Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

metodichkaFTUG_chast1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.03.2016

Размер:

2.68 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1310 11 12 13 > Следующая >>>

пересечения двух плоскостей:

A x B y C z D 0,
1	1	1	1	(3.20)
A2 x B2 y C2 z D2 0.

В уравнениях плоскостей (3.20) коэффициенты при переменных не являются пропорциональными (иначе плоскости либо параллельны, либо совпадают).

Взаимное расположении двух прямых в пространстве. О

взаимном расположении двух прямых в пространстве можно судить по их направляющим векторам.

Пусть заданы две прямые L1 и L2.

L1:

x x1

y y1

z z1

и L1:

x x2

y y2

z z2

, где

M1 (x1, y1, z1 )

и M2 (x2 ,

y2 , z2 ) точки, принадлежащие

соответственно прямым L1 и L2, a1 (l1, m1, n1 ) ,

a2 (l2 , m2 , n2 )

направляющие векторы прямых L1

и L2.

Прямые L1

и L2

параллельны,

если направляющие векторы

и a2

коллинеарные,

но не являются коллинерными вектору

M1M 2 , т.е.

x2 x1

y2 y1

. (3.21)

Прямые L1

и L2 совпадают,

если направляющие векторы

a1 , a2 и M1M 2 попарно коллинеарные, т.е.

x2 x1

y2 y1

. (3.22)

Прямые L1

и L2 пересекаются, если направляющие векторы

, a2

неколлинеарны и

векторы

M1M 2

компланарны, т.е.

a1 a2 , a1 , a2 , M1M 2 P

x2 x1

y2 y1

z2 z1

0 .

(3.23)

Прямые L1 и L2 скрещивающиеся, если направляющие

векторы a1

, a2 неколлинеарны и векторы a1 , a2

и M1M 2

некомпланарны, т.е.

a1 a2 , a1 , a2 , M1M 2 P

x2 x1

y2 y1

z2 z1

0 .

(3.24)

Угол между прямыми можно определить через косинус угла между направляющими векторами.

Прямые лежат в одной плоскости при условии

компланарности их направляющих векторов и вектора M1M2 ,

где М1 и М2 – точки этих прямых (смешанное произведение равно 0).

Расстояние от точки М0 до прямой L вычисляется по формуле

				,
	M	M		,	a
d (M0 , L)	0	1				,


			a
			a

(3.25)

где a – направляющий вектор; М1 – точка прямой.

Эту формулу можно использовать и для нахождения расстояния между параллельными прямыми.

Если прямые L1 и L2 являются скрещивающимися, то расстояние между ними определяют по формуле

d (L1

, L2 )

M1M 2

, (3.26)

a1, a2

где точки M1 (x1, y1, z1 ) и M2 (x2 , y2 , z2 ), принадлежащие прямым L1 и L2 соответственно, а векторы a1 и a2 – направляющие векторы этих прямых.

Пример 1. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через:

1) точку M0 (2, 1, -9) параллельно вектору a (4, 0, 2);

2) две заданные точки M1( 5, -2, 0) и M2 (2, 3, 1).

Решение. 1) Пусть M (x, y, z)

– произвольная точка искомой

прямой. Согласно формуле (3.18) получаем уравнения

x 2

y 1

z 9

которые

представляют

собой

канонические уравнения прямой.

2) Пусть

M (x, y, z) – произвольная точка прямой.

Тогда,

используя уравнение (3.19) для нашего случая, имеем:

x 5

y 2

x 5

y 2

2 5

3 2

1 0

Пример 2. Записать канонические уравнения прямой, заданной системой уравнений двух плоскостей

7x y z 8 0,6x y 2z 7 0.

Решение. В данном случае прямая			L задана как	линия
пересечения	двух	плоскостей	P : 7x y z 8 0	и
			1

P2 : 6x y 2z 7 0 .Для перехода к каноническим уравнениям прямой нужно найти точку M0 L и направляющий вектор a прямой L.

Направляющий вектор a прямой L найдем как векторное произведение нормальных векторов плоскостей, задающих


прямую L. Имеем														n1 (7, 1, 1)				– нормальный вектор плоскости
	P ,						(6, 1, 2)						– нормальный вектор плоскости P .
	P ,			n			(6, 1, 2)						– нормальный вектор плоскости P .
1		2																			2
		Тогда найдем координаты направляющего вектора прямой L
						,					. Тогда
	a				n	,		n			. Тогда
			1					2

							i			j	k	1	1		i	7 1				7	1		3i 20

		a					7		1		1								j			k		j	k
							6		1		2	1		2		6	2			6	1
							6		1		2

		( 3,							20, 1).

Для нахождения точки M0 (x0 , y0 , z0 ) L зафиксируем одно из

координатных значений, например,			x 1 . Тогда, подставив в
заданные общие уравнения значение x 1, имеем:
y z 1,	y 1,	т. е. M0 (1, 1, 0)	L.

y 2z 1.	z 0,

Таким образом, получаем искомые канонические уравнения заданной прямой L по формуле (3.22):

x 1 y 1 z 3 20 1 .

	Пример 3. Доказать, что прямые L1																						и L2 параллельны, и
найти расстояние между ними:
		L :	x 2					y 1			z 3			и L :		x 1			y 2				z 3		.

1			3				2					2			2		6	4					4

	Решение.							Прямая							L1		имеет				направляющий					вектор
													(2, 1,
a1 (3,			2, 2),					точку M1									3), , принадлежащую прямой, а L2
																		M2 (1,
– вектор				a2 (6,						4, 4)			и точку								2, -3). Тогда координаты
										1,3, 6 .
вектора					M1M 2												Проверим						выполнение			условия
параллельности двух прямых (3.21):
												3		2	2			1		3		6 .		Значит, L \|\| L .
		a	a			M M			2								,

1			2				1			6			4		4			3 2				1		1		2

Найдем расстояние d (L1, L2 ) между ними, используя

формулу				расстояния						(3.25)						от точки до прямой. Тогда

										M		M		2	, a
d (L , L ) d (M						, L )				1				2	2		.


1	2				1	2							a2
													a2
Вычисляем векторное произведение:

							i		j	k

	M M	2	, a				6	4		4	12i 40 j 22k ( 12, 40, 22).
	1	2	2				1			6
							1	3		6

После этого находим длины нужных векторов:

					2 402 222
M	M	2	, a	12	2 402 222	2228 2 557;
1		2	2

a2 62 42 ( 4)2 68.

Тогда, d (L1, L2 ) 2557 .

Пример 4. Доказать, что прямые L1 и L2 пересекаются, найти координаты точки пересечения и угол между прямыми:

			L :	x 1					y 2			z 5			и L :		x 7			y 2					z 1	.
1					2					3		4				2	3		2						2
					2					3		4					3		2						2
			Решение.								Прямая					L1	имеет					направляющий							вектор
a1 (2,					3, 4),					точку M1			(1, 2,				5), ,		принадлежащую прямой, а L2
														и точку M2 (7,
– вектор						a2 (3,					2, 2)			и точку M2 (7,									2, 1). Тогда координаты
											6, 4, 4 .
вектора							M1M 2				6, 4, 4 .						Проверим							выполнение				условия
пересечения двух прямых (3.23):
	2	3				4				6	4	4				3	4				2			4			2 3	4


								,		2	3		4					6							4
								,		2	3		4					6							4
3 2						2				3	2	2				2 2					3		2				3 2
										3	2	2
	6 8 6 4 12 4 4 9 4 0

			Получили,							что		a1 \|\|	a2 ,			значит			L1 \|\|			L2 , и векторы						a1 , a2 и

M1M 2 компланарны. Таким образом, прямые лежат в одной

плоскости и не параллельны. Следовательно, они пересекаются. Найдем точку пересечения прямых M0 (x0 , y0 , z0 ).

Запишем прямые L1 и L2 в параметрическом виде:

	x 1 2t,		x 7 3t,
L1		и L2 :
L1	: y 2 3t,	и L2 :	y 2 2t,

	z 5 4t.		z 1 2t.
Поскольку M0 L1,			поэтому ее координаты x0 , y0 , z0

удовлетворяют параметрическим уравнениям данной прямой, и

		x	1 2t		,
им соответствует конкретное значение t0 :	M0	0		0
им соответствует конкретное значение t0 :	M0	: y0	2 3t0 ,
			5 4t0 .
		z0	5 4t0 .

												x		7 3s ,
Но эта же точка M0 L2 , следовательно: M0													0	0
Но эта же точка M0 L2 , следовательно: M0												: y0		2 2s0 ,
												z	0	1 2s .
													0	0
Приравниваем соответствующие уравнения и проводим
упрощения:
									3
					t0 3				3	s0 ,
					t0 3				2	s0 ,
1 2t0 7 3s0 ,									2
1 2t0 7 3s0 ,												t0 0,
2 3t			2 2s ,		3	3	3	s			2s 4 0,	t0 0,
2 3t		0	2 2s ,		3	3		s			2s 4 0,
		0		0					0		0		2.
5 4t	0	1 2s .					2					s0	2.
	0		0				3
						3					2s0 4 .
					4				s0

							2
							2

При подстановке t0 0 в

уравнение прямой

L1 получим

x0 1 2 0 1 , y0 2 3 0 2, z0

5 4 0 5 .

Таким образом,

(1, -2, 5) –

точка пересечения заданных

прямых.

Найдем угол между двумя прямыми как угол между двумя

направляющими векторами a1 (2,

3, 4),

a2 (3,

2, 2) :

2 3 3 2 4 2

cos

22 3 2 42

32 22 2 2

493

Пример 5. Доказать, что прямые L1 и L2 скрещиваются, найти

расстояние

между

ними:

L :

x 3

y 1

z 2

y 2

Решение.

Прямая

имеет направляющий

вектор

точку M1 (3, 1, 2), , принадлежащую прямой, а L2 –

a1 (1, 1, 2),

(0, 2,

вектор

a2 ( 1, 3, 3)

точку

0). Тогда

координаты

3,1, 2 .

вектора

M1M 2

Проверим

выполнение

условия

скрещивающихся двух прямых (3.24):

	1	1	2		3	1	2	0	8	11	8	11


				,	1	1	2	0	2	5			18 0

	1	3	3		1	3	3	1	3	3	2	5


Получили		a1 \|\|	a2 , значит				L1 \|\| L2 ;		a1 , a2 , M1M 2 P ,				значит,
указанные векторы, а вместе с ними и прямые L1											и L2, не лежат в
одной плоскости.

Таким образом, прямые L1 и L2 скрещиваются, так как они не пересекаются и не параллельны. Найдем расстояние между

ними по формуле (3.26), используя, что M1M2 , a1, a2 18: Определяем координаты:


							i				j	k			1		2					1			2			1 1
		,								1									i
	a	,	a			1				1		2							i							j					k
1 2						1									3		3					1			3		1			3
										3		3			3		3					1			3		1			3
										3		3


	9i 5 j 2k ( 9,													5, 2).

Тогда					a			,	a				81 25 4									110.
				1					2
																				,			,

Получаем: d (L , L )																M1M2					a1			a2				18	.
																												18

										1		2						a1, a2									110
																		a1, a2									110

Задания для самостоятельного решения

I уровень

1.1. Составить канонические уравнения прямой, проходящей

через

точку

M0 (2, 0, -3)

параллельно: 1) вектору

x 1

y 2

z 1

a (2,

3, 5);

2) прямой

; 3) оси Ох;

1.2. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки:

1)M1 (1, -2, 1) и M2 (3, 1, 1);

2)M1(3, -1, 0) и M2 (1, 0, 3).

1.3. Определите, какие из точек A(2, 1, 5), B(0, 4, 3) и

x 2 t,

C(3, 4, 37) принадлежат прямой y 1 3t,

z 5 2t.

1.4. Составьте уравнения прямой, проходящей через точку A(0, 1, – 4), параллельно прямой, заданной уравнениями:

x 2 y z 1 0,2x 2 y 3z 6 0.

II уровень

2.1. Составить канонические уравнения следующих прямых:

x 2y 3z 4 0,		5x y z 0,
1)	2)
3x 2y 5z 2 0.	2x 3y 2z 5 0.
2.2. Найти расстояние от	точки A(2, 3, -1) до заданной

2x 2 y z 3 0,

прямой: 1)

3x 2 y 2z 17 0.

x 5 3t,

2)y 2t,

z 25 2t.

2.3. Доказать, что прямые L1 и L2 параллельны, и найти расстояние между ними:

x y 3z 1 0,

1)L :

1x y z 3 0.

2)L1 : x 3 y 1 z

3 2 1

		x 2 y 5z 1 0,
и	L2	:	0.
		x 2 y 3z 9	0.
		x y z 0,
и L2	:
	x y 5z 8 0.

2.4. Найти угол между прямыми:

x 2 3t,

1)y 0,

z 3 t.

x 1 2t,

иy 0,

z 3 t.

x y 3z 1 0,		2x y 2z 5 0,
2)		и
2x y 9z 2	0.	2x 2 y z 2	0.

x 3 2t,

2.5. Доказать, что прямые y 2 3t,z 6 4t.

x 5 t,

иy 1 4t,z 4 t.

пересекаются и найти точку пересечения.

2.6. Доказать, что прямые L1 и L2 скрещиваются, найти расстояние между ними:

L :	x 7	y 4		z 3	и L :	x 21	y 5		z 2	.

1	3		4	2	2	6		4	1

2.7. Даны			вершины		треугольника			A(3, 6, -7), B(-5, 2, 3) и

C(4, -7, -2). Составить параметрические уравнения его медианы, проведённой из вершины С.

2.8.Даны вершины треугольника A(3, -1, -1), B(1, 2, -7) и C(- 5, 14, -3). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине В.

2.9.Дан треугольник с вершинами A(1, – 2, – 4), B(3, 1, – 7) и C(5, 1, – 7). Составьте уравнения его высот.

Задания для самостоятельного решения

1. Составить параметрические уравнения прямой, проходя-

щей

через точку

M0 (1, 1, -3)

параллельно

вектору

x 1

y 2

z 1

a (2,

3, 4); 2)

прямой

;

прямой

x1 3t, y 3 2t, z 2 5t.

2.Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки:

1)	M1	(0, -2,	3)	и M2 (3, 2, 1);
2)	M1	(1, 2,	4)	и M2 ( 1, 2, 4).

3. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку M1 (1, 3, -5) параллельно прямой

3x y 2z 7 0,x 3y 2z 3 0.

4. Составить параметрические уравнения следующих

прямых: 1)			2x 3y z 0,										2)	x 2 y z 6 0,
		3x 5y 2z 1									0.			3x y z 1 0.
5. Доказать, что прямые L1														и L2		параллельны, и найти
расстояние между ними:
1) L :	x 2			y 1				z	и	L :		x 7			y 1		z 3	;
1		3			4	2				2			3	4		2
		3			4	2							3	4		2
		x 7				y 5				z 9						2x 2 y z 10 0,
2) L1	:												и		L2 :				22	0.
2) L1	:						1						и		L2 :
		3					1			4						x y z

6. Найти угол между прямыми:

1)	x 3	y 2		z	,	x 2		y 3		z 5	;
		1
	1		2			1	1		2


		x		y 1		z		3x y 5z 1 0,
2)								и
2)								и
	1			2 3				2x 3y 8z 3 0.
7. Доказать, что прямые L1 и L2 скрещиваются, найти
расстояние между ними:
L :		x 6			y 3		z 3	и L :	x 1	y 7		z 4	.
L :								и L :					.
1			3		2	4		2	3	3	8
			3		2	4			3	3	8

8. Даны вершины треугольника A(2, -1, -3), B(5, 2, -7) и

C(-7, 11, 6). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.

9. Даны вершины треугольника A(1, -2, -4), B(3, 1, -3) и

C(5, 1, -7). Составить параметрические уравнения его высоты, опущенной из вершины В на противоположную сторону.

Ответы. 1. 1) x 1 2t, y 1 3t, z 3 4t;

2) x 1 2t, y 1 5t, z 3; 3) x 1 3t, y 1 2t, z 3 5t.

2. 1)			x		y 2			z 3			; 2)		x 1		y 2		z 4	.
									2
		3		0								1		0		0
3.	x 2					y 1			z	. 4. 1)		x 1 t, y 7t, z 2 19t;

		2				7	4

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1310 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2019500.74 Кб2Metodicheskie_ukazania_po_vypolneniyu_kursovoy_....doc
#
31.05.20151.73 Mб20metodichka . физика.pdf
#
31.05.2015597.5 Кб16metodichka по МП пассажиров.doc
#
05.12.20189.82 Mб20Metodichka.doc
#
26.03.20161.61 Mб51MetodichkaC_14ch1.doc
#
26.03.20162.68 Mб20metodichkaFTUG_chast1.pdf
#
26.03.20161.82 Mб6metodichkaFTUG_chast2.pdf
#
10.11.20197.85 Mб10Metodichka_1_kurs.doc
#
26.03.201685.22 Кб12metodichka_magistranty.docx
#
31.05.20151.09 Mб4Metodichka_ME_i_VED.doc
#
20.12.2018310.78 Кб5metodichka_mido-progr.doc