15. Модель емкости с изменяющимся уровнем

Пусть требуется построить модель для емкости, в которую подается жидкость и из которой вытекает жидкость. Входной переменной пусть будет расход на входе, а выходной уровень жидкости в емкости.

Рис. 15. Емкость с меняющимся уровнем

Материальный баланс в данном случае может быть сведен к следующему:

изменение объема жидкости за время dt равно разности объемов втекающей и вытекающей жидкости, т.е.

dV = Q₁dtQ₂dt

или

dV/dt = Q₁Q₂.

Объем жидкости в емкости V = S h; откуда

Истечение жидкости из емкости описывается уравнением Бернулли:

где

v скорость истечения из сливного отверстия,

v₀скорость изменения уровня в резервуаре,

h h₀перепад высот,

p₁, p₂давление над жидкостью и за сливным отверстием,

  удельный вес.

При v >> v₀; h₀= 0 и p₁= p₂имеем:

Пусть S₀сечение сливного отверстия, тогда в идеальном случае

Q₂= v S₀.

Реально последнее выражение записывается с некоторым коэффициентом , отражающим зависимость расхода Q₂от неравномерности скорости v, от качества обработки отверстия, от его формы и т.д.

В результате получаем модель

Пример наглядно показывает, что даже в простой ситуации модель получается в виде нелинейного дифференциального уравнения.

16. Метод наименьших квадратов в одномерном случае

Метод наименьших квадратов известен давно и применяется весьма широко и повсеместно.

Преимущество метода простые вычисления для определения степенной аппроксимации.

Рассмотрим простейший случай.

Рис. 16. Одномерная система

Проводим эксперимент N раз и получаем пары чисел

x_i, y_i; i = 1, 2, ..., N

Рис. 17. Экспериментальные данные

1) Делается допущение, что y зависит от x линейно, а несоответствие линейной зависимости обуславливается случайными факторами.

Т.о. ставится произвольно задача найти линейную зависимость

с постоянными коэффициентами a₀, a₁, которые позволят для любого экспериментального значения x_i вычислить некоторую оценку, которая нас удовлетворит в каком-либо смысле.

2) Второе допущение состоит в том, что положительные и отрицательные отклонения должны компенсировать друг друга и искомая зависимость должна проходить через точку с координатами, равными средним значениям

т.е. искомое уравнение должно удовлетворять соотношению

(*)

3) Следующее допущение касается аддитивности ошибки, т.е. мы принимаем, что

(**)

Перенесем начало координат в точку и введем новые (центрированные) значения переменных

Вычитая теперь из (**) уравнение (*), получим

Обратим внимание на то, что все отмеченные выше допущения принимаются как аксиомы и направлены на то, чтобы получить ошибку как линейную функцию неизвестных коэффициентов аппроксимирующей зависимости

_i= f(a₁).

4) Наконец, самое основное допущение касается критерия оптимизации, который принимается в виде

Принятие критерия в таком виде (который дает имя методу) позволяет однозначно и легко вычислить искомый коэффициент известным методом поиска экстремума функции одной переменной:

Далее из (*) находится а₀:

17. Метод наименьших квадратов в многомерном случае

Будем рассматривать здесь многомерную модель как модель со многими входами и одним выходом:

Рис. 18. Многомерная система

Сигналы на входах и выходах считаем центрированными, т.е.

M[x_j(t)] = 0, j = 1, 2, ..., k; M[y(t)] = 0.

Модель ищем в виде линейной комбинации входных сигналов

Помеху считаем аддитивной

Выбираем N >> k моментов времени t_i, i = 1, 2, ..., N и в каждый из этих моментов наблюдаем все входы и выход.

Интервал между t_iне играет роли. Важно только, что в момент взятия отсчетов система должна быть в установившемся состоянии, т.е. интервал должен быть достаточным для практического окончания переходных процессов при изменении очередного состояния системы.

Введем обозначения:

x_j(t_i) = x_ij; y(t_i) = y_i;(t_i) =_i.

тогда

В матричной форме

Y = XB + E,

где

Критерий приближения

Так как E = Y - X B, то

J = (Y - XB)^T(Y - XB) = (Y^T – B^TX^T)(Y – XB) =

= Y^TY – B^TX^TY – Y^TXB + B^TX^TXB

Поскольку все слагаемые в последнем уравнении скаляры, то

B^TX^TY= (B^TX^TY)^T=Y^TXB

Тогда

J=Y^TY– 2B^TX^TY+B^TX^TXB

Вектор коэффициентов Bможно вычислить из условия: dJ/dB= 0:

Здесь использовано правило для двух векторов yиz:

Далее воспользуемся правилом: если Q– квадратная матрица, аz– вектор соответствующего размера, то

Для квадратной матрицы X^TXи вектораBполучаем:

Тогда

dJ/dB= -2X^TY+ 2X^TXB= 0

Откуда получаем т.н. нормальные уравнения МНК:

X^TXB=X^TY.

Решение нормальных уравнений

B= (X^TX)^-1X^TY

Обычно приведенное решение используется в теоретическом анализе, а вычисление вектора коэффициентов Bвыполняется решением системы нормальных уравнений (например, методом Гаусса).

Запишем матрицы системы

В одномерном случае (k = 1) положим x_i1= x_i, тогда

y_i= b₁x_i+_i

что совпадает с ранее полученным ранее выражением.