постоянным,

следовательно, и опять dH(x,u, p)/dt 0. Если одно из двух этих

условий не удовлетворяется, то можно показать, что векторы H(x,u, p)/ u(t) и du(t)/dt взаимно ортогональны и, следовательно, полная производная

dH(x,u, p)/dt 0.

Таким образом,

max H(x,u, p) 0, t [t

0 ,T].

(2.53)

u U

 

 

 

 

Покажем несколько иным способом, что функция

H(x,u,

 

) постоянна

p

на интервале [t0 ,T]. Для

этого воспользуемся

дополнительным

 

 

49

предположением, что множество точек, в которых u0 (t) непрерывно,

обладает свойством: если t [t0 ,T]-

точка,

в которой u0 (t)

- непрерывно, то

u*(t) непрерывно

для

всех

 

t [t0 ,t*],

достаточно

близких

к

t .

Это

предположение справедливо, если u*(t) имеет конечное число разрывов.

 

 

 

Пусть t1

и

 

t2 -

элементы из

[t0 ,T],

причем t1 > t2

и

функция

u0 (t)непрерывна на интервале

[t1,t2 ].

Покажем, что

функция

H(x0 ,u0 ,

 

0)

p

постоянна на этом интервале. Так

как

 

x0 , u0 ,

 

0 непрерывны

на

этом

 

p

интервале, то множества

 

 

] , u0

 

 

 

 

]

 

 

 

 

 

 

 

x0 (t):t [t

,t

2

] , p(t):[t ,t

2

(t):[t ,t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ограничены и, следовательно, имеет соответствующие

компактные

замыкания X1, P1,U1 . Функция H(x,u,

 

) непрерывна на

компактном

p

множестве X1, P1,U1

и имеет,

в

силу

сделанных

предположений,

непрерывные

частные

производные

по

 

x(t), p(t)на этом

компактном

множестве.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим действительную функцию m от x(t) и p(t), приняв

 

 

 

m(x, p) supH(x,u, p).

 

 

 

 

 

 

 

(2.54)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как u0 (t)непрерывно на интервале [t1,t2 ], то из соотношения (2.45)

можно заключить, что

 

 

 

 

 

 

 

(2.55)

 

 

 

m(x0 , p0 ) H(x0 ,u0,

 

 

0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

для t из [t1,t2 ], и поэтому функция m(x0 , p0 )

непрерывна. Предположим, что t

и t* - различные точки из [t1,t2 ], тогда получим

 

 

 

m(x0 (t*), p0 (t*)) H(x0 (t*),u0 (t),

 

 

0(t*)),

(2.56)

 

 

p

и поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m(x0 (t*), p

0 (t*)) m(x0 (t), p0 (t))

(2.57)

H(x0 (t*),u0 (t),

 

 

0(t*)) H(x0 (t),u0 (t),

 

 

0(t)).

p

 

p

 

 

Если t*>t, то из неравенства (2.57) можно найти

 

 

 

 

m(x0 (t*), p0 (t*))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t* t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H(x0 (t*),u0 (t),

 

0(t*)) H(x0 (t),u0 (t),

 

0(t))

 

 

 

 

p

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t* t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как производные x 0(t),

p 0(t) существуют и H / x, H / p непрерывны, то

при t* t

 

справа получается соотношение

 

 

 

d

m[x0 (s), p0 (s)]t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ds

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.58)

 

 

H(x,u, p) .

H(x,u, p) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

p(t) 0

 

 

 

x(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(так как

x0 (t), p0 (t) удовлетворяют каноническим уравнениям). Аналогично

при t* t

 

слева имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

50

t [t0 ,T]

d m[x0 (s), p0 (s)]t ds

(2.59)

H(x,u, p) x. (t) H(x,u, p) p. (t) 0.

x(t) p(t)

Поскольку H / x, H / pнепрерывны на X1 P1 U1 и x0 (t), p0 (t) существуют, то существуют и производные от m[x0 (t), p0 (t)], и на основании выражений (2.58) и (2.59) можно заключить, что

 

d

m[x0 (s), p0 (s)] 0.

 

(2.60)

 

 

 

 

ds

 

 

С помощью соотношений

 

 

 

H(x (T),u (T),

 

(T))

 

 

p

 

и (3.55) найдем

 

(2.61)

 

H(x (t),u (t),

 

(t)) ,

t [t ,T].

 

p

Таким образом, если управление u0 (t) и траектория

x0 (t) доставляют

минимум функционалу (2.48) при уравнениях связи (2.46), ограничениях на

управление

u(t) U и краевых условиях

(3.47),

то существует

такая

непрерывная

ненулевая

функция

 

T (t)

p0(t), p1(t),...,pn (t) ,

p0 0,

p

удовлетворяющая сопряженной системе (3.18) и условиям трансверсальности (2.40) и (2.52), что при каждом функция Понтрягина достигает максимума при оптимальном управлении u0 (t) U.

Для частного случая, когда объект и функционал качества не зависят в явном виде от времени, максимальное значение функции Понтрягина, принимаемое на оптимальной траектории, постоянно и равно нулю.

Рассмотрим случай, когда ограничения на правом конце задаются в виде функций, т.е. в момент окончания переходного процесса состояние системы должно отвечать следующему условию:

i(x(T),T) 0, i ,...,k, k n 1. (2.62)

Вывод необходимых условий проведем с помощью редукции этой задачи к задаче, уже рассмотренной выше.

Введем обозначение xn 1(t) t

и рассмотрим систему

 

d

 

 

(t)

 

(x,u,xn 1),

d

xn 1(t) 1,

 

 

 

 

x

f

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

(2.63)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

(t)

f (x

,u,xn 1)

 

 

(t),

d

pn 1(t) pi (t)

fi (x,u,xn 1)

.

 

p

p

 

dt

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(t)

 

 

 

 

 

j 1

xn 1

Условия на правом конце перепишем в виде

 

 

i (x(T),xn 1(T)) 0,

i 1,...,k.

 

 

 

В такой формулировке эта задача, с одной стороны, эквивалентна задаче уже рассмотренной выше, а с другой, является частным случаем задачи § 2.3 (частным - в силу того, что время окончания переходного

51

процесса в явном виде не задано). Определим функцию Понтрягина для рассматриваемой задачи в виде

HH(x,u, p,xn 1) pn 1

ивыпишем необходимые условия оптимальности. Согласно (2.45) имеем

H(x0 ,u0 ,

 

, 0 xn 1) pn 1

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

(2.64)

max[H(x0 ,u0 , p, 0 xn 1) pn 1].

 

 

 

 

u U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку pn 1( )

не зависит от управления, то

выражение (2.64)

после

обратной замены t xn 1 запишется в форме (2.45).

 

 

Условия трансверсальности (2.40) и (2.52) дают

 

H(x0 ,u0 ,

 

 

, 0 xn 1) pn 1 0,

 

 

p

 

 

pn 1(T) H(x0 ,u0 ,

 

0 ),

 

 

(2.65)

p

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pj (T) j

i (x(T),T)

,

j 1,...,n,

(2.66)

 

 

 

 

i 1

xj (T)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

i (x(T),T)

 

 

 

 

pn 1(T) j

.

 

(2.67)

T

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

Сравнивая (2.65) и (2.67), можно записать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

H(x0 ,u0 ,

 

0,T) j

i (x(T),T)

.

Таким образом,

если

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

xj (T)

 

 

управление u0 (t) и траектория x0 (t) доставляют минимум функционалу (2.48) при уравнениях связи (2.46), ограничениях на управление u(t) U и краевых

условиях (2.62), то существует

такая непрерывная ненулевая

функция

 

 

T (t) p0(t), p1(t),...,pn (t) , p0 0,

удовлетворяющая сопряженной

системе

 

p

(2.18) и условиям трансверсальности (2.66) и (2.67), что при каждом t [t0 ,T] функция Понтрягина достигает максимума при оптимальном управлении u0 (t) U.

§ 2.5. Задача об оптимальном быстродействии

Сформулируем задачу об оптимальном быстродействии для подвижной области St. Дана система

 

 

 

 

 

 

d

x(t) f (x(t),t) B(x(t),t)u(t), x Rn , u Rr .

 

 

(2.68)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

Предположим:

 

 

j 1,...,r - элементы

матриц

f

и

B

 

 

 

fi (x(t),t),

bi j

(x(t),t), i 1,...,n,

соответственно непрерывны относительно x(t) и t ;

 

 

 

 

 

 

 

f

 

(x(t),t)

 

f

(x(t),t)

bi j (x(t),t)

bi j (x(t),t)

по x(t)

 

t

 

2)

 

i

 

 

 

 

,

 

i

 

 

,

 

,

 

непрерывны

и

для

 

xk (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

xk (t)

t

 

 

 

 

i,

k 1,...,n,

j 1,...,r .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предположим, что компоненты вектора управления u(t) u1(t),...,ur (t)

ограничены по величине соотношением

 

 

 

 

 

uj (t)

 

1, j 1,...,r

для любого t или u(t) U .

 

 

(2.69)

 

 

 

 

52

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]