22. Идентификация звена 1-го порядка по переходной функции

Пусть система описывается дифференциальным уравнением первого порядка

T y'(t) + y(t) = K x(t);

при x(t) = 1(t)

При t=T

Производная т.е. касательная в начальной точке пересекает уровень К при t=T.

Теоретически для определения параметра Т можно провести касательную в начальной точке и найти Т по точке пересечения касательной с уровнем К. Т.к. начальная часть h(t) обычно сильно зашумлена, то практически параметр Т с большей точностью определяется на уровне 0.63К.

Рис. 22. Идентификация звена первого порядка.

23. Идентификация звена 1-го порядка с запаздыванием по переходной функции

При наличии чистого запаздывания

вначале определяется время запаздывания по графику, а затем на уровне 0.63К определяется постоянная времени Т.

Рис. 23. Звено первого порядка с запаздыванием.

Для определения Т и можно использовать также уровни 0.33К и 0.7К (точнее: (1e^0.4)Kи (1e^1.2)K).

Если на уровне 0.33К имеем время t₁, а на уровне 0.7 время t₂, то параметры звена можно вычислить по формулам:

 = 0.5 (3t₁t₂); T = 1.25 (t₂t₁). (*)

Рис. 24. Идентификация звена первого порядка с запаздыванием.

Обозначим первый уровень a₁K. а второй a₂K, тогда

Поставляя в эти выражения формулы (*), получаем:

24. Идентификация параметров колебательного звена 2-го порядка

Дифференциальное уравнение звена

a₂y"(t) + a₁y'(t) + a₀y(t) = b₀x(t) .

Для нулевых начальных условий: y(0) = 0; y'(0) = 0; звено можно описать передаточной функцией

Чаще эту передаточную функцию записывают в форме:

где

K=b₀/a₀статический коэффициент передачи;

 постоянная времени звена;

 собственная (резонансная) частота звена;

 степень затухания.

Если известны три параметра K, T₀, d, то коэффициенты b₀, a₁, a₂при произвольном значении a₀вычисляются по формулам

b₀ = K a₀; a₁ = 2d T₀ a₀; a₂ = T₀² a₀.

Характеристическое уравнение

T₀²p²+ 2d T₀p + 1 = 0.

Корни характеристического уравнения

где =d/T₀коэффициент затухания;круговая частота колебанийпериод колебаний);

будут комплексными, т.е. звено будет колебательным, при 0 d < 1 .

Переходная функция

изображена на рис. 25.

Рис. 25. Измеряемые отрезки на колебательной переходной функции.

[См. ТАУ, часть 1, под ред. А. В. Нетушила, 1976, стр.92]

Для идентификации звена (т.е. для вычисления его параметров) по переходной функции h(t) определяются

K, A₁, A₂, T

и вычисляется затем степень затухания d в качестве одного из идентифицируемых параметров по формуле:

Действительно, рассмотрим выражение dh/dt = 0, из которого получим моменты времени, соответствующие экстремумам h(t).

Дифференцирование и сокращение дает

(²+²)sint= 0.

Для первых двух максимумов h(t) имеем в результате

Подставляем t_1mи t_2mв h(t) и, вычитая из каждого максимума K, получим значения A₁и A₂:

Откуда ln(A₁/A₂) = 2/. Так как, то

откуда

Кроме того, можно вычислить

Этими формулами можно пользоваться при малой степени затухания (примерно при d < 0.4).

При больших d трудно определить A₂, поэтому в этом случае определяют (см. рис. 25)

K, A₁, t₁.

Тогда параметры могут быть вычислены как

Эти формулы применимы при 0.4 < d < 0.7.