Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

metodichkaFTUG_chast1

.pdf
Скачиваний:
20
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
2.68 Mб
Скачать

Решение. Каноническое уравнение эллипса имеет вид

x2

 

y2

1. Так как точки

M , N лежат на эллипсе, то их

a2

b2

 

 

 

координаты удовлетворяют его уравнению:

 

49

1 ,

16

 

1

1 a2

 

49

,b2 49 .

 

 

 

 

b2

a2

b2

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем полуоси:

a

7

, b 7 и фокусы

F

0, c , F

0, c ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где c2 b2

a2

49

49

 

 

98

c

7

 

 

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эксцентриситет эллипса

 

 

 

 

2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

3

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Записать каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси Ох симметрично относительно начала координат, если действительная ось равно 10, а мнимая ось 14.

Решение. По условию задачи 2a 10, 2b 14 a 5, b 7 . Подставляя эти данные в каноническое уравнение гиперболы,

получим x2 y2 1 . 25 49

Пример 3. Записать каноническое уравнение параболы, если известно, что фокус находится в точке F1 0,3 .

 

 

Решение.

Так как фокус параболы

находится

в точке

 

F1 0,3 , то парабола симметрична относительно оси Оу и ее

каноническое

уравнение имеет вид

x2 2qy .

Находим

 

q

3 q 6.

Отсюда получаем x2 12 y .

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Пример 4. Установить вид кривой второго порядка, определяемой уравнением: 1) 4x2 9 y2 16x 18y 29 0;

2) y2 6x 8y 8 0.

111

Решение. 1) Вынося за скобки коэффициенты при квадратах и выделяя полные квадраты, получаем

4 x2 4x 9 y2 2 y 29 0;

 

 

 

 

 

 

 

x2 4x 4 4

 

 

 

y2 2 y 1

 

 

 

 

4

 

 

9

 

1 29 0;

 

 

4 x 2 2 16 9 y 1 2 9 29 0;

 

 

 

4 x 2 2 9 y 1 2

36;

 

 

 

 

 

 

x 2 2

y 1 2

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Переходя

к

 

 

новым

 

координатам

по

формуле

X x 2, Y y 1 , получаем

X 2

 

Y 2

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

4

 

 

 

Это уравнение определяет уравнение гиперболы с центром в точке O1 2,1 и полуосями a 3, b 2.

2)Преобразуем левую часть уравнения: y2 6x 8y 8 0;

y2 8y 16 16 6x 8 0;

y 4 2 6 x 4 .

Переходим к

новым

координатам по

формуле

X x 4, Y y 4 ,

получаем

Y 2 6X . Уравнение

определяет

параболу с вершиной в точке O1 4, 4 , а ось параллельна оси

Ох.

Задания для самостоятельного решения

I уровень

1.1. Определить полуоси каждого из следующих эллипсов:

1)

 

x2

 

y2

1; 2)

x2

y2 1; 3) x2 25 y2 25 .

 

 

 

4

 

16

9

 

 

1.2. Дан эллипс 9x2 25 y2 225 . Найти: 1) его полуоси; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис.

112

1.3. Дана гипербола 16x2 9 y2 144 . Найти: 1) полуоси а и b; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис.

1.4. Определить величину параметра и расположение относительно координатных осей следующих парабол: 1) у2 = 6х; 2) х2 = 5у.

II уровень

2.1. Записать каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки M (1,7), N( 2,5) . Найти полуоси, фокусы и эксцентриситет.

2.2.Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что: 1) его полуоси равны 5 и 2; 2) его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2с = 8; 3) его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами 2с =10;

2.3.Записать каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси Ох симметрично относительно начала координат, если 1)расстояние между фокусами равно 28, эксцентриситет равен 2; 2) действительная ось равна 6,

эксцентриситет равен 53 .

2.4.Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что: 1) парабола симметрично расположена относительно оси Ох и проходит через точку А (9; 6); 2) парабола симметрично расположена относительно оси Оу и проходит через точку D (4; — 8).

2.5.Привести к каноническому виду уравнения линий и построить:

1)2x2 3y2 4x 6 y 7 0 ;

2)x2 2 y 4x 4 0;

3)16x2 9 y2 64x 54 y 161 0;

4)y2 9 y 4x 16 0;

113

5)5x2 9 y2 30x 18y 9 0;

6)x 2 4 y 2 6x 8 y 21 0.

Задания для самостоятельного решения

1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что: 1) расстояние между его фокусами 2с = 6 и

эксцентриситет 53 ; 2) его большая ось равна 20, а

эксцентриситет

3

; 3) его малая ось равна 10, а

5

 

 

эксцентриситет 1213 .

2. Записать каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси Ох симметрично относительно начала координат, если: 1)расстояние между фокусами равно 10, мнимая ось равна 8; 2) мнимая ось равна 16, эксцентриситет равен 53 .

3. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что: 1) парабола симметрично расположена относительно оси Ох и проходит через точку В(—1; 3); 2) парабола симметрично расположена относительно оси Оу и проходит через точку С(1; 1).

4. Привести к каноническому виду уравнения линий и посторить:

1)x2 4 y2 8x 24 y 16 0;

2)4x2 8x 5y 2 0;

3)4x2 y2 8x 2 y 13 0;

4)5x2 8x 2 y 6 0;

114

5)4x2 9 y2 16x 18 y 11 0;

6)16 x 2 9 y 2 64 x 18 y 199 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

y2

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

x2

 

y2

 

Ответ. 1. 1)

 

 

 

 

 

 

1;

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1;

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

25

 

16

100

64

169

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. 1)

x2

 

y2

 

1 ;2)

 

x2

 

y2

 

1 . 3. 1) у2 = — 9x; 2) x2 = у.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

16

 

 

 

 

 

 

 

36

64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 3 2

 

 

x 4 2

1; 2) x 1

2

 

5

 

 

 

 

6

 

 

 

4. 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

x 1

2

 

 

 

y 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

2

 

 

 

2

 

 

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1; 4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

16

 

 

5

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 2

y 1 2

 

 

 

 

 

y 1 2

 

 

x 2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1; 6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 .

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

16

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.6. Поверхности второго порядка

Поверхностью второго порядка называется поверхность S,

общее уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид:

Ax2 By2 Cz2 2Dxy 2Exz 2Fyz 2Gx 2Hy 2Kz L 0,

(3.33)

где коэффициенты при одночленах второй степени одновременно не равны нулю.

Рассмотрим частные случаи:

1. Эллипсоид: x2 y2 z2 1 (рис. 3.5). a2 b2 c2

115

2.Конус второго порядка:

Рис. 3.6

3.Гиперболоиды

1)однополостный:

x2

 

y2

 

z2

1 (рис. 3.7);

a2

b2

c2

 

 

 

4. Параболоиды

x2

 

y2

 

z2

0

(рис. 3.6).

a2

b2

c2

 

 

 

 

2) двуполостный:

 

 

x

2

 

y2

 

z2

1

(рис. 3.8).

 

a

2

b2

c2

 

 

 

 

 

116

1) эллиптический:

2) гиперболический:

 

x

2

 

y2

2z (рис. 3.9);

 

x

2

 

y2

2z (рис. 3.10).

 

a

2

b2

 

a

2

b2

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.9

Рис. 3.10

5. Цилиндры

1) эллиптический:

2) гиперболический:

 

x

2

 

y2

1 (рис. 3.11);

 

x

2

 

y2

1 (рис. 3.12);

 

a

2

b2

 

a

2

b2

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.11

Рис. 3.12

3) параболический: y2 2 px

( p 0) (рис. 3.13).

117

Рис. 3.13

Пример 1. Привести уравнение к каноническому виду и определить тип поверхности, которую оно задает:

1)9x2 16 y2 36z2 18x 64 y 216z 253 0;

2)4x2 9 y2 36z2 16x 54 y 72z 65 0.

Решение. 1) Воспользуемся методом выделения полных квадратов. Преобразуем левую часть уравнения:

9 x2 2x 1 1 16 y2 4y 4 4 36 z2 6z 9 9 253

9 x 1 2 9 16 y 2 2 64 36 z 3 2 324 253

9 x 1 2 16 y 2 2 36 z 3 2 144.

Значит, заданное уравнение равносильно уравнению

9 x 1 2 16 y 2 2

36 z 3 2

144 или,

разделив обе части

 

 

 

(x 1)2

 

( y 2)2

 

(z 3)2

 

 

 

 

уравнения на 144, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

42

 

32

 

 

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Переходим

к

новым

координатам

 

 

по

формуле

X x 1, Y y 2, Z z 3 ,

получаем

 

 

 

X 2

 

Y 2

 

Z 2

1.

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

Уравнение определяет эллипсоид с полуосями a 4,b 3,c 2. 2) Преобразуем левую часть уравнения:

4 x2 4x 4 9 y2 6y 9 36 z2 2z 1 16 81 36 65 0;

4 x 2 2 9 y 3 2 36 z 1 2 36.

Разделив обе части уравнения на 36 и введя новые координаты

118

по формулам X x 2, Y y 3, Z z 1 , получаем

X 2 Y 2 Z 2 1. 32 22 12

Изучим форму этой поверхности с помощью метода сечений. Найдем главные сечения. В сечении поверхности плоскостью

Оху получим гиперболу

X 2

 

Y 2

1, Z 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в сечении плоскостью Оуz гиперболу

Y 2

 

 

Z 2

1, X 0;

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

в сечении плоскостью Охz эллипс

X 2

 

 

Z 2

1, Y 0.

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

1

 

 

 

 

Плоскость, параллельная плоскости Оху, пересекает

поверхность по гиперболе

X 2

 

Y 2

1

h2

, Z h.

2

 

 

 

2

2

1

 

 

3

 

 

Плоскость, параллельная плоскости Оуz, пересекает

поверхность по гиперболе

Y 2

 

Z

2

1

h2

, X h.

 

2

 

2

2

 

9

 

 

 

1

 

 

Плоскость, параллельная плоскости Охz, пересекает

поверхность по эллипсу

X 2

 

Z

2

1

h2

, Y h.

2

2

 

 

 

4

 

 

3

 

1

 

 

Анализируя сечения, получаем, что данная поверхность является однополостным гиперболоидом.

Задания для решения в аудитории

I уровень

1.1. Найдите центр и длины полуосей эллипсоида:

1)x2 4 y2 4z2 16; 2) 16(x 1)2 9( y 2)2 36(z 2)2 144;

3)4x2 9 y2 36z2 8x 36 y 72z 40 0.

1.2. Определите, какая поверхность задана уравнением:

119

1)

x2 y2 1 0;

2) y2 8z;

 

3)

 

x2

 

 

 

y2

 

z2

1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

12

 

4

 

4)

x2

 

y2

 

z2

1;

5) x2

y2

 

z2

1;

6)

 

y2

 

 

z2

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

9

16

 

4

9

 

 

4

9

 

 

 

 

IIуровень

2.1.Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности:

1)2x2 6 y2 3z2 12x 24 y 24z 30 0;

2)x2 2 y2 3z2 4x 4 y 24z 52 0;

3)x2 2 y2 6x 18y 8z 49 0;

4)2x2 3y2 6x 18 y 12z 47 0;

5)2x2 y2 z2 16x 2 y 4z 17 0.

2.2. Постройте цилиндр:

 

 

1)

x2 z2 4x 3 0;

2)

y2 z 1;

3)

x2 z2 2x 0;

4)

z x2 4 0.

Задания для самостоятельного решения

1. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности:

1)x2 y2 z2 4 y 4z 4 0;

2)x2 y2 4z2 2 y 16z 11 0;

3)x2 5 y2 z2 20 y 20 0;

4)x2 y2 4 y z 4 0;

5)x2 y2 4z2 6 y 8 0;

6)x2 2 y2 z2 4z 4 0.

2. Постройте цилиндр:

1)

y2 6 y 4x 13 0;

2) x2 y2 2 y 0;

3)

x2 4 y2 8y 0.

 

120

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]