10. Общие принципы построения аналитических моделей

Для получения математического описания объектов управления не всегда возможно проведение экспериментального исследования (например, при проектировании новых производств). При отсутствии возможности экспериментальных исследований математическое описание объекта управления может быть получено с помощью аналитических методов (если для этого есть условия, т.е. в первую очередь, известно с теоретической точки зрения содержание процессов, происходящих в объекте управления). В некоторых случаях (например, при составлении моделей механических систем роботов) теория процессов, происходящих в объекте известна настолько хорошо, что проще аналитически вывести математическую модель, чем предпринимать дорогостоящее экспериментальное исследование.

Для составления математического описания стараются разделить исследуемый объект на более простые составляющие (звенья), используя, в частности, различные физические или технологические развязки. Затем по математическим описаниям отдельных звеньев определяется модель объекта в целом.

Общего метода, пригодного во всех случаях, для аналитического вывода модели не существует. В каждой области техники используют различные приемы, исторически сложившиеся при моделировании объектов из данной области. Разумеется, что общим для всех приемов является использование единых физических законов.

Наиболее часто для составления математического описания объектов управления используются уравнения материального и энергетического баланса.

Уравнение материального баланса основано на законе сохранения массы вещества и может быть записано в следующей форме:

где G_i– весовой расход [кг/сек] i-го вещества.

Расходы веществ, поступающих в объект, считаются положительными, а выходящих из него – отрицательными.

Записанное уравнение справедливо для установившегося состояния, т.е. оно является уравнением статики. Для описания динамики подобное уравнение составляется для бесконечно малого промежутка времени и добавляется бесконечно малое изменение массы, приводящее к несбалансированности масс в динамике (которая, в конечном счете, и является причиной движения динамической системы) к балансу. Эта добавка позволяет, таким образом, описать динамику в виде уравнения

Часто для получения математического описания объектов управления используются уравнения энергетического баланса. В установившемся режиме количество энергии, переходящей в объект, равно количеству энергии, уходящей из него. Если подводимую энергию считать положительной, а уходящую – отрицательной, то энергетический баланс для установившегося режима запишется в виде

где W_i– i-й поток энергии.

Динамическое уравнение теплового баланса имеет вид:

приход – расход = накопление

или

где W_вх– входной поток энергии, W_вых– выходной поток энергии, k – коэффициент.

Анализ разнообразных процессов, протекающих в химико-технологических аппаратах, позволяет выделить некоторую совокупность типовых объектов управления, описываемых с помощью типовых математических моделей. Перечень и характеристики типовых моделей приводятся в специальной литературе [Кафаров, Методы кибернетики, 1971].

При аналитическом составлении моделей механических систем часто используются уравнения баланса сил в статике, а в динамике в эти уравнения вводятся силы инерции (принцип Даламбера).

В электротехнике, гидравлике, теплотехнике, газовой динамике, пневматике, химической кинетике и др. установились свои приемы описания динамики объектов. Каждый из этих приемов требует изучения, хотя все они вытекают из фундаментальных законов сохранения вещества и энергии.

Рассмотрим применение аналитического подхода на нескольких конкретных примерах.