Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

metodichkaFTUG_chast1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.03.2016

Размер:

2.68 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 132 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

1)	2		3	9		6	6		0	O;
	2 X
		4	6		6	4		0	4

1		0	1
2) 2	1	2	3	5X T 3E.

	2	2
	2	2	3

1.3. Найдите значения f(A) и f(B) функций f(х), если:

1				1		1	1
1		2			1 0
f x 5x 4, A			, B		1 0		3 .
	3	4
	3	4			2	2
					2	2	3

	1.4. Привести к трапециевидной или треугольной форме
матрицу:
					1	1	1	1	2	3	4
	1 2				1	1	1	2	3 0
1)	1 2			2)				2	3 0		1
1)			;	2)	1 0 3 ; 3)							.
		4						3	1	20	0
	3	4				2		3	1	20	0
					2	2	3	0	2	11	15
								0	2	11	15

IIуровень

2.1.Найдите сумму, разность и произведение матриц A и B,

		sin	cos			sin
если: 1)	A			, B
			sin			cos
		cos	sin			cos
	2)	a b	a b		a b
	2)	A		, B
			a			a b
		b	a			a b

2.2. Выполнить действия:

cos ; sin

b a

; a b

1)	1		2 3			;	2)	4 3		28	93 7		3
1)						;	2)							;
		3		4				7		38	126	2	1
		3		4				7	5	38	126	2	1
	0		0		1
							1	1
							1	1
		1	1		2
3)		1	1		2		2	2	4
3)							2	2		;

		2	2		3
		2	2		3				1

							1	1
							1	1
		3	3		4
		3	3		4

2.3. Найдите значение f(A) функции f(х), если:

1)	2		0
1)	f x x2 2x 2, A		;
		1
		1	3

	1		2	3
2) f x 3x2 2x 5, A		2	4	1	;

		3	5	2
		3	5	2

Задания для самостоятельного решения

1. Вычислить:

1) 2A –3B, если A						1 2			4		3			8			4
1) 2A –3B, если A									, B								;
														2
						1 0			3		1			2			0
							2		5 6						1		3	2
2) 4A – B, BA, если
2) 4A – B, BA, если						A		1	2 5	,		B				3	4	1	;
								1	3 2							2	5	3
								1	3 2							2	5	3
	2. Выполнить действия:
1)	3		0		2		3		9 6
1)	2										;
		0	2				6		6 4
		0	2		4		6		6 4
2) 4 0			2		3 1 3 1				1 5				2 Т ;
						6											2		1	1	2
	5	0	2											5			2		1	1
	5	0	2		3	2			4	1				5
3)						2			4	1												;
3)	4 1		5 3				; 4)								; 5) 3				1 0			;
										2							0		1 2
	3 1		1 2			7			5	2							0		1 2

						4
						4
	3. Найти матрицу X, удовлетворяющую условию:
			7 3								1						4	2 Т
	1)	2			Х Т О; 2)						1									Е;
	1)	2			Х Т О; 2)
												X 2
		12		13							3						1	3

4. Найдите значение f(A) функции f(х), если:

							2					1				3
1) f x 3x 4, A								1				3				0 ;

								4			2				1

																1		2
2) f x 2x3 5x2 16x 5, A																		;
																	0
																	0	3
5.	Привести					к	трапециевидной											или		треугольной				форме
											1					1	2		3	4
					2	7	4										1
					2	7	4				2					1			2	0
											2					1			2	0
матрицу: 1)					3	9	6 ; 2)
											1					2	1		1	3	.
					1	5 3					1					5 8			5	12
													3			7	8		9	13
													3			7	8		9	13
Ответы.
		7				28	4					21				23		15
		7				28	4												;
1.	1)							;		2)				13		34		10	;
				5		6
				5		6	6							9		22		25
														9		22		25
2.		6			0					3)			56			304		61			7	4	4
2.	1)					; 2) 31 ;				3)						4)				; 5)
			0										69 ;					62			9 4 3			;
			0		4								17			305		62				3	4
													17								3	3	4
		14				24				21						6
3.	1)									21						6
3.	1)						; 2)										;
				6							12
				6		26					12				15
					2	3	9							18			40
									; 2)					18			40
4.	1)				4	13		0	; 2)								;
															0
				12		6	1								0		62
				12		6	1
										1				1			2	3		4

		1 5				3				0 1							3	4		7
5.	1)		0		3			2)			0 0					14		16
			0		3	2 ;					0 0					14		16		29 .


			0 0			1				0 0							0	0		0
			0 0			1				0 0							0	0		0
											0			0			0	0		0
											0			0			0	0		0

1.2. Определители, их свойства и вычисление

Определитель (детерминант) квадратной матрицы An –

число, которое вычисляется по определенному правилу и обозначается = |A| = det A. Порядок матрицы A является и порядком ее определителя. Определители порядка 1–3 вычисляются соответственно по правилам:

a11 a11,

a11	a12	a \| a	22	\| a \| a \| a a			22	a a ,
a21	a22	11	22	12	21	11	22	12	21
a21	a22

a11

a12

a13

(1.3)

a22

a23

a21

a23

a21

a22

a31

a32

a33

a11a22a33

a12a23a31 a13a21a32

a11a23a32

a12a21a33 a13a22a31.

Минором Mij элемента aij

определителя

порядка n, где

i, j 1, n,

называется определитель (n–1)-го порядка,

полученный из

вычёркиванием i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением этого же элемента называется

число Аij = (–1)i+jMij.

Определитель порядка n, где n 2, n N, вычисляется аналогично определителю порядка 3 как обобщение равенств (1.3). Например:

a11	a12	...	a1n	a	A .
a21	a22	...	a2n	a	A .
				n
...	...	...	...	1 j	ij
...	...	...	...	j 1
an1	an2	...	ann

Последнее

равенство

называют

разложением

определителя по элементам первой строки.

Свойства определителей

n ;

;

4)общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя;

5)перестановка двух строк (столбцов) меняет знак определителя на противоположный;

6)|A| = 0, если выполняется одно из следующих условий:

-в определителе есть нулевая строка (нулевой столбец);

-в определителе есть пропорциональные строки (столбцы);

-в определителе есть строки (столбцы), являющиеся линейной комбинацией соответствующих элементов других строк (столбцов);

7)если к элементам одной строки (столбца) определителя прибавить линейную комбинацию соответствующих элементов других строк (столбцов), то значение определителя не изменится.

Основные методы вычисления определителей

Определитель порядка n может быть вычислен разложением

n	n
по любой строке (столбцу): \| A \| aij Aij aij Aij, ,		i, j 1, n.
j 1	i 1

Метод эффективного понижения порядка определителя:

используя свойства определителя, его преобразуют к такому виду, чтобы все элементы некоторой строки (столбца) определителя, кроме одного, стали нулевыми, затем вычисляют определитель разложением по этой строке (столбцу).

Метод приведения к треугольному или диагональному виду

с использованием свойств определителя, когда определитель равен произведению диагональных элементов.

Пример 1. Вычислить определитель					3	.
				6	3

				1	2
Решение. По определению:	6	3	6 2 3 1 15.
	6	3

	1	2
								3	1
							6	3	1
Пример 2. Вычислить		определитель					1	2	3
							1	2	3
							3	1	4

различными способами.

Решение. 1-й способ. Используем правило треугольников:

6 3 1

12 3 6 2 4 1 1 1 3 3 3

3 1 4

1 2 3 6 3 1 4 1 3 48 1 27 6 18 12 44

2-й способ. Разложим определитель по первой строке:

	3	1	6 1 1 1	2	3	3 1 1 2	1	3	1 1 1 3	1	2
6	3	1
1	2 3
1	2 3			1	4		3	4		3	1
3	1	4
6 8 3 3			4 9 1 6 44.

3-й способ. Занулим элементы первого столбца, т. е. используем метод эффективного понижения порядка. Для этого к первой строке прибавим вторую, умноженную на (–6), к третьей строке прибавим вторую, умноженную на 3. Затем разложим определитель по первому столбцу:

	3	1	0	15	17	1 1 2 1	15	17	75 119 44.
6
1	2	3	1	2	3
							7	5
3	1	4	0	7	5

4-й способ. Используя свойства определителя, приведем его к треугольному виду. Для этого поменяем местами первую и вторую строки. Затем ко второй строке прибавим первую, умноженную на (–6), к третьей строке прибавим первую, умноженную на 3. Далее ко второй строке прибавим третью, умноженную на 2. И, наконец, к третьей строке прибавим вторую, умноженную на 7. Определитель равен произведению диагональных элементов:

	6 3 1					1	2 3	1	2 3				1	2 3
	6 3 1					1	2 3	1	2 3				1	2 3
	1		2 3			6	3 1	0	15	17			0	1	7
	3		1 4			3	1 4	0	7 5				0	7 5
			2 3
		1	2 3
		0	1	7	1 1 44 44.
		0	0	44
													3	7	2
											4		3	7	2
Пример 3. Вычислить определитель												4	2	0	1	.
											2		5	6	9	.
											0		4	5	6

Решение. Используем метод эффективного понижения порядка. Для этого из первой строки вычтем, а ко второй прибавим удвоенную третью строку. Полученный определитель разложим по первому столбцу. Далее, из первой строки

определителя третьего порядка вычтем третью строку. Общий множитель (-11) элементов первой строки вынесем за знак определителя. Из третьего столбца вычтем удвоенный первый столбец. Затем разложим определитель по первой строке:

		7	2			0	7		5	16				7		5	16
4 3
4 3
4 2		0	1			0	12 12 17
4 2		0	1			0	12 12 17				2 1 3 1			12 12			17
2	5	6	9			2	5		6	9				4		5	6
0	4	5	6			0	4		5	6				4		5	6
0	4	5	6			0	4		5	6
	11 0			22						1 0 2					1 0		0
	11 0			22						1 0 2					1 0		0
2	12 12				17	2 11				12 12 17		22			12	12	7		.
	4 5				6					4 5 6					4	5	2
22 1 1 1 1					12	7		22 24 35 1298.
					12	7
					5	2
														1		2	3
													1	1		2	3
Пример 3. Вычислить определитель													1	1		2	0	.
													1	1		1	1	.
													1	1		1	1

Решение. Используя свойства определителя, приведем его к треугольному виду. Для этого из второй, третьей и четвёртой строки вычтем первую строку. Поменяем местами третью и четвёртую строки. Затем из четвёртой строки вычтем утроенную третью строку. Полученный определитель треугольного вида равен произведению диагональных элементов:

1	1	2	3	1	1	2	3	1	1	2	3	1	1	2	3
1	1	2	0	0	2	0	3	0	2	0	3	0	2	0	3
1	1	1 1		0	0	3	2	0	0	1	4	0	0	1	4
1	1	1	1 0		0	1	4	0	0	3	2	0	0	0	10

1 2 1 10 20.

Задания для решения в аудитории

I уровень

1.1. Вычислите определитель:

1)	2	5	;	2)	16	1	;	3)	cos	2 sin	; 4)	a b	a	.
	3	4			4	3			sin	2 cos		1	a b

1.2. Вычислите определитель различными способами:

	1 3		4		1	1	2		1 2		6		x	y	x y
	1 3		4		1	1	2		1 2		6		x	y	x y
1)	3	5	6	; 2)	2	3	7	; 3)	1	1	3	; 4)	1	1	5	.
	2	2	10		5	2	1		2	1 0			2	3	4

1.3. Найдите миноры М11, М32 и алгебраические дополнения А23,

	2 7			4		1 2 3				4
					; 2)		1		1
А33 для следующих матриц: 1)		3	9	6	; 2)		1	0	1	1
											.
		1	5	3			2	5	2	1
							3	6	1	1
							3	6	1	1

IIуровень

2.1.Вычислите определитель приведением к треугольному виду и используя метод эффективного понижения порядка:

	2	3	11	5			2		1	3	1
	2	3	11	5

1)	1	1	5	2	;	2)	1		4	2	3
							1		4	2	3	;
	2	1	3	2			3	1		1	2	;
	1	1	3	4			5		2	2	3

		4	7	5			1	4	10	20
	3	4	7	5			1	4	10	20
3)	2	5	4	3	;	4)	1	2	3	4	.
	3	2 5		3	;		1	3	6	10	.
	4	9	8	5			1	1	1	1

2.2. Решите уравнение:

1)	x 2	3	0;	2)	x 1	1	0; 3)			x 1		x 3		0; 4)			x	2	x
																	x	2	x
																	1 x		2	0.
	1	4			x 9	x				x 4		x 2					1	3	3
																	1	3	3
								x	2		1				1	1		1
								x	2		1				1	1		1
	2.3. Решите неравенство:1)							0		x	1	0;	2)		1	x		1	8x.
								2	0		2				x	2		x 1

Задания для самостоятельного решения

1. Вычислите определитель:

1)	3 4	; 2)	1	11	;3)	1	sin 2	; 4)	a b	b a	.

	7 5		4	13		1	1		a2 b2	ab
						cos2

2.Вычислите определитель различными способами:


				2 3				4	2 1					3	4 5			a a a
		1		2 3				4	2 1					3	4 5			a a a
1)		4		5 6		; 2)		5	3 2			; 3)		8	7 2		; 4)	a a	a	.
		7		8 9				3	2 1					2	1 8			a a	a
3.					Найдите					миноры					М21, М33			и алгебраические
			дополнения А13, А32 для следующих матриц:
	1				0		2			0		1	1		1
	1				0		2
1)				4	5		1	; 2)			2	3 4			0
																.
				3	2		7				4	1	2		3	.
				3	2		7
											0	1	3		6
											0	1	3		6

4.Вычислите определитель, используя метод приведения к треугольному виду и метод эффективного понижения порядка:

	1	2	3	4			2	1	1	0
	1	2	3	4

1)	2	3	4	1	;	2)	0	1	2	1	;
1)	3	4	1	2	;	2)	3	1	2	3	;
	4	1	2	3			3	1	6	1

			7			2	10					2		5 4 3
		8	7			2	10					2		5 4 3
	3)	8 2 7 10						;		4)		3 4 7 5				.
		4 4				4	5	;				4 9 8 5				.
		0 4				3 2						3		2 5 3
	5.	Решите уравнение:
1)			1	0;				2)	x	x 1			0;
	4		1						x	x 1
	x 4								4	x 1
	x 4		2						4	x 1
	x2	4	9									x		x
	x2	4	9						3			x		x
3)	x 2		3		0;			4)	2		1			3	0.
	1	1	1						x 10		1			1

6. Решите неравенство:

1)	x	2	0;	2)	1	x	1

					1	3	1	1.
	1	x 1
					x 2	2	x 1
Ответы.

1. 1) 43; 2) –31; 3)				1	; 4)	a3 b3.
				cos2

2.1) 0; 2) 1; 3) 0; 4) 4a3.

3.1) 4, –5, –23, 9; 2) 1, –2, –18, 18.

4.1) 160; 2) 0; 3) –1800; 4) 4.

	1) x 12; 2) x1 1; x2 4; 3) x1 2; x2 3;
5.	1) x 12; 2) x1 1; x2 4; 3) x1 2; x2 3;	4) x1,2 4 22.
6.	1) ; 2 1; ; 2) 2;0,5 .

1.3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Квадратная матрица B называется обратной к матрице A и обозначается A–1, если AB BA E. Для квадратной матрицы A обратная матрица A–1 существует тогда и только тогда, когда A –

невырожденная матрица, т. е. det A 0.
Вычисление обратной матрицы:
1-й способ. С помощью формулы
			A	A ...	A
			11	21	n1
A 1	1	A12		A22 ...	An2
						(1.4)

	det A				...
	det A	... ... ...			...
				A2n ...
		A1n		A2n ...	Ann

где Aij – алгебраические дополнения элементов aij матрицы A. 2-й способ. С помощью элементарных преобразований строк матрица A / E приводится к виду E / B . Тогда B A 1.

Рангом матрицы A называется наивысший порядок отличных от нуля ее миноров. Обозначение: rA или rank A. Любой ненулевой минор порядка r = rA называется базисным минором матрицы A. При этом под минором порядка k матрицы понимают определитель, составленный из элементов матрицы,

<<< < Предыдущая 12 / 132 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2019500.74 Кб2Metodicheskie_ukazania_po_vypolneniyu_kursovoy_....doc
#
31.05.20151.73 Mб20metodichka . физика.pdf
#
31.05.2015597.5 Кб16metodichka по МП пассажиров.doc
#
05.12.20189.82 Mб20Metodichka.doc
#
26.03.20161.61 Mб51MetodichkaC_14ch1.doc
#
26.03.20162.68 Mб20metodichkaFTUG_chast1.pdf
#
26.03.20161.82 Mб6metodichkaFTUG_chast2.pdf
#
10.11.20197.85 Mб10Metodichka_1_kurs.doc
#
26.03.201685.22 Кб12metodichka_magistranty.docx
#
31.05.20151.09 Mб4Metodichka_ME_i_VED.doc
#
20.12.2018310.78 Кб5metodichka_mido-progr.doc

a11	a12	...	a1n	a	A .
a21	a22	...	a2n	a	A .
				n
...	...	...	...	1 j	ij
...	...	...	...	j 1
an1	an2	...	ann

1	1	2	3	1	1	2	3	1	1	2	3	1	1	2	3
1	1	2	0	0	2	0	3	0	2	0	3	0	2	0	3
1	1	1 1		0	0	3	2	0	0	1	4	0	0	1	4
1	1	1	1 0		0	1	4	0	0	3	2	0	0	0	10

a11	a12	...	a1n	a	A .
a21	a22	...	a2n	a	A .
				n
...	...	...	...	1 j	ij
...	...	...	...	j 1
an1	an2	...	ann

1	1	2	3	1	1	2	3	1	1	2	3	1	1	2	3
1	1	2	0	0	2	0	3	0	2	0	3	0	2	0	3
1	1	1 1		0	0	3	2	0	0	1	4	0	0	1	4
1	1	1	1 0		0	1	4	0	0	3	2	0	0	0	10

a11	a12	...	a1n	a	A .
a21	a22	...	a2n	a	A .
				n
...	...	...	...	1 j	ij
...	...	...	...	j 1
an1	an2	...	ann

1	1	2	3	1	1	2	3	1	1	2	3	1	1	2	3
1	1	2	0	0	2	0	3	0	2	0	3	0	2	0	3
1	1	1 1		0	0	3	2	0	0	1	4	0	0	1	4
1	1	1	1 0		0	1	4	0	0	3	2	0	0	0	10