28. Метод площадей

Метод ориентирован на вычисление коэффициентов характеристического уравнения для модели

(*)

Получение формул для вычисления коэффициентов A_iначнем с рассмотрения преобразования Лапласа:

С другой стороны:

Обозначим 1 - h(t)/K = x, тогда, учитывая, что

где

Приравнивая результаты, получаем тождество:

Приводя к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при равных степенях s, получаем:

A₁ = M₀

A₂ = M₁ + A₁M₀

A₃ = M₂ + A₁M₁ + A₂M₀

A₄ = M₃ + A₁M₂ + A₂M₁ + A₃M₀

                

A_n = M_n1 + A₁M_n2 + … +A_n2M₁+A_n1M₀;n= 2, 3, …

Вычисляя по экспериментальной h(t) приближенные значения M_i, по полученным формулам можно последовательно вычислить A_i. Первые n уравнений в приведенной системе всегда имеют n неизвестных коэффициентов A_i.

Если подставить в последнюю формулу выражение для M_i, то можно получить формулу для вычисления A_iв виде:

Эта формула позволяет вычислять A_iпо выражениям (см. лаб. раб.):

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29. Основное уравнение идентификации

Часто подача активных воздействий на объект нежелательна. Тогда используют статистическую обработку сигналов, наблюдаемых на входе и выходе, и затем определяют характеристики объектов.

Если входной сигнал x(t) = 0 при t < 0, то реакцию y(t) системы вычисляют с помощью интеграла свертки (свертка x(t) с весовой функцией g(t)):

В общем случае, когда x(t) существует и при t < 0, необходимо вычислять y(t) по формуле

Выполним замену переменной интегрирования: положим = tz, тогда z = t, d=dz, при=z =, при= t z = 0 и

Для стационарного эргодического случайного процесса с нулевым мат. ожиданием автокорреляционная функция

(*)

Взаимная корреляционная функция двух процессов

Подставим сюда y(t)

Изменим порядок интегрирования

Последнее выражение записано с учетом того, что в формуле (*) аргумент R_xxесть разность аргументов функций под знаком интеграла. Учитывая второе из равенств (*), можно записать

или

Это соотношение носит название основное уравнение идентификации, или уравнение Винера-Хопфа.

Пусть x(t) белый шум с интенсивностью с, тогда R_xx() = c():

с учетом фильтрующего свойства -функции, т.е. с учетом того, что значение интеграла равно значению подинтегральной функции в точке, определяемой нулевым значением аргумента-функции.

Таким образом, идентифицировать систему (т.е. вычислить, например, импульсную характеристику g(t)) можно просто наблюдая белый шум на входе и вычисляя взаимную корреляционную функцию выходного и входного сигналов.

30. Решение основного уравнения идентификации

Уравнение Винера-Хопфа

относится к классу интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода.

Конечно-разностный метод

Верхний предел заменяется конечным T, т.е. решается уравнение

Вводим дискретные значения

_i=iT, i=1...n;

_j=jT, j=1...n

и записываем:

В матричной форме

R_yx= R_xxG,

где

Решение уравнения

G = R_xx^-1 R_yx.

Основная проблема: обращение матриц большой размерности (несколько сотен и более), что представляет трудности даже для обращения симметричных матриц.

Кроме того, необходимо учесть, что R_yxи R_xxполучаются из опыта по наблюдениям входа и выхода и потому дискретный аналог уравнения Винера-Хопфа следует записать в виде

или в матричной форме Y = X G + E,

где

Тогда G можно найти из условия J = E^T E = (Y - XG)^T(Y - XG) = min.

Положив как и ранее dJ/dG= 0 найдем G = (X^TX)^-1X^TY.