25. Определение параметров апериодического звена 2-го порядка

При коэффициенте затухания больше единицы звено второго порядка становится апериодическим и его передаточную функцию можно представить в виде:

Соответствующая переходная функция:

Горизонтальная асимптота дает величину К.

Т₁и Т₂находятся по точке перегиба и положению касательной в точке перегиба.

Существует несколько методов определения T₁и Т₂.

Рис. Апериодическое звено 2-го порядка.

4.1. Метод отрезков Ta и Tb

Пусть T₁<T₂и Т₁/Т₂= d; 0d1.

Находим по кривой h(t) интервалы Т_аи T_b (см. рис.).

По аналитическому выражению h(t) для звена второго порядка можно вывести соотношения:

Приложение.

Точка перегиба

Уравнение касательной в точке перегиба:

По этим соотношениям можно построить две кривые:

Рис. Метод отрезков T_a, T_b.

Кривые f₁(d) и f₂(d) используются в следующем порядке:

имея T_aи T_b, вычисляют T_a/T_bи по кривой f₁находят d. Затем по кривой f₂для найденного значения d определяют Т₁/T_b. Из Т₁/Т_bи T_bвычисляют Т₁. Затем вычисляется Т₂= Т₁/d.

Кроме того, по экспериментальной кривой можно определить интервал T_c= Т₁+ Т₂и сравнить с найденными значениями Т₁и Т₂. При большом расхождении следует искать другой метод идентификации.

Примечание. Похожий метод (метод отрезков h₀и T_b) описан в учебнике по ТАУ под ред. А. В. Нетушила, 1976, т.1, стр.265.

4.2. Метод отрезков Tb и Tc

Этот метод можно рассматривать как более совершенный метод идентификации апериодических объектов 2-го порядка.

На экспериментальной h(t) (см. рис.33) измеряется Т_bи Т_c= Т₁+ Т₂и вводятся обозначения

Можно показать, что

.

По этим уравнениям можно построить кривую y = f(x) (для 1 xe/2 и 0y0.25) и использовать ее для нахождения у по экспериментальному значению x.

Рис. Метод отрезков T_bи T_c.

Решая систему уравнений

относительно неизвестных T₁и T₂, получаем:

Если x > e/2, то система, возможно, не второго порядка.

26. Идентификация по апериодической переходной функции с точкой перегиба звена первого порядка с запаздыванием

В некоторых случаях (например, при ориентировочных расчетах) можно h(t) апериодического звена второго или большего порядка аппроксимировать передаточной функцией вида:

Проводя касательную в точке перегиба, как показано на рис. 26, в первом (грубом) приближении можно принять = T_a; T = T_b(см. кривую 1 на рис. 28).

Рис. 28. Аппроксимация с чистым запаздыванием

Более подходящие значения и Т могут быть найдены, если потребовать, чтобы аппроксимирующая h_a(t) проходила через точку перегиба и чтобы касательная для h(t) в точке перегиба была бы также касательной и для h_a(t). [См. ТАУ, часть 1, под ред. А.В.Нетушила, 1976, стр.263-264]

При t > :Положим

тогда будем иметь систему уравнений:

Решение системы:

27. Метод кратных корней

Определение постоянной времени Т и кратности n для модели системы в виде

можно выполнить с использованием информации о всей кривой переходного процесса h(t).

Метод использует вычисление площади, заключенной между уровнем установившегося значения К и кривой h(t):

Рис. 29. Площадь S.

Поскольку теоретически для искомой модели переходная функция h(t) описывается выражением:

то

В последнем выражении находим табличный интеграл:

После подстановки табличного интеграла получаем:

S = K T n

Алгоритм вычисления T и n по экспериментальной кривой может быть следующим:

1. По экспериментальной кривой или по статической характеристике оценивается величина К.

2. Каким-либо подходящим методом численного интегрирования вычисляется площадь

3. Для последовательных значений n = 1, 2, 3 ... вычисляют соответствующие значения по формуле

4. Для каждой пары значений n и T можно вычислить затем h(t) и оценить тем или иным способом разность h(t) , например:

5. В качестве результата выбирается та пара n и T, которой соответствует минимум .