metodichkaFTUG_chast1

где aij – коэффициенты системы, bj – свободные члены, хj –

31

неизвестных, т. е. такая, которая обращает матричное уравнение (1.9) в равенство (является решением этого уравнения).

подстановки в уравнения системы вместо соответствующих переменных обращают каждое уравнение системы в верное числовое равенство.

Система (1.8) называется совместной, если у нее существует хотя бы одно решение, в противном случае она называется несовместной. Совместная система называется определенной, если она имеет одно решение, и неопределенной – если более одного решения. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если множества их решений совпадают.

Критерий совместности системы (теорема Кронекера-

расширенная матрица системы (1.8), т. е. матрица А системы, к которой добавлен столбец B свободных членов.

Рассмотрим систему n n , имеющую вид:

или в матричном виде AX B.

Определителем системы (1.10) называется определитель матрицы этой системы: det A. Если 0, то система называется невырожденной; если 0 – вырожденной.

Методы решения невырожденных систем используются для решения линейных систем (1.10), состоящих из n уравнений с n неизвестными, для которых 0.

Метод обратной матрицы (матричный метод) состоит в

32

где i – определитель, получаемый из определителя системы (1.10) заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Решение произвольной линейной системы из m уравнений и n неизвестных начинается с нахождения ранга.

получения неизвестные x1, x2, …, xr называют базисными, xr + 1, xr + 2, …, xn – свободными, система (1.13) записывается в виде

Свободным переменным присваиваются произвольные числовые значения с1, с2, …, сn – r.

Последняя система решается, например, методом Крамера. Метод Гаусса – метод последовательного исключения

неизвестных, используют для решения произвольных систем. С помощью элементарных преобразований строк расширенную матрицу системы (1.8) приводят к ступенчатому виду:

33

Соответствующая ей система, равносильная (1.8), примет вид:

то система (1.14), а значит, и исходная система (1.8) не совместны.

Если dr 1 dr 2 ... dm 0, то:

1) при r n системы (1.14) и (1.8) имеют единственное решение, поскольку свободные переменные отсутствуют (сначала находим из последнего уравнения системы (1.13) xn ,

из предпоследнего xn 1 и т. д.);

2) при r n система (1.14) позволяет получить явное выражение для базисных неизвестных x1, …, xr через свободные неизвестные xr+1, …, xn. Значения базисных переменных ищутся в обратном порядке. Таким образом, получают бесконечное множество решений.

Однородная система линейных уравнений AX O всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r rA n.

Для однородных систем базисные переменные выражаются

34

через свободные переменные соотношениями вида:

Пример 1. Решить разными способами систему уравнений

Решение. 1-й способ. Используем метод обратной матрицы. Запишем матрицу системы:

Матрица А невырожденная, так как ее определитель не равен нулю. Действительно,

т. е. x1 = –2, x2 = 0, x3 = 8 – единственное решение.

35

Получаем ответ: (–2; 0; 8).

2-й способ. Используем формулы Крамера (1.12). Вычисляем определитель системы (1.14).

Заменяем в определителе первый столбец столбцом свободных членов и вычисляем

Заменяем в определителе второй столбец столбцом свободных членов и вычисляем

Заменяем в определителе третий столбец столбцом свободных членов. Тогда

Тогда, используя формулы (1.12), получим:

Таким образом, получаем решение (–2; 0; 8).

3-й способ. Используем метод Гаусса. Приведем заданную систему к равносильной. Для этого осуществим элементарные преобразования строк расширенной матрицы системы:

Из нее последовательно находим неизвестные, начиная с x3:

36

x3 8, x2 0, x1 2 5 0 2,

Таким образом, приходим к ответу (–2; 0; 8).

Пример 2. Исследовать систему на совместность и найти ее решение

x1 x2 x3 x4 x5 7,3x1 2x2 x3 x4 3x5 2,

x2 2x3 2x4 6x5 23,

5x1 4x2 3x3 3x4 x5 12.

Решение. Запишем расширенную матрицу системы:

Наибольший порядок отличных от нуля миноров равен 2 (так как любой минор 3-го порядка содержит нулевую строку, то он будет равен нулю). Значит, rA rA B 2, т. е. исходная система

совместна. Поскольку ранг меньше количества неизвестных (2 < 5), то система имеет бесконечное множество решений.

Полагаем х3 = с1, х4 = с2, х5 = с3, где с1, с2, с3 – произвольные постоянные, и решаем указанную систему. Получаем:

x2 23 2c1 2c2 6c3 ,

x1 7 c1 c2 c3 23 2c1 2c2 6c3 16 c1 c2 5c3.

Таким образом, решение примет вид:

16 c1 c2 5c3; 23 2c1 2c2 6c3; c1, c2 , c3 , где c1, c2 , c3 R.

37

Задания для решения в аудитории

I уровень

1.1. Используя формулы Крамера и метод обратной матрицы, решите систему уравнений:

1.3. Используя теорему Кронекера-Капелли, исследуйте систему на совместность и найдите решение методом Гаусса:

II уровень

2.1. Решите систему уравнений, используя формулы Крамера:

38

2.3. Исследуйте систему на совместность и решите методом Гаусса:

2.4. Найдите ненулевое решение однородной системы линейных уравнений:

2.6. Решите неоднородную систему линейных уравнений:

Задания для самостоятельного решения

1. Решите систему уравнений, пользуясь методом обратной матрицы и методом Крамера:

2. Исследуйте систему на совместность и решите методом Гаусса:

39