metodichkaFTUG_chast1
.pdfРешение. Каноническое уравнение эллипса имеет вид
x2 |
|
y2 |
1. Так как точки |
M , N лежат на эллипсе, то их |
|
a2 |
b2 |
||||
|
|
|
координаты удовлетворяют его уравнению:
|
49 |
1 , |
16 |
|
1 |
1 a2 |
|
49 |
,b2 49 . |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
b2 |
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найдем полуоси: |
a |
7 |
, b 7 и фокусы |
F |
0, c , F |
0, c , |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где c2 b2 |
a2 |
49 |
49 |
|
|
98 |
c |
7 |
|
|
2 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Эксцентриситет эллипса |
|
|
|
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Записать каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси Ох симметрично относительно начала координат, если действительная ось равно 10, а мнимая ось 14.
Решение. По условию задачи 2a 10, 2b 14 a 5, b 7 . Подставляя эти данные в каноническое уравнение гиперболы,
получим x2 y2 1 . 25 49
Пример 3. Записать каноническое уравнение параболы, если известно, что фокус находится в точке F1 0,3 .
|
|
Решение. |
Так как фокус параболы |
находится |
в точке |
|
F1 0,3 , то парабола симметрична относительно оси Оу и ее |
||||
каноническое |
уравнение имеет вид |
x2 2qy . |
Находим |
||
|
q |
3 q 6. |
Отсюда получаем x2 12 y . |
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
Пример 4. Установить вид кривой второго порядка, определяемой уравнением: 1) 4x2 9 y2 16x 18y 29 0;
2) y2 6x 8y 8 0.
111
Решение. 1) Вынося за скобки коэффициенты при квадратах и выделяя полные квадраты, получаем
4 x2 4x 9 y2 2 y 29 0; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x2 4x 4 4 |
|
|
|
y2 2 y 1 |
|
|
|
|
|||
4 |
|
|
9 |
|
1 29 0; |
|
|
||||||
4 x 2 2 16 9 y 1 2 9 29 0; |
|
|
|
||||||||||
4 x 2 2 9 y 1 2 |
36; |
|
|
|
|
|
|
||||||
x 2 2 |
y 1 2 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
9 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переходя |
к |
|
|
новым |
|
координатам |
по |
формуле |
|||||
X x 2, Y y 1 , получаем |
X 2 |
|
Y 2 |
1. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
4 |
|
|
|
Это уравнение определяет уравнение гиперболы с центром в точке O1 2,1 и полуосями a 3, b 2.
2)Преобразуем левую часть уравнения: y2 6x 8y 8 0;
y2 8y 16 16 6x 8 0;
y 4 2 6 x 4 .
Переходим к |
новым |
координатам по |
формуле |
X x 4, Y y 4 , |
получаем |
Y 2 6X . Уравнение |
определяет |
параболу с вершиной в точке O1 4, 4 , а ось параллельна оси
Ох.
Задания для самостоятельного решения
I уровень
1.1. Определить полуоси каждого из следующих эллипсов:
1) |
|
x2 |
|
y2 |
1; 2) |
x2 |
y2 1; 3) x2 25 y2 25 . |
|
|
|
4 |
||||
|
16 |
9 |
|
|
1.2. Дан эллипс 9x2 25 y2 225 . Найти: 1) его полуоси; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис.
112
1.3. Дана гипербола 16x2 9 y2 144 . Найти: 1) полуоси а и b; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис.
1.4. Определить величину параметра и расположение относительно координатных осей следующих парабол: 1) у2 = 6х; 2) х2 = 5у.
II уровень
2.1. Записать каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки M (1,7), N( 2,5) . Найти полуоси, фокусы и эксцентриситет.
2.2.Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что: 1) его полуоси равны 5 и 2; 2) его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2с = 8; 3) его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами 2с =10;
2.3.Записать каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси Ох симметрично относительно начала координат, если 1)расстояние между фокусами равно 28, эксцентриситет равен 2; 2) действительная ось равна 6,
эксцентриситет равен 53 .
2.4.Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что: 1) парабола симметрично расположена относительно оси Ох и проходит через точку А (9; 6); 2) парабола симметрично расположена относительно оси Оу и проходит через точку D (4; — 8).
2.5.Привести к каноническому виду уравнения линий и построить:
1)2x2 3y2 4x 6 y 7 0 ;
2)x2 2 y 4x 4 0;
3)16x2 9 y2 64x 54 y 161 0;
4)y2 9 y 4x 16 0;
113
5)5x2 9 y2 30x 18y 9 0;
6)x 2 4 y 2 6x 8 y 21 0.
Задания для самостоятельного решения
1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что: 1) расстояние между его фокусами 2с = 6 и
эксцентриситет 53 ; 2) его большая ось равна 20, а
эксцентриситет |
3 |
; 3) его малая ось равна 10, а |
|
5 |
|||
|
|
эксцентриситет 1213 .
2. Записать каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси Ох симметрично относительно начала координат, если: 1)расстояние между фокусами равно 10, мнимая ось равна 8; 2) мнимая ось равна 16, эксцентриситет равен 53 .
3. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что: 1) парабола симметрично расположена относительно оси Ох и проходит через точку В(—1; 3); 2) парабола симметрично расположена относительно оси Оу и проходит через точку С(1; 1).
4. Привести к каноническому виду уравнения линий и посторить:
1)x2 4 y2 8x 24 y 16 0;
2)4x2 8x 5y 2 0;
3)4x2 y2 8x 2 y 13 0;
4)5x2 8x 2 y 6 0;
114
5)4x2 9 y2 16x 18 y 11 0;
6)16 x 2 9 y 2 64 x 18 y 199 0.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
y2 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|||||||||||||
|
Ответ. 1. 1) |
|
|
|
|
|
|
1; |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1; |
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
||||||||||||||||
|
25 |
|
16 |
100 |
64 |
169 |
|
25 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2. 1) |
x2 |
|
y2 |
|
1 ;2) |
|
x2 |
|
y2 |
|
1 . 3. 1) у2 = — 9x; 2) x2 = у. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
9 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
36 |
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
y 3 2 |
|
|
x 4 2 |
1; 2) x 1 |
2 |
|
5 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
4. 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
||||||||
|
|
x 1 |
2 |
|
|
|
y 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1; 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
16 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x 2 2 |
y 1 2 |
|
|
|
|
|
y 1 2 |
|
|
x 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1; 6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 . |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.6. Поверхности второго порядка
Поверхностью второго порядка называется поверхность S,
общее уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид:
Ax2 By2 Cz2 2Dxy 2Exz 2Fyz 2Gx 2Hy 2Kz L 0,
(3.33)
где коэффициенты при одночленах второй степени одновременно не равны нулю.
Рассмотрим частные случаи:
1. Эллипсоид: x2 y2 z2 1 (рис. 3.5). a2 b2 c2
115
2.Конус второго порядка:
Рис. 3.6
3.Гиперболоиды
1)однополостный:
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
1 (рис. 3.7); |
|
a2 |
b2 |
c2 |
||||
|
|
|
4. Параболоиды
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
0 |
(рис. 3.6). |
|
a2 |
b2 |
c2 |
|||||
|
|
|
|
2) двуполостный: |
|
|||||||
|
x |
2 |
|
y2 |
|
z2 |
1 |
(рис. 3.8). |
|
a |
2 |
b2 |
c2 |
||||
|
|
|
|
|
116
1) эллиптический: |
2) гиперболический: |
||||||||||
|
x |
2 |
|
y2 |
2z (рис. 3.9); |
|
x |
2 |
|
y2 |
2z (рис. 3.10). |
|
a |
2 |
b2 |
|
a |
2 |
b2 |
||||
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.9 |
Рис. 3.10 |
5. Цилиндры
1) эллиптический: |
2) гиперболический: |
||||||||||
|
x |
2 |
|
y2 |
1 (рис. 3.11); |
|
x |
2 |
|
y2 |
1 (рис. 3.12); |
|
a |
2 |
b2 |
|
a |
2 |
b2 |
||||
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.11 |
Рис. 3.12 |
3) параболический: y2 2 px |
( p 0) (рис. 3.13). |
117
Рис. 3.13
Пример 1. Привести уравнение к каноническому виду и определить тип поверхности, которую оно задает:
1)9x2 16 y2 36z2 18x 64 y 216z 253 0;
2)4x2 9 y2 36z2 16x 54 y 72z 65 0.
Решение. 1) Воспользуемся методом выделения полных квадратов. Преобразуем левую часть уравнения:
9 x2 2x 1 1 16 y2 4y 4 4 36 z2 6z 9 9 253
9 x 1 2 9 16 y 2 2 64 36 z 3 2 324 253
9 x 1 2 16 y 2 2 36 z 3 2 144.
Значит, заданное уравнение равносильно уравнению
9 x 1 2 16 y 2 2 |
36 z 3 2 |
144 или, |
разделив обе части |
||||||||||||||||
|
|
|
(x 1)2 |
|
( y 2)2 |
|
(z 3)2 |
|
|
|
|
||||||||
уравнения на 144, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|||
42 |
|
32 |
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Переходим |
к |
новым |
координатам |
|
|
по |
формуле |
||||||||||||
X x 1, Y y 2, Z z 3 , |
получаем |
|
|
|
X 2 |
|
Y 2 |
|
Z 2 |
1. |
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
2 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
Уравнение определяет эллипсоид с полуосями a 4,b 3,c 2. 2) Преобразуем левую часть уравнения:
4 x2 4x 4 9 y2 6y 9 36 z2 2z 1 16 81 36 65 0;
4 x 2 2 9 y 3 2 36 z 1 2 36.
Разделив обе части уравнения на 36 и введя новые координаты
118
по формулам X x 2, Y y 3, Z z 1 , получаем
X 2 Y 2 Z 2 1. 32 22 12
Изучим форму этой поверхности с помощью метода сечений. Найдем главные сечения. В сечении поверхности плоскостью
Оху получим гиперболу |
X 2 |
|
Y 2 |
1, Z 0; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в сечении плоскостью Оуz гиперболу |
Y 2 |
|
|
Z 2 |
1, X 0; |
|||||||||
|
|
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
в сечении плоскостью Охz эллипс |
X 2 |
|
|
Z 2 |
1, Y 0. |
|||||||||
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
Плоскость, параллельная плоскости Оху, пересекает
поверхность по гиперболе |
X 2 |
|
Y 2 |
1 |
h2 |
, Z h. |
|
2 |
|
|
|||||
|
2 |
2 |
1 |
|
|||
|
3 |
|
|
Плоскость, параллельная плоскости Оуz, пересекает
поверхность по гиперболе |
Y 2 |
|
Z |
2 |
1 |
h2 |
, X h. |
|
|
2 |
|
||||||
2 |
2 |
|
9 |
|
||||
|
|
1 |
|
|
Плоскость, параллельная плоскости Охz, пересекает
поверхность по эллипсу |
X 2 |
|
Z |
2 |
1 |
h2 |
, Y h. |
2 |
2 |
|
|||||
|
|
4 |
|
||||
|
3 |
|
1 |
|
|
Анализируя сечения, получаем, что данная поверхность является однополостным гиперболоидом.
Задания для решения в аудитории
I уровень
1.1. Найдите центр и длины полуосей эллипсоида:
1)x2 4 y2 4z2 16; 2) 16(x 1)2 9( y 2)2 36(z 2)2 144;
3)4x2 9 y2 36z2 8x 36 y 72z 40 0.
1.2. Определите, какая поверхность задана уравнением:
119
1) |
x2 y2 1 0; |
2) y2 8z; |
|
3) |
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
z2 |
1; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
12 |
|
4 |
|
|||||
4) |
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
1; |
5) x2 |
y2 |
|
z2 |
1; |
6) |
|
y2 |
|
|
z2 |
|
1. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
4 |
9 |
16 |
|
4 |
9 |
|
|
4 |
9 |
|
|
|
|
IIуровень
2.1.Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности:
1)2x2 6 y2 3z2 12x 24 y 24z 30 0;
2)x2 2 y2 3z2 4x 4 y 24z 52 0;
3)x2 2 y2 6x 18y 8z 49 0;
4)2x2 3y2 6x 18 y 12z 47 0;
5)2x2 y2 z2 16x 2 y 4z 17 0.
2.2. Постройте цилиндр: |
|
|
|
1) |
x2 z2 4x 3 0; |
2) |
y2 z 1; |
3) |
x2 z2 2x 0; |
4) |
z x2 4 0. |
Задания для самостоятельного решения
1. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности:
1)x2 y2 z2 4 y 4z 4 0;
2)x2 y2 4z2 2 y 16z 11 0;
3)x2 5 y2 z2 20 y 20 0;
4)x2 y2 4 y z 4 0;
5)x2 y2 4z2 6 y 8 0;
6)x2 2 y2 z2 4z 4 0.
2. Постройте цилиндр:
1) |
y2 6 y 4x 13 0; |
2) x2 y2 2 y 0; |
3) |
x2 4 y2 8y 0. |
|
120