20. Получение модели по частотным характеристикам

Моделирование с помощью активного эксперимента выполняется обычно вне контура регулирования. Наиболее распространены активные воздействия в виде синусоидальных сигналов, а также в виде ступенчатых и импульсных воздействий.

Пусть на частотах _i, i=1..N выполняется снятие частотных характеристик.

Рис. 19. Схема снятия частотных характеристик

По 2N результатам эксперимента

A(_i) =A_i;(_i) =_i

вычислим значения вещественной и мнимой частотных характеристик

R_i =A_i cos _i; Ii = Ai sin _i.

Будем искать передаточную функцию в виде

Соответствующее описание системы в виде дифференциального уравнения:

Пусть для краткости положим n= 3 иm= 2, тогда для каждого i-го опыта

y = A_i sin(_it + _i); x = sin _it;

dy/dt = _i A_i cos(_it + _i); dx/dt = _i cos _it;

d²y/dt² = _i² A_i sin(_it + _i); d²x/dt² = _i² sin _it;

d³y/dt³ = _i³ A_i cos(_it + _i).

После подстановки этих выражений для установившегося синусоидального режима в дифференциальное уравнение получим тождество, справедливое на данной частоте _iдля любого момента времени t:

A_i sin(_it + _i) + B₁ _i A_i cos(_it + _i)  B₂ _i² A_i sin(_it + _i) 

 B₃ _i³ A_i cos(_it + _i) = A₀ sin _it + A₁ _i cos _it  A₂ _i² sin _it

Учтем преобразования:

A_i sin(_it + _i) = A_i (sin _it cos _i + cos _it sin _i) = R_i sin _it + I_i cos _it

A_i cos(_it + _i) = A_i (cos _it cos _i  sin _it sin _i) = R_i cos _it  I_i sin _it

Поскольку тождество имеет место для любого момента времени t, то выберем некоторый момент t^*из условия:

_it^*=/4, т.е. t^*=/(4_i),

тогда sin _it^*= cos_it^*и тождество можно записать как

R_i + I_i + B₁ _i (R_i  I_i)  B₂ _i² (R_i + I_i)  B₃ _i³ (R_i  I_i) = A₀ + A₁ _i  A₂,

или, собирая неизвестные в левой части:

A₀ + A₁ _i  A₂  B₁ _i (R_i  I_i) + B₂ _i² (R_i + I_i) + B₃ _i³ (R_i  I_i) = R_i + I_i.

Если в полученную систему уравнений подставить экспериментальные значения R_iи I_i, то равенство для каждого i будет приближенным. Тогда систему уравнений можно решать МНК, введя невязку как разность между левой и правой частями. Введенная таким образом невязка будет линейна относительно искомых коэффициентов и вычисление их МНК даст несмещенные оценки.

Точность вполне удовлетворительная (различие в коэффициентах обусловлено лишь погрешностями округления).

21. Идентификация систем по переходной характеристике

Под переходной характеристикой h(t) понимается реакция динамической системы на единичный скачок.

Преимуществом идентификации систем по переходной функции является то, что переходная функция легко может быть получена при любом скачкообразном изменении входной величины на входе в пределах области линейности (переход с одного режима на другой).

Часто переходную функцию можно получить из разгонной характеристики или из характеристики "выбега", т.е. из характеристик, получаемых при включении или выключении систем.

Для достаточно быстродействующих систем переходную характеристику можно наблюдать на осциллографе при подаче на вход последовательности прямоугольных импульсов.

Реальный скачок всегда имеет конечное время нарастания.

Рис. 20. Функция реального единичного скачка

Необходимо только стремиться к тому, чтобы время нарастания t_нарастбыло бы значительно меньше, чем самая малая из постоянных времени, характеризующих систему:

t_нараст<< T_min.

Т.е. источник скачка должен быть более быстродействующим.

Идеальная единичная функция (идеальный скачок) имеет изображение по Лапласу: 1(t) 1/s. Соответствующая амплитудно-частотная характеристика A_ид() = 1/гипербола. Т.о. испытание динамической системы при помощи единичного скачка эквивалентно частотным испытаниям, когда основная энергия сигнала сосредоточена на низких частотах, а с повышением частоты энергия испытательного сигнала резко падает.

Рис. 21. АЧХ реального скачка.

Пусть генератор скачка описывается как звено первого порядка с постоянной времени . Тогда

амплитудно-частотная характеристика выходного сигнала генератора:

A_реал()

При 0 A_реал()1/, т.е. A_реал() стремится к характеристике идеального скачка.

При A_реал()1/[()]. Таким образом, чтобы реальная характеристика приближалась к идеальной при повышении частоты необходимо уменьшать. Иначе говоря, чем более широкополосная система, тем более быстродействующим должен быть генератор испытательного сигнала.