afanasev_v_n_optimalnye_sistemy_upravleniya_ana

траектории лишь в случае, когда система и функционал явно от времени не зависят.

7.Принцип максимума Понтрягина есть условие необходимое, но не достаточное в общем случае для сильной оптимальности. Это означает, что он дает множество, возможно, даже бесконечное, решений задачи. Выбор решения, удовлетворяющего принципу максимума из возможных подобных решений, обеспечивающего наименьшее значение функционала, связан не только с большими вычислительными затратами, но с риском получить ложные выводы, если не будут найдены все экстремали.

8.В последние годы принцип максимума Понтрягина получил широкое распространение в форме принципа минимума. Преимущества такого подхода состоят в его более тесной связи с вариационным исчислением, принципом Гамильтона в механике и динамическим программировании Беллмана.

В этом случае гамильтониан и функция Понтрягина связаны соотношением

H(x,u, ,t) H(x,u, p,t).

Если задача включает вырожденный случай, для которого 0 0, то необходимо использовать функцию Понтрягина и каноническую систему (2.21). Если же 0 0, то можно положить 0 1.

64

Дальнейшее изложение материала в этой главе предполагает, что операция по переходу к открытой области управляющих воздействий, с использованием вышеизложенной методики, выполнена успешно.

§ 3.3. Управление с обратной связью в задаче с заданным временем окончания переходного процесса

Необходимые условия в рассматриваемой задаче записываются в виде

d x(t) f (x,u,t), dt

H(x,u, ,t) 0,

u(t)

где x(t0 ) x0 , t0 , T - заданы,

H(x,u, ,t) L(x,u,t) T (t)f (x,u,t).

Последнее уравнение в (3.1) предполагает, что ни одно ограниченное оптимальное управление не достигает своего предельного значения. Расширенный функционал качества имеет вид

J(x,u)

начальных состояний x(t0 ) и конечных условий (x(T)), будут иметь вид

d x(t) fx (x,u,t) x(t) fu (x,u,t) u(t), dt

d (t) Hxx (x,u, ,t) x(t) dt

(T) {Kxx (x(T)) [ T x (x(T))]x} x(T) xT (x(T))d .

Здесь нижний индекс обозначает переменную, по которой производится дифференцирование, т.е., например,

Прежде чем начинать исследование поведения функционала (3.2), найдем уравнение для приращений управляющих воздействий.

66

[d S(t) S(t)A(t) AT (t)S(t) dt

S(t)B(t)S(t) C(t)] x(t) (3.14)

[ d R(t) AТ (t)R(t) S(t)B(t)R(t)]d 0. dt

Аналогично, подставив (3.13) в (3.12), получим

Если рассматривать (3.14) и (3.15) как тождества, справедливые при произвольных значениях x(t) и d , то коэффициенты при x(t) и d должны обращаться в нуль, откуда:

d S(t) S(t)A(t) AT (t)S(t) S(t)B(t)S(t) C(t) 0, dt

d R(t) AТ (t)R(t) S(t)B(t)R(t) 0, (3.16) dt

d Q(t) RT (t)B(t)R(t) 0. dt

Соотношения (3.10) являются граничными условиями матричных уравнений (3.16).

Используя (3.8), перепишем (3.4) как функцию параметров x(t) и d :

обратимся к выражению (3.9). Предположив, что матрица Q(t) обратимая, будем иметь

Это непрерывный закон управления с обратной связью, при котором критерий J(x,u) достигает минимума и терминальные значения имеют требуемые малые отклонения

68

70

Нетрудно заметить, что полученные уравнения для матриц S(t), R(t) и Q(t) полностью совпадают с уравнениями (3.16), в которых параметры А(t), B(t) и C(t) определяются соотношениями (3.7).

Выражение для второй вариации функционала качества (3.21), с учетом полученных результатов, можно переписать в виде:

Если сравнить две одинаковые траектории с одинаковыми краевыми условиями, т.е. при x(t0 ) 0 и (T) 0, то 2 J(x,u)>0 для всех u(t), за исключением тех, при которых подынтегральное выражение (3.25) обращается в нуль, т.е. за исключением u(t), определяемых для всех t [t0 ,T] выражением:

u(t) Huu1(x,u, ,t){Hux (x,u, ,t) (3.26)fuT (x,u,t)[S(t) R(t)Q 1(t)RT (t)]} x(t)

при выполнении условий:

1. Huu (x,u, ,t)>0, т.е. матрица Huu (x,u, ,t) положительно определена (условие выпуклости или условие Лежандра - Клебша);

отсутствия сопряженных точек на траектории или условие Якоби).

Само условие Лежандра – Клебша является ослабленным условием для минимума функционала J(x,u). Если H(x,u, ,t) - гладкая функция и ограничения на управление отсутствуют, то должны выполняться условия

71

Это означает, что система допустимых возмущений имеет размерность меньше, чем n (где n – число переменных состояния системы). Следовательно, поверхность постоянных значений J0 в окрестности точки

сторону t t1, то они уже не будут минимизирующими. Следует отметить, что если S(t) , то это еще не обязательно означает, что

[S(t) R(t)Q 1(t)RT (t)] .

Если матрица Q(t) является вырожденной, то задача оптимизации (3.1) называется анормальной, что означает, что в этом случае не существует соседних минимальных решений.

Таким образом, условия 1, 2, 3 вместе с условиями (3.1) образуют необходимые и достаточные условия, по крайней мере, минимума функционала J(x,u).

§ 3.5. Достаточные условия локального минимума при незаданном времени окончания переходного процесса

В задачах оптимизации времени окончания переходного процесса Т необходимые условия (3.1) дополняются условиями (§ 1.4)

Ф(x(T),T) H(x,u, ,T) 0 или

где Ф(x(T),T) K(x(T),T) T (x(T),T).

Скалярное уравнение (3.27) определяет дополнительную неизвестную величину Т.

Линеаризация необходимых условий (а именно, уравнения относительно (T), (x(T)T), (x(T),T)) должна учитывать наличие вариации (возмущений) dT по времени окончания процесса Т:

72