afanasev_v_n_optimalnye_sistemy_upravleniya_ana

Нетрудно видеть, что управление, синтезированное с использованием функционала (9.19), будет являться функцией оценки x(t), т.е. u(t) G(t)x(t), где матрица G(t)будет найдена позже. Таким образом, функционал J3( ,x,u) J3( ,x) будет иметь вид

уравнение Винера – Хопфа, которое является в данном случае необходимым и достаточным условием минимума среднеквадратичной ошибки наблюдения, т.е. минимума функционала (9.18). В этом нетрудно убедиться, использовав методику поиска оптимального оператора фильтра, примененную в разделе

§ 8.3.

Таким образом, если удастся построить оптимальную оценку в смысле минимума функционала (9.18), то функционал J3( ,x) обращается в нуль. В силу этого задача построения оптимального управления с позиций функционала (9.15) разбивается на две подзадачи:

1.построения оценки x(t) процесса x(t) по наблюдениям y(t), обеспечивающей минимум функционалу (9.18);

2.синтез оптимального управления с использованием функционала

(9.19).

Это и есть «теорема разделения».

Задача, сформулированная в п.1, является типичной задачей фильтрации. Поэтому, учитывая результаты главы 8, оптимальный фильтр будет иметь вид

статистически эквивалентна оценке, полученной как решение уравнения (9.22) и, в силу этого, уравнение (9.30) можно использовать при синтезе статистически оптимального управления u(t).

Задача построения оптимального управления для системы вида (9.30), возбуждаемой процессом типа «белый» шум, с квадратичным критерием качества вида (9.19) рассмотрена в предыдущем разделе настоящей главы. Управление описывается следующим уравнением

Управление (9.31), являясь оптимальным управлением для наблюдателя (9.22), в силу принципа статистической эквивалентности является и оптимальным для исходной системы (9.11).

Итак, в данном разделе рассмотрен довольно мощный метод аналитического конструирования регуляторов для систем, содержащих аддитивные «белые» шумы в уравнениях системы и измерении координат ее состояния. Этот метод заключается в создании наблюдателя, вырабатывающего оценку состояния системы и играющего роль ее модели. При этом получается, что размерность векторов состояний системы и наблюдателя одинаковы, т.е. модель системы должна быть адекватна в определенном смысле исходной системе.

При применении на практике методов, разработанных в общей теории оптимальных систем (в данном случае метода, который излагается в данном разделе), зачастую возникают значительные трудности из-за сложности объектов управления (многомерность, многосвязанность, наличие существенных нелинейностей), невозможность получения достаточной информации о состоянии объекта и т.д. При решении таких задач закономерен подход, заключающийся в построении «упрощенной» модели системы, синтезе управлений на этой модели и использование полученных управлений на реальном объекте. Эффективность управления в этом случае зависит в первую очередь от адекватности построенной модели процессам, протекающим в исходной системе. При этом предполагается исследование вопросов устойчивости замкнутой системы и точности управления.

165

Литература для дополнительного изучения

1.Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление.

– М.: Наука, 1979.

2.Анрион Р. Теория второй вариации и ее приложения в оптимальном управлении. – М.: Наука, 1979.

3.Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. – М.: Машиностроение,

1968.

4.Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. – М.: Высшая школа, 2003.

5.Балакришнан А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве. – М.: Мир, 1974.

6.Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. – М.: Наука, 1967.

7.Белман Р., Энджел Э. Динамическое программирование и уравнения в частных производных. – М.: Мир, 1974.

8.Бутковский А.Г. Структурная теория распределенных систем. – М.:

Наука, 1977.

9.Бутковский А.Г., Пустыльников Л.М. Теория подвижного управления системами с распределенными параметрами. – М.: Наука, 1980.

10.Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. – М.:

Наука, 1979.

11.Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. – М.:

Наука, 1973.

12. Гайшун И.В. Введение в теорию линейных нестационарных систем. –

Минск.: Изд. Института математики НАН Беларуси.

13.Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. – М.: Наука,

1985.

14.Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. – М.: Наука, 1970.

15.Зубов В.И. Лекции по теории управления. – М.: Наука, 1975.

16.Квакернаак Ч., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления.

М.: Мир, 1977.

17.Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость управляемых систем. –

МИЭМ. М., 1987.

18.Красовский А.А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. – М.: Наука, 1973.

19.Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. - М.: Наука,

1970.

20.Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления.

– М.: Наука, 1973.

21.Летов А.М. Динамика полета и управление. – М.: Наука, 1969.

22.Летов А.М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. – М.:

Наука, 1962.

23.Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. – М.: Гостехиздат, 1950.

169