metodichkaFTUG_chast1
.pdfстоящих на пересечении k ее строк и k столбцов.
Основные методы нахождения ранга матрицы A
Метод окаймляющих миноров
В матрице A находят ненулевой минор Mk по возможности
наибольшего |
порядка k, |
k N, |
затем вычисляют |
все |
окаймляющие |
его миноры |
(k 1) -го |
порядка. Если все |
они |
равны нулю, то ранг матрицы равен k (rA = k). Если есть хотя бы один ненулевой минор Mk+1, то вычисляют все окаймляющие его миноры (k 1) -го порядка и процесс продолжается.
Метод элементарных преобразований
Используя элементарные преобразования, матрицу приводят к трапециевидной или треугольной форме, далее ранг находят по определению.
Пример 1. Исследовать матрицу A на невырожденность, найти A 1 , если она существует, результат проверить.
|
1 |
3 |
|
1 |
5 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
1) |
А |
|
; |
А 2 4 |
3 |
. |
||||
|
2 |
|
2) |
|
|
|
||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
2 |
|
|
Решение. 1) Вычислим определитель матрицы A |
|||||||||
det A= |
|
3 |
|
|
1 4 |
3 2 4 6 2 0. |
||||
1 |
|
|||||||||
2 |
4 |
|
|
Невырожденность матрицы A означает, что существует единственная обратная ей матрица А–1.
1-й способ. Используя формулу (1.4), найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А:
А 1 1 1 |
4 4, |
|
А 1 2 1 |
3 3, |
|||
11 |
|
|
|
|
|
21 |
|
А 1 1 2 |
2 2, |
А 1 2 2 |
1 1. |
||||
12 |
|
|
|
|
|
22 |
|
Тогда по формуле (1.4) имеем: |
|
||||||
А 1 |
1 |
4 |
3 |
2 |
3 / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
1/ 2 |
|
|
2-й способ. Воспользуемся эквивалентностью матриц A / E |
|||||||
и E / А 1 |
: |
|
|
|
|
|
21
|
1 |
3 |
|
1 |
|
0 |
1 |
|
3 |
|
|
1 |
0 |
~ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
A / E |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
4 |
|
0 |
1 |
|
|
0 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
3 |
|
|
|
0 |
~ |
1 |
|
0 |
|
|
2 |
|
3 / 2 |
E / А 1 . |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
1 |
1/ 2 |
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ 2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
2 |
3 / 2 |
|
|
А 1 |
|
|
. |
|
|
|
1 |
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
Для контроля правильности результата достаточно проверить |
|||||||||||||||
условия A A 1 |
A 1 A E. |
Действительно, |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
3 2 |
3/ 2 |
|
1 |
1 |
3 4 |
3 |
|
||||||
A А 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1/ 2 |
|
2 |
2 |
1 |
|
|||||||
|
1 |
4 6 |
3 3 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
6 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
8 8 |
4 |
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
Аналогично A 1 A E. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2) Вычислим определитель матрицы A |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
det A |
2 |
4 |
3 |
1 4 2 1 2 4 3 5 3 1 4 3 1 3 4 2 5 2 |
|||||||||||||
|
|
|
3 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 8 45 12 12 20 17 0.
Невырожденность матрицы A означает, что существует единственная обратная ей матрица А–1.
1-й способ. Используя формулу (1.4), найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А:
|
1 1 1 |
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||
А11 |
|
|
4, |
А 1 2 1 |
5 1 |
6, |
||||||||||||
|
|
4 |
|
|
2 |
|
21 |
|
4 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 1 2 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
А12 |
|
|
|
5, |
А22 |
1 2 2 |
|
1, |
||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
||||||
А13 |
1 3 |
|
2 |
|
4; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
А23 |
2 3 |
|
|
|
|
11; |
||||||
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
1 |
|
3 |
4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22
|
А |
1 3 1 |
|
5 |
1 |
11, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
А 1 3 2 |
1 |
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
А 1 3 3 |
1 |
|
|
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда по формуле (1.4) имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
6 |
|
|
11 |
|
4 /17 |
|
6 /17 |
11/17 |
|
|||||||||
|
А 1 |
|
1 |
|
|
5 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
5/17 |
|
1/17 |
1/17 |
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 /17 |
|
11/17 6 /17 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
4 11 |
|
6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2-й способ. |
Воспользуемся эквивалентностью матриц A / E |
||||||||||||||||||||||||||
и E / А 1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 5 1 |
|
1 |
0 0 |
|
1 5 |
|
1 |
|
|
1 0 0 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
A / E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 3 |
|
0 |
1 0 |
~ 0 - 6 |
|
1 |
|
|
- 2 1 0 ~ |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
3 4 2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 -11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 1 |
|
|
-1 |
|
|
- 3 0 1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
5 |
|
1 |
|
|
|
1 |
0 |
|
0 |
1 |
5 |
0 |
|
21/17 |
-11/17 |
6/17 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ 0 |
1 |
|
-1/6 |
1/3 |
-1/6 |
0 |
~ 0 |
1 |
0 |
|
5/17 |
-1/17 |
-1/17 ~ |
||||||||||||||
|
0 |
|
-17/6 |
2/3 -11/6 |
1 |
|
|
0 |
1 |
|
|
- 4/17 |
11/17 |
|
|||||||||||||
0 |
|
|
0 |
|
- 6/17 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
- 6/17 |
||
- 4/17 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
~ 0 |
1 |
0 |
5/17 |
-1/17 |
||
|
0 |
0 |
1 |
- 4/17 |
11/17 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
11/17 |
E / А 1 . |
|
|
-1/17 |
|
|
|
- 6/17 |
|
|
4 /17 |
6 /17 |
11/17 |
|
|
Следовательно, А 1 |
|
5/17 |
1/17 |
1/17 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 /17 11/17 |
6 /17 |
|
|
|
|
|
Для контроля правильности результата достаточно проверить условия A A 1 A 1 A E. Действительно,
23
|
|
|
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|
1 |
4 /17 |
6 /17 |
|
|
11/17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
A А 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
5/17 |
1/17 |
|
|
1/17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
2 |
|
|
4 /17 |
11/17 6 /17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 5 |
|
1 4 6 |
11 |
|
|
|
|
|
|
- 4 25 - 4 |
- 6 - 5 11 |
11- 5 - 6 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
3 |
|
|
5 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
- 8 20 -12 |
-12 - 4 33 |
22 - 4 -18 |
|
|||||||||||||||||||
17 |
|
|
|
|
|
17 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 4 |
|
2 |
|
|
4 11 |
|
|
|
|
|
-12 20 - 8 |
-18 - 4 22 |
33 - 4 -12 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 7 0 |
0 |
|
|
1 0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 17 |
0 |
|
|
0 1 |
0 |
E. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Аналогично A 1 A E. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Пример 2. Решить матричное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 5 |
1 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 ; |
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
3 |
|
X |
|
3 0 ; |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
0 |
X |
1 |
|
|
|
3 |
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Решение. 1) Запишем уравнение в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
XA B, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.5) |
|
|
|||||||
где A, B – заданные матрицы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
; B |
|
|
|
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Умножим уравнение (1.5) справа на А–1. Тогда справедливо |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
XA A 1 B A 1 |
|
|
или, |
учитывая определение |
обратной |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
матрицы, X B A 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Матрица |
А–1 |
найдена в примере 1 п. 1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
А 1 |
|
|
|
1 |
4 |
3 |
|
|
2 |
|
3 / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
1 |
|
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
4 |
|
3 |
|
|
|
8 |
|
6 |
|
|
|
|
|||||||
Тогда X B A 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
4 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
2 |
|
1 |
|
2 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значит, |
|
X |
4 |
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) Запишем уравнение в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AX B, |
|
(1.6) |
||||
где A, B – заданные матрицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A |
2 |
|
4 |
|
|
3 ; B |
3 |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
3 |
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Умножим уравнение (1.6) слева на А–1. Тогда справедливо |
|||||||||||||||||||||||||||
A 1 AX A 1 B |
|
или, |
|
учитывая |
определение |
обратной |
||||||||||||||||||||||
матрицы, X A 1 |
B. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Матрица |
|
|
А–1 |
найдена в примере 1 п. 2): |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
6 |
|
|
11 |
4 /17 |
6 /17 |
11/17 |
|
|
||||||||||||||
А 1 |
1 |
|
5 |
1 |
|
|
1 |
|
5/17 |
|
1/17 |
1/17 |
. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
4 |
11 |
6 |
|
|
|
|
|
11/17 |
|
6 /17 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 /17 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 6 |
11 1 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
X A 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
B |
|
|
|
5 |
|
1 |
1 |
3 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
17 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
11 |
6 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
4 18 44 |
8 0 11 |
|
|
|
|
|
22 |
19 |
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 3 4 |
|
|
|
10 0 1 |
|
|
|
|
2 |
11 . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
0 6 |
|
|
17 |
5 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
4 33 24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
22/17 |
19/17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Значит, |
|
X |
|
2 /17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
11/17 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 /17 |
|
2 /17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3) Запишем уравнение в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AXB C, |
|
|
(1.7) |
||||||
где A, B, C – заданные матрицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
1 |
3 |
|
2 3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
; B |
|
|
|
|
; C |
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 4 |
|
||||
|
Умножим уравнение (1.7) слева на А–1 и справа на В–1. Тогда |
|||||||||||||||||||||||||||
справедливо |
|
|
|
A 1 AXB B 1 A 1 C B 1 |
или, |
учитывая |
25
определение обратной матрицы, X A 1CB 1. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Матрица |
|
|
|
В–1 |
|
найдена |
|
в |
|
|
|
примере |
|
|
1 |
п. |
|||||||||||||||
1): B 1 |
|
1 |
|
|
4 3 |
2 |
|
3/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
2 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
|
А 1 |
|
1 |
|
4 |
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Найдем А |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 0 1 |
1 |
|
1/ 4 |
1/ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A 1СB 1 |
1 |
|
|
1 |
|
4 0 |
2 3 4 |
3 |
|
1 |
8 |
12 4 |
3 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 4 |
|
|
|
|
1 4 |
|
|
2 |
1 |
|
|
8 |
|
3 |
7 |
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
56 |
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Значит, |
X |
|
7 |
|
9 / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13/ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Найти ранг и указать один из базисных миноров матрицы А.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
2 |
1 |
5 |
1 |
|
|
|
||
1) |
1 |
5 |
|
|
|
1 |
A |
|
2 |
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|||||
A |
; |
2) A |
; 3) |
|
4 ; 4) А |
|
3 ; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 0 |
|
|
|
2 |
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
3 |
4 |
2 |
|
|
|
||
|
1 |
2 |
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А 2 |
3 |
|
1 |
8 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Решение. 1) Вычислим определитель матрицы A: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
det A |
|
|
5 |
|
1 0 5 1 5 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Значит, по определению r |
= 2, |
|
базисный минор M |
2 |
|
|
5 |
|
. |
||||||||||||
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2) det A |
|
1 |
|
|
2 |
|
1 4 2 2 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значит, по определению rA = 1, а базисным минором можно считать любой отличный от нуля элемент матрицы A, например,
М1 = 4.
3) M |
1 |
|
2 |
4 |
|
0 4 4 0. Этот же определитель можно |
|
|
|||||
|
2 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
считать |
одним |
из базисных миноров. Заметим, что минор |
26
M |
2 |
|
|
2 |
4 |
|
0 базисным не является. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4) det A |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
4 |
3 |
8 8 45 12 12 20 17 0. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Значит, |
по |
определению rA = |
|
3. Этот же |
определитель |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
является единственным базисным минором M 3 |
2 |
4 |
3. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
2 |
|
|
5) 1-й способ. Воспользуемся методом окаймляющих |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
миноров. |
|
Фиксируем |
M2 |
1 |
3 4 1 0. |
Для М2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
окаймляющими будут два минора 3-го порядка: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
M |
(1) |
|
2 |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
1 |
1 |
0; |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
4 |
|
|
3 |
|
7 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
5 |
|
|
14 |
7 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
M |
(2) |
|
2 |
3 |
|
|
|
8 |
|
22 |
11 |
8 |
0. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Значит, |
rA |
= |
2, |
а |
базисным |
|
минором можно |
считать, |
|||||||||||||||||
например, М2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2-й способ. Приведём матрицу A к трапециевидной форме с |
помощью элементарных преобразований. Ко второй строке прибавим первую, умноженную на (–2), к третьей строке прибавим первую, умноженную на (–3). Далее к третьей строке прибавим вторую, умноженную на (–7). В результате на втором шаге преобразований получим трапециевидную матрицу,
которая |
содержит |
нулевую строку |
и |
|
ненулевой |
минор М2 |
|||||||
(выделен) максимального порядка 2: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
2 |
1 |
5 |
1 2 |
1 |
5 |
1 |
2 |
1 |
5 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А 2 |
3 |
1 |
8 ~ 0 |
1 |
1 |
2 |
~ 0 |
1 |
1 |
2 . |
|||
|
1 4 |
|
|
7 |
7 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
3 |
1 |
0 |
14 |
|
|
Ранг последней матрицы по определению равен двум, следовательно, таков же ранг исходной матрицы rA = 2.
27
Задания для решения в аудитории
I уровень
1.1. Найдите обратные матрицы для следующих матриц:
|
1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
1 2 1 |
||||||||||
1) |
|
|
|
2) |
|
|
3) |
|
0 |
1 |
|
|
|
4) |
|
1 |
1 |
|
|
||||||||||
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
4 ; |
|
4 . |
||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1.2. Решите матричное уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1) |
1 |
2 |
X |
2 |
|
3 |
|
2) |
|
|
1 |
2 |
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
X |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
5 |
6 |
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
5 |
6 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3) |
|
3 |
3 |
|
2 |
|
X |
|
2 |
; |
|
4) |
X |
|
3 |
3 |
|
2 |
|
3 2 |
1 . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3. Найдите какой-либо базисный минор матрицы:
|
6 |
6 |
|
0 0 |
2 |
|
1 |
0 |
0 |
2 |
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
2 |
2 ; |
2) |
3 |
0 |
0 ; |
3) |
1 |
0 |
0 |
3 |
1 . |
||||||
|
|
4 |
4 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
2 0 |
0 |
5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.4. Определите ранг матрицы и укажите один из базисных миноров:
2 |
3 |
3 |
1 |
|
1 |
|
2 |
|
1 |
2 |
1 |
|||||
|
4 |
|
|
А |
|
2 |
5 |
|
||||||||
1) |
|
|
; |
2) |
|
; 3) |
A |
8 ; 4) |
|
3 ; |
||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
6 |
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
2 |
|||
|
1 |
3 |
5 |
1 |
|
|
1 |
2 |
3 1 |
|
2 |
|||||
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
5) |
2 |
4 |
|
6) |
|
|
1 |
1 2 |
|
|
||||||
|
5 |
1 |
1 |
7 |
; |
4 |
|
3 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
8 |
11 7 |
|
|
||||||
|
|
7 |
7 |
9 |
1 |
|
|
|
|
|
12 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IIуровень
2.1.Найдите обратную матрицу для заданной матрицы,
используя формулу (1.4):
28
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) |
|
|
|
|
2) |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 2 |
3 ; |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
; |
||||
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2. Методом эквивалентных преобразований найдите |
|||||||||||||||
обратные для следующих матриц: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 0 1 |
|
|
1 5 |
3 |
|
1 3 |
3 |
|
|
|||||
1) |
|
|
|
|
2) |
|
|
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 2 2 ; |
|
2 9 |
4 ; |
3 1 |
3 . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 0 3 |
|
|
3 13 |
8 |
|
|
|
|
|
|||||
|
2.3. Решите матричное уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 3 |
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 1 |
X |
4 5 |
6 |
4 |
3 1 . |
|
|
|
|
||||||
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
7 |
8 0 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||
|
2.4. Найдите ранг матрицы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 1 4 |
4 |
7 |
|
|
2 1 1 |
2 6 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 5 2 |
|
|
|
|
||
|
0 0 5 |
7 |
|
9 |
|
|
3 4 |
|
||||||||
1) |
|
2 1 1 |
3 |
|
2 |
; |
2) |
|
3 4 |
|
1 |
5 7 |
; |
|
||
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
3 7 4 |
1 |
|
|
|
|||
|
2 1 9 |
16 |
|
|
7 |
|
||||||||||
|
|
8 4 1 |
5 |
|
1 |
|
|
|
0 11 5 |
4 |
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 0 0 |
1 4 |
|
|
|
1 1 2 |
3 |
|
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
0 1 0 |
2 5 |
|
|
|
2 |
2 |
|
0 |
|||||||
3) |
|
0 0 1 |
3 |
6 |
; |
|
4) |
|
1 2 |
1 |
1 |
|
3 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3 |
14 32 |
|
|
|
1 |
5 8 |
5 |
12 |
|||||||
|
|
4 5 6 |
32 77 |
|
|
|
|
3 7 8 |
9 |
|
13 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Задания для самостоятельного решения
1.Различными методами найдите обратные для следующих матриц:
|
1 |
2 |
|
4 |
0 |
|
2 |
7 |
3 |
|
2 |
5 |
7 |
|
||||||
1) |
2) |
|
3 |
9 |
|
|
4) |
|
6 |
3 |
4 |
|
||||||||
|
|
|
; |
|
|
|
; 3) |
|
4 ; |
|
; |
|||||||||
|
|
3 |
4 |
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
3 |
|
|
|
5 |
3 |
29
|
1 |
2 |
2 |
|
|
5) |
|
|
|
2 |
|
2 |
1 |
. |
|||
|
|
2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
2. Решите матричное уравнение:
1) |
2 |
5 |
X |
|
4 |
6 |
2) |
1 |
2 |
3 |
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
; |
X |
|
|
|
|
|
|
; |
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
3 |
4 |
|
|
1 |
5 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
2 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
2 |
1 |
2 |
X 0 |
3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
2 |
1 |
|
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
5 |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
4) |
X |
|
1 |
3 2 |
|
|
1 |
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|||
|
|
|
|
6 |
|
7 |
3 |
|
|
4 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5) |
1 |
|
1 |
|
0 |
1 |
2 |
1 |
|||||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
2 |
|
1 |
|
|
1 |
2 |
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Найдите ранг матрицы и укажите один из базисных миноров:
0 |
11 |
7 |
3 |
0 |
0 3 |
2 |
||||||
4. 1) |
|
|
; 2) |
|
|
|
; 3) |
|
|
|
|
; |
|
4 |
1 |
|
|
21 |
9 |
|
|
1 |
1 6 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 3 1 1 |
6 |
||||||||
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|||
|
|
|
1 |
2 3 0 |
1 1 4 1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4) |
|
2 |
|
3 1 ; |
5) |
|
|
|
; 6) |
|
|
|
|
|
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 1 2 |
|
1 1 1 5 |
8 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 |
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 4 1 |
|
1 2 3 4 |
10 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
14 |
32 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
2 |
|
5 |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
5 |
6 |
|
32 |
77 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
0 |
1 |
|
3 |
|
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30