13. Модель смесителя.

В смеситель (рис. 9) поступает два потока веществ А и B: поток Q_A[м³/сек] с концентрацией С_A[кг/м³] и поток Q_B[м³/сек] с концентрацией С_B[кг/м³]. На выходе смесителя поток Q_Cc концентрацией смеси С_C.

Рис. 9. Смеситель двух компонентов

Требуется построить модель

Рис. 10. Искомая модель смесителя

Примем допущения, что перемешивание мгновенное по всему объему и объем смесителя V_Cпостоянен:

V_C= const.

Последнее условие эквивалентно условию:

Q_C= Q_A+ Q_B.

Материальный баланс в переходном процессе может быть выражен следующим образом: изменение количества вещества, находящегося в растворе емкости, равно разности между количеством притекающего и вытекающего из емкости вещества за одно и то же время:

dm_C= Q_AC_Adt + Q_BC_BdtQ_CC_Cdt. (*)

Масса вещества смеси

m_C= V_CC_C

При постоянстве объема смеси изменение массы может быть только за счет изменения концентрации, т.е.

dm_C= V_CdC_C. (**)

Из (*) и (**) получаем

Откуда имеем

где

Искомая модель может быть представлена, таким образом, в виде:

Рис. 11. Структура модели смесителя

Во многих случаях такой упрощенной модели вполне достаточно для управления процессом смешения. Более сложные модели получаются при учете непостоянства объема смеси, неодинаковости концентрации смеси по объему смесителя, при учете явлений кавитации и т.д. Усложнение модели может привести к тому, что она станет непригодной для решения задачи управления.

14. Модель реактора

В отраслях химической промышленности распространены разнообразные реакторы с перемешивающими устройствами. Они отличаются друг от друга по конструкции и по типу проходящих в них реакций. На рис. 12 показан реактор с мешалкой, в котором происходит реакция, в результате которой вещество А превращается в вещество В.

Рис. 12. Химический реактор

Составим математическое описание объекта управления в предположении, что объем раствора V_P[m³] в реакторе постоянен, т.е. расходы на входе и выходе равны (Q [m³/s]).

Рис. 13. Искомая модель реактора

В искомой модели предусмотрено два выхода на тот случай, что управление может осуществляться или концентрацией вещества А в растворе (С_PA), если цель состоит в уничтожении вещества А (переводом его в вещество В), или концентрацией вещества В, если получение его является целью реакции.

Для составления математического описания необходимо в первую очередь знать динамику самого превращения вещества А в вещество В. Из химических исследований известно, например, что многие подобные реакции могут быть описаны постоянной величиной, называемой скоростью реакции.

Скорость реакции k это количество вновь возникающего вещества в единицу времени, отнесенное к количеству вступившего в реакцию исходного вещества

(*)

Возможны реакции, которые подчиняются другим закономерностям превращения.

Составим уравнения материального баланса отдельно для вещества А и вещества В.

Для вещества А:

dm_A= Q C_AdtQ C_PAdtm_B. (**)

Для вещества В:

dm_B= m_BQ C_PBdt. (***)

Массу m_Bвещества В, возникшего за время dt, запишем как

m_B= k m_Adt

Кроме того, при условии идеального перемешивания можно записать

m_A = V_P C_PA; m_B = V_P C_PB

и, следовательно:

dm_A= V_PdC_PA; dm_B= V_PdC_PB.

Подставим последние соотношения в уравнения (**) и (***)

V_PdC_PA= Q C_AdtQ C_PAdtk V_PC_PAdt

V_PdC_PB= k V_PC_PAdtQ C_PBdt

Откуда находим

В соответствии с полученными уравнениями структура модели реактора будет иметь вид, показанный на рис.14.

Рис. 14. Структура модели реактора

Исключая из двух последних дифференциальных уравнений переменную y₁, можно получить

С полученной моделью и коэффициентами можно выполнить массу различных анализов и преобразований, но постоянно надо иметь ввиду те допущения и упрощения, которые были приняты при выводе модели. Некоторые выводы могут прийти в противоречие с практикой.