Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

metodichkaFTUG_chast1

.pdf
Скачиваний:
20
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
2.68 Mб
Скачать

стоящих на пересечении k ее строк и k столбцов.

Основные методы нахождения ранга матрицы A

Метод окаймляющих миноров

В матрице A находят ненулевой минор Mk по возможности

наибольшего

порядка k,

k N,

затем вычисляют

все

окаймляющие

его миноры

(k 1) -го

порядка. Если все

они

равны нулю, то ранг матрицы равен k (rA = k). Если есть хотя бы один ненулевой минор Mk+1, то вычисляют все окаймляющие его миноры (k 1) -го порядка и процесс продолжается.

Метод элементарных преобразований

Используя элементарные преобразования, матрицу приводят к трапециевидной или треугольной форме, далее ранг находят по определению.

Пример 1. Исследовать матрицу A на невырожденность, найти A 1 , если она существует, результат проверить.

 

1

3

 

1

5

1

 

 

 

 

 

 

 

1)

А

 

;

А 2 4

3

.

 

2

 

2)

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

4

2

 

 

Решение. 1) Вычислим определитель матрицы A

det A=

 

3

 

 

1 4

3 2 4 6 2 0.

1

 

2

4

 

 

Невырожденность матрицы A означает, что существует единственная обратная ей матрица А–1.

1-й способ. Используя формулу (1.4), найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А:

А 1 1 1

4 4,

 

А 1 2 1

3 3,

11

 

 

 

 

 

21

 

А 1 1 2

2 2,

А 1 2 2

1 1.

12

 

 

 

 

 

22

 

Тогда по формуле (1.4) имеем:

 

А 1

1

4

3

2

3 / 2

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

1

1

1/ 2

 

2-й способ. Воспользуемся эквивалентностью матриц A / E

и E / А 1

:

 

 

 

 

 

21

 

1

3

 

1

 

0

1

 

3

 

 

1

0

~

 

 

 

 

 

 

 

A / E

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

 

0

1

 

 

0

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

 

 

 

0

~

1

 

0

 

 

2

 

3 / 2

E / А 1 .

 

1

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

1/ 2

 

 

 

0

 

1

 

 

1

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

2

3 / 2

 

А 1

 

 

.

 

 

1

1/ 2

 

 

 

 

 

 

Для контроля правильности результата достаточно проверить

условия A A 1

A 1 A E.

Действительно,

 

 

 

 

 

1

3 2

3/ 2

 

1

1

3 4

3

 

A А 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

2

1

1/ 2

 

2

2

1

 

 

1

4 6

3 3

1

2

0

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

6

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

8 8

4

0

 

0

1

 

 

 

 

 

 

Аналогично A 1 A E.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Вычислим определитель матрицы A

 

 

 

 

 

 

5

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

det A

2

4

3

1 4 2 1 2 4 3 5 3 1 4 3 1 3 4 2 5 2

 

 

 

3

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 8 45 12 12 20 17 0.

Невырожденность матрицы A означает, что существует единственная обратная ей матрица А–1.

1-й способ. Используя формулу (1.4), найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А:

 

1 1 1

4

 

 

3

 

 

 

 

 

А11

 

 

4,

А 1 2 1

5 1

6,

 

 

4

 

 

2

 

21

 

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1 2

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А12

 

 

 

5,

А22

1 2 2

 

1,

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

А13

1 3

 

2

 

4;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

А23

2 3

 

 

 

 

11;

 

 

 

 

3

4

 

 

 

1

 

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

А

1 3 1

 

5

1

11,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

 

 

 

 

 

 

 

4

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А 1 3 2

1

 

 

 

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А 1 3 3

1

 

 

6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33

 

 

 

 

 

 

 

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда по формуле (1.4) имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

6

 

 

11

 

4 /17

 

6 /17

11/17

 

 

А 1

 

1

 

 

5

 

 

1

 

 

1

 

 

5/17

 

1/17

1/17

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 /17

 

11/17 6 /17

 

 

 

 

 

 

 

 

4 11

 

6

 

 

 

 

 

2-й способ.

Воспользуемся эквивалентностью матриц A / E

и E / А 1

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 5 1

 

1

0 0

 

1 5

 

1

 

 

1 0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A / E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 4 3

 

0

1 0

~ 0 - 6

 

1

 

 

- 2 1 0 ~

 

 

 

 

3 4 2

 

0

 

 

 

 

 

 

0 -11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 1

 

 

-1

 

 

- 3 0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

5

 

1

 

 

 

1

0

 

0

1

5

0

 

21/17

-11/17

6/17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ 0

1

 

-1/6

1/3

-1/6

0

~ 0

1

0

 

5/17

-1/17

-1/17 ~

 

0

 

-17/6

2/3 -11/6

1

 

 

0

1

 

 

- 4/17

11/17

 

0

 

 

0

 

- 6/17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

0

 

- 6/17

- 4/17

 

 

 

 

 

 

~ 0

1

0

5/17

-1/17

 

0

0

1

- 4/17

11/17

 

 

 

 

 

 

11/17

E / А 1 .

 

-1/17

 

 

- 6/17

 

 

4 /17

6 /17

11/17

 

Следовательно, А 1

 

5/17

1/17

1/17

.

 

 

 

 

 

 

 

 

4 /17 11/17

6 /17

 

 

 

 

Для контроля правильности результата достаточно проверить условия A A 1 A 1 A E. Действительно,

23

 

 

 

 

 

 

1

 

5

 

 

1

4 /17

6 /17

 

 

11/17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A А 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4

 

 

3

 

 

 

5/17

1/17

 

 

1/17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

4

 

 

2

 

 

4 /17

11/17 6 /17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 5

 

1 4 6

11

 

 

 

 

 

 

- 4 25 - 4

- 6 - 5 11

11- 5 - 6

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

 

3

 

 

5

 

 

1

1

 

 

 

 

- 8 20 -12

-12 - 4 33

22 - 4 -18

 

17

 

 

 

 

 

17

 

 

3 4

 

2

 

 

4 11

 

 

 

 

 

-12 20 - 8

-18 - 4 22

33 - 4 -12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 7 0

0

 

 

1 0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 17

0

 

 

0 1

0

E.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично A 1 A E.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Решить матричное уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

 

 

2

0

 

 

 

 

 

 

1 5

1

 

 

1

2

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

4 ;

 

 

 

 

 

2

 

4

 

3

 

X

 

3 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

4

 

2

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

0

X

1

 

 

 

3

2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

 

 

 

 

 

 

1 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. 1) Запишем уравнение в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

XA B,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.5)

 

 

где A, B – заданные матрицы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

 

 

 

 

2

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; B

 

 

 

4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Умножим уравнение (1.5) справа на А–1. Тогда справедливо

 

 

XA A 1 B A 1

 

 

или,

учитывая определение

обратной

 

 

матрицы, X B A 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица

А–1

найдена в примере 1 п. 1):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А 1

 

 

 

1

4

3

 

 

2

 

3 / 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

1

 

1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

0

 

4

 

3

 

 

 

8

 

6

 

 

 

 

Тогда X B A 1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

4

 

 

 

 

 

 

 

8

4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

2

 

 

2

 

1

 

2

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значит,

 

X

4

 

 

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Запишем уравнение в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AX B,

 

(1.6)

где A, B – заданные матрицы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

5

 

 

1

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

2

 

4

 

 

3 ; B

3

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

4

 

 

2

 

 

 

 

4

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Умножим уравнение (1.6) слева на А–1. Тогда справедливо

A 1 AX A 1 B

 

или,

 

учитывая

определение

обратной

матрицы, X A 1

B.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица

 

 

А–1

найдена в примере 1 п. 2):

 

 

 

 

 

 

 

4

6

 

 

11

4 /17

6 /17

11/17

 

 

А 1

1

 

5

1

 

 

1

 

5/17

 

1/17

1/17

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

11

6

 

 

 

 

 

11/17

 

6 /17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 /17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 6

11 1 2

 

 

 

 

 

X A 1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

5

 

1

1

3 0

 

 

 

 

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

11

6

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 18 44

8 0 11

 

 

 

 

 

22

19

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 3 4

 

 

 

10 0 1

 

 

 

 

2

11 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

 

 

 

 

 

 

 

 

8

0 6

 

 

17

5

 

 

 

 

 

 

 

4 33 24

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22/17

19/17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значит,

 

X

 

2 /17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11/17

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 /17

 

2 /17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) Запишем уравнение в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AXB C,

 

 

(1.7)

где A, B, C – заданные матрицы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

 

 

1

3

 

2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

; B

 

 

 

 

; C

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

 

 

 

 

 

 

4

 

1 4

 

 

Умножим уравнение (1.7) слева на А–1 и справа на В–1. Тогда

справедливо

 

 

 

A 1 AXB B 1 A 1 C B 1

или,

учитывая

25

определение обратной матрицы, X A 1CB 1.

 

 

 

 

 

Матрица

 

 

 

В–1

 

найдена

 

в

 

 

 

примере

 

 

1

п.

1): B 1

 

1

 

 

4 3

2

 

3/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2 1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

–1

 

А 1

 

1

 

4

0

 

1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

Найдем А

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 0 1

1

 

1/ 4

1/ 4

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A 1СB 1

1

 

 

1

 

4 0

2 3 4

3

 

1

8

12 4

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 4

 

 

 

 

1 4

 

 

2

1

 

 

8

 

3

7

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

56

 

36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значит,

X

 

7

 

9 / 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13/ 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3. Найти ранг и указать один из базисных миноров матрицы А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

2

1

5

1

 

 

 

1)

1

5

 

 

 

1

A

 

2

 

 

2

4

 

 

 

 

A

;

2) A

; 3)

 

4 ; 4) А

 

3 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0

 

 

 

2

4

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

3

4

2

 

 

 

 

1

2

 

1

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А 2

3

 

1

8 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. 1) Вычислим определитель матрицы A:

 

 

 

 

 

 

 

det A

 

 

5

 

1 0 5 1 5 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значит, по определению r

= 2,

 

базисный минор M

2

 

 

5

 

.

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) det A

 

1

 

 

2

 

1 4 2 2 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значит, по определению rA = 1, а базисным минором можно считать любой отличный от нуля элемент матрицы A, например,

М1 = 4.

3) M

1

 

2

4

 

0 4 4 0. Этот же определитель можно

 

 

 

2

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

считать

одним

из базисных миноров. Заметим, что минор

26

M

2

 

 

2

4

 

0 базисным не является.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) det A

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4

3

8 8 45 12 12 20 17 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значит,

по

определению rA =

 

3. Этот же

определитель

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

является единственным базисным минором M 3

2

4

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

4

2

 

 

5) 1-й способ. Воспользуемся методом окаймляющих

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

миноров.

 

Фиксируем

M2

1

3 4 1 0.

Для М2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

окаймляющими будут два минора 3-го порядка:

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

1

 

 

 

1

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

(1)

 

2

3

 

 

 

1

 

 

2

1

1

0;

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

4

 

 

3

 

7

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

5

 

 

14

7

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

(2)

 

2

3

 

 

 

8

 

22

11

8

0.

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

1

 

 

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значит,

rA

=

2,

а

базисным

 

минором можно

считать,

например, М2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2-й способ. Приведём матрицу A к трапециевидной форме с

помощью элементарных преобразований. Ко второй строке прибавим первую, умноженную на (–2), к третьей строке прибавим первую, умноженную на (–3). Далее к третьей строке прибавим вторую, умноженную на (–7). В результате на втором шаге преобразований получим трапециевидную матрицу,

которая

содержит

нулевую строку

и

 

ненулевой

минор М2

(выделен) максимального порядка 2:

 

 

 

 

 

 

1

2

1

5

1 2

1

5

1

2

1

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А 2

3

1

8 ~ 0

1

1

2

~ 0

1

1

2 .

 

1 4

 

 

7

7

 

 

0

0

0

0

 

3

1

0

14

 

 

Ранг последней матрицы по определению равен двум, следовательно, таков же ранг исходной матрицы rA = 2.

27

Задания для решения в аудитории

I уровень

1.1. Найдите обратные матрицы для следующих матриц:

 

1

2

 

 

 

 

2

 

1

 

 

1

2

3

 

 

 

 

1 2 1

1)

 

 

 

2)

 

 

3)

 

0

1

 

 

 

4)

 

1

1

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

4 ;

 

4 .

 

 

6

 

 

 

 

 

 

3

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

2

 

 

 

 

 

2

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2. Решите матричное уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

1

2

X

2

 

3

 

2)

 

 

1

2

 

 

2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

X

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

4

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

3 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

6

 

4

 

 

3

 

 

 

 

5

6

 

4

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

3

3

 

2

 

X

 

2

;

 

4)

X

 

3

3

 

2

 

3 2

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

5

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

4

5

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3. Найдите какой-либо базисный минор матрицы:

 

6

6

 

0 0

2

 

1

0

0

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

2

2 ;

2)

3

0

0 ;

3)

1

0

0

3

1 .

 

 

4

4

 

 

 

0

0

0

 

 

 

2 0

0

5

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4. Определите ранг матрицы и укажите один из базисных миноров:

2

3

3

1

 

1

 

2

 

1

2

1

 

4

 

 

А

 

2

5

 

1)

 

 

;

2)

 

; 3)

A

8 ; 4)

 

3 ;

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

6

2

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

2

 

1

3

5

1

 

 

1

2

3 1

 

2

 

 

 

1

3

 

 

 

 

 

5)

2

4

 

6)

 

 

1

1 2

 

 

 

5

1

1

7

;

4

 

3 .

 

 

 

 

 

 

5

8

11 7

 

 

 

 

7

7

9

1

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IIуровень

2.1.Найдите обратную матрицу для заданной матрицы,

используя формулу (1.4):

28

 

1

1

1

 

 

1

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

2)

 

1

1

1

1

 

1 2

3 ;

 

1

1

1

1

;

 

 

3

4

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2. Методом эквивалентных преобразований найдите

обратные для следующих матриц:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0 1

 

 

1 5

3

 

1 3

3

 

 

1)

 

 

 

 

2)

 

 

 

3)

 

 

 

 

 

 

 

0 2 2 ;

 

2 9

4 ;

3 1

3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 3

1

 

 

 

 

 

0 0 3

 

 

3 13

8

 

 

 

 

 

 

2.3. Решите матричное уравнение:

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

1

2 3

1

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3 1

X

4 5

6

4

3 1 .

 

 

 

 

 

0

2

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

7

8 0

 

 

3

 

 

 

 

 

2.4. Найдите ранг матрицы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1 4

4

7

 

 

2 1 1

2 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 5 2

 

 

 

 

 

0 0 5

7

 

9

 

 

3 4

 

1)

 

2 1 1

3

 

2

;

2)

 

3 4

 

1

5 7

;

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

3 7 4

1

 

 

 

 

2 1 9

16

 

 

7

 

 

 

8 4 1

5

 

1

 

 

 

0 11 5

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0 0

1 4

 

 

 

1 1 2

3

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1

 

 

 

 

 

0 1 0

2 5

 

 

 

2

2

 

0

3)

 

0 0 1

3

6

;

 

4)

 

1 2

1

1

 

3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2 3

14 32

 

 

 

1

5 8

5

12

 

 

4 5 6

32 77

 

 

 

 

3 7 8

9

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задания для самостоятельного решения

1.Различными методами найдите обратные для следующих матриц:

 

1

2

 

4

0

 

2

7

3

 

2

5

7

 

1)

2)

 

3

9

 

 

4)

 

6

3

4

 

 

 

 

;

 

 

 

; 3)

 

4 ;

 

;

 

 

3

4

 

 

 

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

5

3

 

 

 

5

3

29

 

1

2

2

 

5)

 

 

 

2

 

2

1

.

 

 

2

2

1

 

 

 

 

2. Решите матричное уравнение:

1)

2

5

X

 

4

6

2)

1

2

3

4

 

 

 

 

 

 

 

;

X

 

 

 

 

 

 

;

 

 

1

 

 

 

 

2

1

 

 

 

3

4

 

 

1

5

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

2

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

2

1

2

X 0

3 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

1

 

 

 

4

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

5

2

 

 

 

 

3

4)

X

 

1

3 2

 

 

1

0

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

 

 

 

 

 

6

 

7

3

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

1

 

1

 

0

1

2

1

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

.

 

 

2

 

1

 

 

1

2

 

 

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Найдите ранг матрицы и укажите один из базисных миноров:

0

11

7

3

0

0 3

2

4. 1)

 

 

; 2)

 

 

 

; 3)

 

 

 

 

;

 

4

1

 

 

21

9

 

 

1

1 6

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

1

1

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1 3 1 1

6

 

1

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

1

2 3 0

1 1 4 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

 

2

 

3 1 ;

5)

 

 

 

; 6)

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

4 1 2

 

1 1 1 5

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

1

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 4 1

 

1 2 3 4

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

0

 

1

 

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

14

32

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

0

 

2

 

5

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

5

6

 

32

77

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

1

 

3

 

6

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]