Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный индустриальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

afanasev_v_n_optimalnye_sistemy_upravleniya_ana

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

1.77 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 173 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

i ,i 1,...,q

dT k {	K(x(T),T)			L(x,u,T)
dT k {				L(x,u,T)
1			T						(1.54)
			T
		q
[ J (T) i i(T)]T f (x,u,T)},
		i 1
			L(x,u,t)		q		f (x,u,t)	T
					q
u(t) k					[ J (t) i	i(t)]T		,	(1.55)
		2
		2					u(t)
			u(t)		i 1		u(t)

где k1,k2 - положительные скалярные величины.

Тогда выражение (1.53) с учетом (1.54) и (1.55) будет иметь вид

dJ(x,u) idJi (xi (t))

i 1

k1{ K(x(T),T) L(x,u,T)

[ J (T) i i(T)]T f (x,u,T)}2

i 1

T	L(x,u,t)	q	f (x,u,t)
k2		[ J (t) i i(t)]T
	u(t)		u(t)
t0		i 1

(1.56)

dt.

Это выражение строго отрицательно, если квадратичные формы не равны нулю, т.е. условия стационарности критерия качества J(x,u) определяются с точностью до параметров следующими уравнениями:

K(x(T),T)		L(x,u,T)
		L(x,u,T)
T						(1.57)
		q				(1.57)
[ J (T) i i(T)]T			f (x,u,T) 0,
	i 1
L(x,u,t)		q		f (x,u,t)
L(x,u,t)	[ J (t) i i(t)]T			f (x,u,t)	0.	(1.58)
u(t)	[ J (t) i i(t)]T				0.	(1.58)
u(t)		i 1		u(t)

Для того чтобы найти значения i ,i 1,...,q, при которых вариации по управлению u(t) и времени окончания переходного процесса dT удовлетворяют заданным ограничениям на правом конце (xi (T),i 1,...,q - задано), подставим (1.54) и (1.55) в (1.50). Получим:

dJ*i (xi (T)) dxi (T)

k1[ i(T)]T f (x,u,T) K(x(T),T) L(x,u,T)

	q
	[ J (T) j j(T)]T f (x,u,T)
	[ J (T) j j(T)]T f (x,u,T)
	j 1

T	i	T f (x,u,t)			L(x,u,t)	q	j	T f (x,u,t)		T
k2 [		(t)]		{		j		(t)]		}	dt 0
k2 [		(t)]	u(t)	{	u(t)	j		(t)]	u(t)	}	dt 0
t0			u(t)		u(t)	j 1			u(t)
t0

или, произведя перегруппировку,

k1[ i(T)]T f (x,u,T){

K(x(T),T)

L(x,u,T) [ J (T)]T f (x,u,T)}

f (x,u,t)

L(x,u,t)

[ i(t)]T

{

u(t)

(1.59)

T f (x,u,t)

[

(t)]

}

u(t)

jk1[ i(T)]T f (x,u,T)f (x,u,T)T j(T)

i 1

T			f (x,u,t)
k2 [ i(t)]T	f (x,u,t)	{		}T j(t)dt 0.
	u(t)
			u(t)
t0

Введем обозначения:

K(x(T),T)

[

(T)]

f (x,u,T)

L(x,u,T) [

(T)]

(x,u,T) ,

T f (x,u,t) L(x,u,t)

gi [

T f (x,u,t)

(t)]

[

(t)]

dt,

u(t)

Sij [ i(T)]T

f (x,u,T)f (x,u,T)T j(T),

T f (x,u,t) f (x,u,t) T

Qij [

(t)]

(t)dt.

u(t)

Тогда выражение (1.59) можно переписать в виде

k1ri k2 gi

j[k1Qi j k2Si j ] 0

j 1

или в векторной форме:

k1r k2 g [k1S k2Q] 0,

откуда

[k S k

1[k r k

g].

(1.60)

Существование

обратной

матрицы [k S k

Q] 1

вытекает из

предположения об управляемости системы.

Введем в рассмотрение функцию (t), определенную соотношением:

(t) J (t) i i (t).

(1.61)

i 1

Тогда из (1.45), (1.51) и (1.46), (1.52) будем иметь:

H(x,u, ,t) T

(1.62)

(t)

x(t)


			j		j 1,...,q,
						(1.63)
j (T)						(1.63)
	K(x(T),Т)				j q 1,...,n,
				,
				,
		xj (T)
где
	H(x,u, ,t) L(x,u,t) T (t) f (x,u,t).					(1.64)
Условия стационарности (1.57), (1.58) с учетом введенных обозначений
можно переписать в виде
	K(x(T),T)	H(x,u, ,T) 0,				(1.65)
		H(x,u, ,T) 0,				(1.65)
	T
	H(x,u, ,t)		0.			(1.66)
			0.			(1.66)
	u(t)

Таким образом, необходимые условия минимума функционала (1.39) с объектом (1.2) при фиксированных значениях некоторых переменных состояния в неопределенный момент окончания переходного процесса сформулированы в виде двухточечной краевой задачи и условия выбора коэффициентов (1.60).

Уравнение (1.65) можно получить следующим образом. Найдем приращение функционала качества J(x,u), вызванное вариациями времени окончания переходного процесса. При малых вариациях dT будет справедливо соотношение

dJ	t T	(x,u) {	J(x,u)	J(x,u)	f (x,u,T)}dT,

			T	x(T)

откуда

dJ(x,u)		t T

K(x(T),T)			K(x(T),T)

	T		x(T)

f (x,u,T) L(x,u,T) dT.

Учитывая (1.45) и (1.51), а также (1.64),

будем иметь

		K(x(T),T)
dJ(x,u)	t T			H(x,u, ,T) dT.
			T

Так как dT 0, то из последнего соотношения следует, что

K(x(T),T)	H(x,u, ,T) 0.	(1.67)

T

Уравнение (1.65) или (1.67) можно использовать для определения времени окончания переходного процесса.

Ограничения на конечное состояние системы может задаваться в виде функций, т.е. в момент окончания переходного процесса состояние системы должно отвечать следующему уравнению:

(x(T),T) 0,

Rq.

(1.68)

Вспомогательный функционал качества, как и в разделе 1.3, можно записать в виде

J(x,u) K(x(T),T) T (x(T),T)

{L(x,u,t) T (t)[f (x,u,t) d x(t)]}dt.

Приращения вспомогательного критерия качества, вызванные вариациями по управлению u(t) и времени окончания переходного процесса dT, имеют вид

dJ(x,u)

{

Ф(x, ,T)

L(x,u,T)}dT

Ф(x, ,T)

dx(T)

x(T)

(1.69)

H(x,u, ,t)

{

H(x,u, ,t)

x(t)

u(t)

x(t)

u(t)

T(t)

x(t)}dt,

где

Ф(x, ,T) K(x(T),T) T (x(T),T),

(1.70)

H(x,u, ,t) L(x,u,t) T (t)f (x,u,t).

(1.71)

Интегрируя по частям T (t)x(t)и принимая во внимание, что

x(T) dx(T)

x(T)dT,

получаем:

(x,u) {

Ф(x, ,T)

L(x,u,T) T(T)f (x,u,T)}dT

Ф(x, ,T)

{

T(T)}dx(T) T(t ) x(t

)

(1.72)

x(T)

H(x,u, ,t)

{[

H(x,u, ,t)

T(t)] x(t)

u(t)}dt.

x(t)

u(t)

Выберем функцию (t) так, чтобы коэффициенты при обращались в нуль. Будем иметь

d		H(x,u, ,t) T
	(t)				,
dt	(t)		x(t)		,
dt			x(t)
	Ф(x, ,T) T
(T)				,
(T)		x(T)		,
		x(T)

Ф(x, ,T) L(x,u,T) T (T) f (x,u,T) 0.

Учитывая (1.73), а также

dФ(x, ,T) Ф(x, ,T) Ф(x, ,T) dx(T), dT T x(T) dT

x(t),dx(T) и dT

(1.73)

(1.74)

(1.75)

выражение (1.75) можно переписать в виде

	dФ(x, ,T)			L(x,u,T) 0.				(1.76)
				L(x,u,T) 0.				(1.76)
			dT
В результате такого выбора (t)выражение (1.72) можно переписать:
			T
d			(x,u)		H(x,u, ,t)		u(t)}dt,	(1.77)
		J			H(x,u, ,t)
		J
						u(t)
			t0
где x(t0 ) 0, так как x(t0 )- задано.
Для того, чтобы функционал J(x,u)								принимал стационарное значение,
необходимо выполнение условия:
	H(x,u, ,t)					0.		(1.78)
						0.		(1.78)
			u(t)

Элементы вектора должны выбираться так, чтобы удовлетворялись ограничения (1.67), наложенные на состояние объекта в момент окончания переходного процесса.

В заключение данного раздела рассмотрим задачу с функционалом качества:

T	(1.79)
J dt T t0 ,	(1.79)
t0

которую обычно называют задачей быстродействия.

Функционал (1.79) нетрудно получить из функционала Больца, положив K(x(T),T) 0, L(x,u,t) 1. Тогда необходимые условия минимума функционала (1.79) будут иметь вид

d x(t) f (x,u,t) dt

n - дифференциальных уравнений,

d	f (x,u,t) T
	(t)		(t)
dt		x(t)

n – дифференциальных уравнений. Краевые условия:

x(t0 ) x0

n – условий на левом конце,

		j	, j 1,...q
j(T)	0	j	j q 1,...n
	0		j q 1,...n

n – условий на правом конце.

Оптимальное управление находится из уравнения

T (t) f (x,u,t) 0.

u(t)

Отметим, что управление должно входить в правую часть уравнения объекта нелинейным образом.

Гамильтониан имеет вид

H(x,u, ,t) 1 T (t)f (x,u,t).

Уравнение, определяющее время переходного процесса, имеет вид:

1 T (T)f (x,u,T) 0,

откуда:

T (T)f (x,u,T) 1

или

i fi (x,u,T) 1.

i 1

Из последнего выражения видно, что рассматриваемая задача с функционалом (1.79) имеет смысл, если задана хотя бы одна из фазовых координат при t T.

§ 1.5. Задача с фиксированными значениями некоторых переменных состояния во внутренних точках траектории

В настоящем разделе рассмотрим задачу, в которой на траектории выделено несколько участков и на каждом из этих участков задается свой функционал качества, и на каждом из этих участков задаются некоторые переменные состояния. Кроме того, и сам объект от участка к участку может меняться. Другими словами, объект описывается в данной задаче следующим типом дифференциальных уравнений

	d	x(t) f (i) (x,u,t), ti 1 < t < ti , i 1,...,N.			(1.80)
		x(t) f (i) (x,u,t), ti 1 < t < ti , i 1,...,N.			(1.80)
	dt
Заданы также многоточечные краевые условия
( j)[x(t0 ),x(t0 ),...,x(tN ),x(tN ); t0,...,tN ] 0,					(1.81)
	j 0,...,N.				(1.81)
	j 0,...,N.
Здесь x(ti ) - значение вектора состояния перед				t ti (слева от	ti ), а x(ti ) -
значение вектора состояния сразу после t ti (справа от ti ).
Запишем функционал качества:
	J(x,u) K[x(t0 ),x(t0 ),...,x(tN ),x(N );t0,...,tN ]
		N	t i		(1.82)
		N			(1.82)
L(i)(x,u,t)dt.

i 1 t i

Задача заключается в построении u(t), доставляющего минимум функционалу (1.82) на объекте (1.80) при ограничениях (1.81).

Для получения необходимых условий минимума образуем вспомогательный функционал:

J(x,u) K[x(t0 ),x(t0 ),...,x(tN ),x(N );t0 ,...,tN ]

N
[	( j)]T ( j)[x(t0 ),x(t0 ),...,x(tN ),x(tN )]			(1.83)
j 1
N t i		d
{L(i) (x,u,t) T (t)[f (i) (x,u,t)		d	x(t)])dt.
{L(i) (x,u,t) T (t)[f (i) (x,u,t)			x(t)])dt.
i 1 t i		dt
Введем обозначения:				(1.84)
Ф K [ ( j) ]T ( j)				(1.84)
H(i) (x,u, ,t) L(i) (x,u,t) T (t)f (i) (x,u,t).				(1.85)

Тогда первая вариация функционала (1.82) будет иметь вид

dJ(x,u) {

dti

dx(ti

)

dx(ti

)}

x(t

)

{[H(i) T

t t ]dti [H(i) T

t t

dti 1}

i 1

ttii 1

N t i

(i)

d T(t)] x H

(i)

T x

{[ H

u}dt.

i 1

t i

Используя соотношения

dx(ti ) x(ti ) x(ti )dti ,

исключим x(ti ), x(ti ) из выражения (1.86):

(x,u) [

H(i)(ti ) H(i 1)(ti )]dti

i 0

[

T(ti )]dx(ti ) [

T(ti )]dx(ti )

)

i 1

x(ti

i 1 x(ti )

t i

(i)

{[

T (t)] x

u}dt.

i 1 t i

Отметим, что H(0) H(N 1)

Выберем (t)

так, чтобы удовлетворялись уравнения

H(i) (x,u, ,t) T

(t)

x(t)

ti 1

< t

< ti ,

i 1,...,N,

(t )

i 1,...,N,

x(ti )

(t )

i 1,...,N.

x(ti )

(1.86)

(1.87)

(1.88)

(1.89)

(1.90)

(1.91)


Моменты ti			определяются из соотношения:
	Ф	H(i) (ti ) H(i) (ti ) 0,		i 1,...,N.		(1.92)
		H(i) (ti ) H(i) (ti ) 0,		i 1,...,N.		(1.92)
	ti
В задачах, в которых моменты ti					заданы, условия (1.92)	не являются
необходимыми, так как в этом случае dti					0 в уравнениях (1.88). Так же, если
x(t0 ) задано, то			dx(t0 } 0	в (1.88)	и уравнение (1.91)	не является
необходимым.

Множители ( j) определяются так, чтобы удовлетворять ограничениям

(1.81).

Отметим, что вариации u(t) в уравнении для первой вариации

		N t		i	H	(i)
d	J	(x,u)					udt
					u
		i 1	t
				i

не являются произвольными, а должны быть такими, чтобы (вместе с

вариациями dx(ti ),dx(ti ),dti )								не нарушать заданных граничных условий. Эти
условия можно записать в виде
		N		(i)			(i)
d (i) [					dti				dx(ti )
								)
		i	ti				x(ti
	(i)							(1.93)

		dx(t )] 0,				i 1,...,N.

	x(ti )		i

Уравнения (1.89)-(1.91) представляют собой многоточечную краевую задачу и вместе с условием стационарности функционала представляют собой необходимые условия Эйлера – Лагранжа. Условия (1.92) являются условиями трансверсальности.

§ 1.6. Задачи оптимизации при наличии ограничений на траекторию

1.6.1.Интегральные ограничения

Взадачах, рассмотренных в предыдущих параграфах настоящей главы, ограничения накладывались в конечной точке траекторий. В этих задачах в конечный момент времени задавались функции от фазовых координат, а в начальный момент – значения всех фазовых координат. Добавим к этим ограничениям еще одно. Потребуем, чтобы некоторый интеграл вдоль оптимальной траектории принимал заранее заданное значение. Таким образом, пусть

T
xn 1(T) N(x,u,t)dt ,	(1.94)
t0
где N - заданная скалярная функция,	xn 1(T)- заданное число.

Присоединим к исходной системе уравнений уравнение состояния


	d	xn (t) N(x,u,t)dt		(1.95)

	dt
с граничными условиями
	xn 1(t0 ) 0,		xn 1(T) задано.	(1.96)
Пусть			множитель Лагранжа. Гамильтониан расширенной системы
имеет вид
	H(x,u, , ,t) L(x,u,t) T (t) f (x,u,t) N(x,u,t).			(1.97)

Необходимые условия оптимальности будут записываться в виде двухточечной краевой задачи

x(t) f (x,u,t),

(t)

N(x,u,t)

L(x,u,t)

f (x,u,t)

(t)

x(t)

x(t0 ) x0 ,

K(x(T))

(T)

x(T)

H(x,u, , ,t)

u(t)

T (t)

f (x,u,t)

L(x,u,t)

N(x,u,t)

u(t)

(t)

N(x,u,t)

откуда

const .

xn (t)

(1.98)

(1.99)

(1.100)

(1.101)

Таким образом, в задачах с ограничениями типа (1.94) величина N(x,u,t) присоединяется к гамильтониану исходной системы с постоянным множителем Лагранжа , который является коэффициентом чувствительности критерия качества J(x,u) к изменению xn 1(t), т.е.

J(x,u) .

xn 1(t)

1.6.2.Ограничения в виде равенства на управляющие переменные

Кпостановке задач об оптимальном управлении, рассматриваемых в данной главе, добавим дополнительное ограничение на управляющие воздействия в виде равенства

C(u,t) 0,	(1.102)
где u(t) Rr , r 2, C(u,t)- скалярная функция. Условие	r 2 необходимо для

того, чтобы задача поиска оптимального управления не была бы тривиальной (при r 1 ограничение (1.102) полностью определяет функцию u(t) и проблемы оптимизации не возникает).

Образуем гамильтониан

H(x,u, , ,t)

(1.103)

L(x,u,t) T(t)f (x,u,t) С(u,t).

Такая форма гамильтониана вносит изменения только в условие оптимальности

H(x,u, , ,t)

u(t)			(1.104)
T(t)	f (x,u,t)	L(x,u,t)	(t)	С(u,t)	0.
	u(t)	u(t)
				u(t)

Это условие вместе с (1.103) определяет r компонент вектора управления u(t) и скалярную функцию (t).

1.6.3. Ограничения в виде равенства на функции управления и фазовые координаты

общей

постановке задачи

оптимизации

добавим

ограничения

C(x,u,t) 0,

(1.105)

причем для любого u(t)

должно выполняться условие:

C(x,u,t)

u(t)

Образуем гамильтониан

H(x,u, , ,t) L(x,u,t) T (t)f (x,u,t) С(x,u,t).

(1.106)

Условия оптимальности в этом случае имеют вид (1.104)

H(x,u, , ,t)

u(t)

(1.107)

T(t)

f (x,u,t)

L(x,u,t)

С(x,u,t)

(t)

u(t)

а уравнение Эйлера – Лагранжа должны быть модифицированы

(t)

(1.108)

f (x,u,t) T

L(x,u,t) T

C(x,u,t) T

(t)

(t).

x(t)

Необходимое условие (1.107) и ограничения (1.105) составляют систему r 1 уравнений с r 1 неизвестными величинами u(t) и (t).

1.6.4. Ограничения в виде равенства на функции координат

Если функция, задающая ограничения, явно не зависит от управляющих воздействий, то в этом случае возникают дополнительные осложнения. Пусть задано ограничение


S(x,t) 0,			t [t0 ,T].			(1.109)
Тогда
	dS(x,t)	S(x,t)		S(x,t)	f (x,u,t) 0 .	(1.110)
				x(t)	f (x,u,t) 0 .	(1.110)
	dt		t	x(t)

Выражение (1.110) может оказаться либо явно зависящим от u(t), либо снова не зависящим от u(t). Если это выражение зависит от u(t), то оно играет роль совместного ограничения на управляющие воздействия и фазовые переменные, аналогично равенству (1.105). Однако в отличие от задачи (1.6.3) следует либо исключить одну компоненту вектора x(t), выразив ее с помощью (1.109) через остальные (n 1) компонент, либо присоединить (1.109) в качестве граничного условия в точках t t0 или t T .

Если же выражение (1.110) не содержит явно u(t), то его можно еще раз

продифференцировать и подставить d x(t) f (x,u,t); эта процедура может d

<<< < Предыдущая 1 23 / 173 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.12.201858.37 Кб16, 10, 20, 26.doc
#
10.06.201510.78 Mб96288.pdf
#
20.09.201951.2 Кб09ВОПРОС.doc
#
29.03.2016385.47 Кб2A10-262.pdf
#
10.06.20152.48 Mб15Adaptive Control System.pdf
#
29.03.20161.77 Mб20afanasev_v_n_optimalnye_sistemy_upravleniya_ana.pdf
#
10.06.20153.66 Mб11amy_jo_martin-renegades_write_the_rules.pdf
#
10.06.2015342.37 Кб5anglysky.docx
#
10.12.2018408.58 Кб6antikrizisnoe-upravlenie.doc
#
18.12.2018108.03 Кб6ARHITYeKTURA.doc
#
10.06.20158.32 Mб302aswath_damodaran-investment_philosophies_2012.pdf