Глава 1. Необходимые условия в задачах конструирования программных движений

§1.1. Постановка задачи

Внастоящей главе будут рассматриваться задачи конструирования управлений, доставляющих минимум функционалу

x(t) Rn ,u(t) Rr

при отсутствии ограничений на управляющие воздействия, т.е. область управляющих воздействий открытая. Элементы функционала (1.1) К(x(T)T)и L(x,u,t) и объект (1.2) отвечают предположениям, сделанным во Введении.

§ 1.2. Задача со свободным правым концом и заданным временем окончания переходного процесса

Множество целей в данной задаче задается в виде 2.1 (Введение), т.е.

предположение 3.1 (Введение) относительно непрерывности этой функции штрафа, существовании первой и второй производных от нее по аргументу x(t)и их непрерывности.

Функционал для рассматриваемой задачи принимает вид

выражению (1.3) системы дифференциальных уравнений (1.2), описывающих объект управления, с некоторым множителем (вспомогательной переменной)

(t):

J(x,u) K(x(T))

14

Чтобы не определять непосредственно вариации , вызванные

с граничным условием:

K(x(T)) T

(T) . (1.9)

x(T)

При таком выборе вспомогательной переменной (t)уравнение (1.6) принимает вид

Итак, необходимое условие минимума функционала (1.3) записывается в виде двухточечной краевой задачи (уравнения Эйлера - Лагранжа):

d x(t) f (x,u,t) dt

n–дифференциальных уравнений;

15

называется канонической системой, связанной с основной задачей. Если u(t) допустимое управление и x(t)- соответствующая траектория, то говорят, что любое решение (t) второго уравнения канонической системы соответствует u(t) и x(t). Иначе говоря, (t) соответствует u(t), если (t)и x(t) - решения канонической системы.

§ 1.3. Задача с фиксированными значениями некоторых переменных состояния в заданный момент окончания переходного процесса

Предположим, что в задаче конструирования системы управления, рассмотренной в разделе 1.2, некоторые компоненты вектора состояния x(t) должны принимать заранее заданные значения при t=T, т.е. целевая функция:

и 3.2 (Введение), справедливо, что функция K(x(T)) является функцией

(1.8), (1.10) и уравнения для первой вариации вспомогательного функционала, который в данной задаче будет иметь вид:

где J (t)является решением следующего дифференциального уравнения:

16

В рассматриваемой задаче вариации по управлению u(t)не являются полностью произвольными. Допустимые значения u(t) не должны нарушать граничных условий xi (T) - задано, где i 1,2,...,q или

произвольной вариации u(t). Для этого образуем вспомогательный функционал

Вариации вспомогательного функционала (1.17), вызванные произвольными вариациями по управлению, легко найти, если сравнить функционал (1.19) с исходным функционалом, и использовать уже полученные результаты.

где k – положительная скалярная величина. Тогда выражение (1.21) с учетом (1.22) принимает вид

17

q

J(x,u) i J*i (xi (t))

Это выражение строго отрицательно, если подынтегральное выражение не обращается тождественно в нуль на всем интервале интегрирования, т.е. условие стационарности критерия качества J(x,u,t) определяется с точностью до i следующим уравнением:

Пусть

Тогда (1.25) можно переписать в виде

q

gi j Qij j

или в векторной форме:

18

Таким образом, необходимые условия минимума функционала (1.3) с объектом (1.2) при фиксированных значениях некоторых переменных состояния в заданный момент окончания переходного процесса сформулированы в виде двухточечной краевой задачи: 2n – дифференциальных уравнений (1.2), (1.28) с n – краевыми условиями на левом конце (1.2) и n - краевыми условиями на правом конце (1.29), условием стационарности (1.31) и уравнением для определения весовых коэффициентов i (1.26).

Рассмотрим задачу, в которой ограничения на конечное состояние объекта системы задается в виде функции, т.е.

(x(T)) 0, Rq. (1.32)

Это соответствует функции цели S, определенной во Введении предположениями 2.3, и функции конечного штрафа K(x(T)), определенной предположениями 3.3.

Образуем вспомогательный функционал добавлением к (1.3) q - мерного вектора (x(T)) 0 с весовыми коэффициентами и системы дифференциальных уравнений (1.2) с весовыми коэффициентами (t). Будем иметь:

J(x,u) K(x(T)) T (T)

19

q – условий.

Условие стационарности (1.37) определяет m – мерный вектор u(t). Система дифференциальных условий (1.35) с краевыми условиями (1.35), (1.36) определяет двухточечную краевую задачу с q параметрами i , которые должны быть найденными так, чтобы удовлетворялись q условий (1.38).

§ 1.4. Задача с фиксированными значениями некоторых переменных состояния в неопределенный момент окончания переходного процесса

Функции цели S и функции штрафа К в данной задаче относятся к предположениям, сделанным во Введении, а именно – 2.4, 2.5 и 3.4. Функционал качества имеет вид

где время окончания переходного процесса целесообразно считать некоторым параметром, который должен быть выбран в дополнение к управляющему воздействию u(t) таким образом, чтобы минимизировать функционал (1.39) и удовлетворять заданным ограничениям.

Пусть в рассматриваемой задаче заданы xi (T) - задано, где i 1,2,...,q. Тогда, как и в предыдущей задаче, функция штрафа К будет являться функцией незаданных параметров:

Образуем вспомогательный функционал добавлением к (1.39) системы дифференциальных уравнений (1.2) с весовыми коэффициентами

J(x,u) K(x(T),T)

20

Приращения dJ(x,u), вызванные вариациями по управлению u(t) и приращениями конечного времени Т, имеют вид

dJ(x,u) { K(x(T),T) L(x,u,T)}dT K(x(T))dx(T)

Здесь x(t)- вариации вектора x(t) при фиксированном значении времени окончания переходного процесса Т.

Полное приращение dx(t), вызванное вариациями по управлению и времени окончания переходного процесса с точностью до членов второго порядка малости, можно записать:

21

При таком выборе J (t)выражение (1.44) принимает вид

Приращения вспомогательного функционала (1.49), вызванные только вариациями по управлению u(t), нетрудно найти, если в выражениях (1.45)