afanasev_v_n_optimalnye_sistemy_upravleniya_ana

Найдем значение функционала качества, принимаемое при оптимальном управлении и соответствующей ему оптимальной траектории. Для этого в подынтегральную часть функционала качества (5.5) добавим

Таким образом, оптимальное (минимальное) значение функционала зависит как от начального состояния объекта x(t0), так и от его структурно – параметрической характеристики, сосредоточенной в полученном выражении значения матрицы K(t0).

Доказывая положительную определенность матрицы K(t), допустим, что при t=t1<T матрица K(t) не является положительно определенной. Тогда

нарушается положение: если u(t) 0,то J(x,u)>0, которое следует из положительной полуопределенности матриц F и Q(t) и положительной определенности матрицы R(t). Поэтому матрица K(t) должна быть положительно определенной.

Покажем, что J0(x,u) является решением дифференциального уравнения в частных производных Гамильтона – Якоби и что оно удовлетворяет граничным условиям.

Заметим, что при t=T уравнение (5.30) запишется в виде

Уравнение Гамильтона – Якоби для системы (5.4) и функционала (5.5) имеет вид

J0 (x(t),t)

t

Стоящее в скобках выражение минимизируется управлением

T

u(t) R 1(t)BT (t) J0 (x(t),t) . (5.33)

x(t)

Подставляя соотношение (5.33) в уравнение (5.32), получим

94

С учетом последнего уравнение (5.34) принимает вид

Таким образом, K(t) удовлетворяет решению уравнения Риккати (5.22).

оптимальное значение критерия качества

J0 (x,u) 1 xT (t0 )K(t0 )x(t0 ), 2

что совпадает с полученными ранее результатами.

Отметим, что оптимальная система с обратной связью, полученная в данном разделе, линейна, но имеет переменные параметры. Это справедливо и в том случае, когда матрицы A(t), B(t), Q(t), R(t) не зависят от времени, а интервал [t0,T] конечен.

Предположим, что указанные матрицы не зависят от времени (постоянные на всем интервале управления системой), матрица F=0 и интервал управления T . Таким образом, задача формулируется в следующем виде. Дан объект

x(t0 ) x0

и задан функционал качества

2 0

где матрицы Q и R положительно определены.

95

Требуется построить управление, минимизирующее функционал (5.37) на объекте (5.36) при условии, что на управление не наложены ограничения.

Очевидно, что матрица K(t) будет являться решением уравнения Риккати, которое должно удовлетворять граничному условию K(T)=0.

Оптимальное управление существует, единственно и определяется уравнением

где K - постоянная положительно определенная матрица размера n x n, являющаяся решением нелинейного матричного алгебраического уравнения:

Можно показать, что из предположения об управляемости системы

(5.36) и из F=0 следует существование lim K(T), его единственность, а также

T

равенство

lim K(T) K,

T

где K - положительно определенная матрица, являющаяся решением алгебраического уравнения (5.39).

Оптимальная траектория определяется решением линейного инвариантного однородного дифференциального уравнения

x(t0 ) x0 .

Минимальное значение функционала качества равно

Отметим, что собственные значения матрицы G A BR 1BT K должны иметь отрицательные действительные части и поэтому оптимальная система (5.40) устойчива. Только в этом случае значение функционала качества (5.41) будет принимать конечное значение.

§ 5.3. Задача о регуляторе выхода

Рассмотрим задачу о регуляторе выхода. Пусть наблюдаемый и управляемый объект описывается следующими выражениями:

d x(t) A(t)x(t) B(t)u(t), dt

96

функционал имеет вид

где матрицы Q и R – положительно определенные, оптимальное управление определяется соотношением

§ 5.4. Задача слежения

Пусть задана линейная наблюдаемая и управляемая система

d x(t) A(t)x(t) B(t)u(t), dt

Пусть вектор z(t) - желаемый выход системы, причем размерности вектора z(t) и вектора выхода y(t) одинаковы, т.е. z(t), y(t) Rm .

Задача заключается в том, чтобы отыскать управление, минимизирующее функционал качества

J(e,u)

где матрицы F и Q(t) положительно полуопределены, матрица R(t) – положительно определена, u(t) – не ограничено, Т – задано,

Подставляя (5.55) в (5.54), выразим J(e,u) J(x,z,u). Гамильтониан для задачи слежения запишется в виде

H(x,z,u, ,t) 1 z(t) C(t)x(t) T Q(t) z(t) C(t)x(t)

Так как R(t) положительно определена, то управление (5.57) минимизирует гамильтониан (5.56).

.

Условие d (t) H(x,z,u, ,t)/ x(t) T дает

Из уравнений (5.53) и (5.57) получим

98

краевые условия 2n линейных дифференциальных уравнений (5.60) заданы

Пусть (t,t0 ) фундаментальная матрица решений системы (5.60). Тогда

Так же, как в § 5.2, разделив матрицу (t,t0 )на четыре блока, получим x(T) 11(T,t)x(t) 12 (T,t) (t)

С другой стороны, (T)определяется выражением (5.62). Подставляя в (5.62) уравнение (5.64) и приравнивая правые части полученного выражения и уравнения (5.65), после алгебраических преобразований будем иметь

(t)

22 (T,t) CT (T)FC(T) 12 (T,t) 1{[CT (T)FC(T) 11(T,t)

CT (T)FC(T) 11(T,t) 21(T,t) ,

99

g(t) 22 (T,t) CT (T)FC(T) 12 (T,t) 1

T

CT (T)FC(T) 12 (T, )

t

Поскольку оптимальное управление существует, то уравнение (5.69) должно выполняться при любых x(t), z(t), t [t0 ,T] . Следовательно:

1) матрица K(t) размера n x n удовлетворяет матричному уравнению типа Риккати:

K(t)B(t)R 1(t)BT (t)K(t) CT (t)Q(t)C(t) 0,

2)n – мерный вектор - столбец g(t) должен удовлетворять векторному дифференциальному уравнению

CT (t)Q(t)z(t) 0.

Граничные условия получим следующим образом. Из уравнения (5.67) получаем

Так как уравнение (5.73) должно выполняться при любых x(T) и z(Т), то

100

Оптимальная траектория, начинающаяся из исходного состояния x(t0 ) x0 , есть решение дифференциального уравнения

d x(t) A(t)x(t) B(t)R 1(t)BT (t)[K(t)x(t) K1(t)z(t)]. dt

В заключение данного параграфа рассмотрим задачу слежения для линейных инвариантных во времени систем. В этом случае матрицы A, B, C, G постоянны и известны, время окончания переходного процесса неограниченно возрастает, матрицы Q и R постоянны и положительно определены. Все результаты будут приближенными и справедливыми лишь для очень больших значений времени окончания переходного процесса Т.

Уравнения (5.53) и (5.78) будут иметь вид

d x(t) Ax(t) Bu(t), x(t0 ) x0 , dt

y(t) Cx(t)

d z(t) Gz(t), z(t0 ) z0. dt

Запишем функционал качества

T

J(e,u) 1 eT (t)Q(t)e(t) uT (t)R(t)u(t) dt,

2t0

где u(t) – не ограничено, Т – задано, e(t) z(t) y(t).

Оптимальное управление для рассматриваемой задачи имеет вид

u(t) R 1BT [K1 z(t) K x(t)],

где матрицы K и K1 являются решениями алгебраических уравнений

K1 G [AT K BR 1BT ]K1 CTQ 0.

§ 5.5. Задача с фиксированными значениями некоторых переменных состояния в заданный момент окончания переходного процесса

Сформулируем задачу § 5.2 следующим образом: найти управление, минимизирующее критерий

Здесь Q(t), R(t) – положительно определенные симметричные матрицы, моменты t0, T –заданы.

102