Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

metodichkaFTUG_chast1

.pdf
Скачиваний:
17
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
2.68 Mб
Скачать

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

1/ 4

 

0

 

7 / 3

2

 

1/ 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответы. 1)

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

;

5 / 3

 

1

 

1/ 3 ;

 

 

 

 

 

 

 

3 / 2 1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/ 8

1/ 4

 

 

2

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

1

 

 

 

 

1/ 9

2 / 9

 

2 / 9

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

 

38 41

 

34

; 5)

 

2 / 9 1/ 9

 

2 / 9

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

29

24

 

 

 

 

 

2 / 9

 

2 / 9

1/ 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. 1) 2

23; 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

1

 

2 / 3

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1

 

3)

 

2 / 3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 /10

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19 /10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 / 3

 

1/ 3

 

 

 

 

 

 

4)

7

14 / 5 19 / 5

5)

10 / 3

 

5 / 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

13 / 5 18 / 5

 

 

 

 

 

5 / 3 1/ 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

1) r = 2, M 2

 

 

11

 

; 2) r = 1, M1 21;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 3

 

 

 

1

2

 

 

 

M 2

 

1

3

 

3) r = 2, M 2

;

4) r = 2, M 2

;

5) r = 2,

 

;

 

 

 

 

 

 

1

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 3 1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6) r = 4, M 4

 

 

;

 

7) r = 3, M3

1 2 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

4

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

1

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4. Системы линейных уравнений

 

 

 

 

 

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a11x1 a12 x2

... a1n xn

b1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a22 x2

... a2n xn

b2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a21x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.8)

 

 

 

................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

x

a

 

x

 

... a

x b ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1

1

 

 

m2 2

 

 

 

 

mn

n

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где aij – коэффициенты системы, bj – свободные члены, хj

31

 

 

 

 

 

 

 

неизвестные, i 1, m,

j 1, n.

 

Матричная запись СЛАУ

 

 

 

 

 

 

AX B,

(1.9)

где A aij m n – матрица системы,

B bj m 1 матрица-

столбец свободных

членов bj,

X – матрица-столбец

неизвестных, т. е. такая, которая обращает матричное уравнение (1.9) в равенство (является решением этого уравнения).

Решением системы (1.8) называется упорядоченная

совокупность

x10 , x20 , ..., xn0

n чисел, которые после

подстановки в уравнения системы вместо соответствующих переменных обращают каждое уравнение системы в верное числовое равенство.

Система (1.8) называется совместной, если у нее существует хотя бы одно решение, в противном случае она называется несовместной. Совместная система называется определенной, если она имеет одно решение, и неопределенной – если более одного решения. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если множества их решений совпадают.

Критерий совместности системы (теорема Кронекера-

Капелли): для того чтобы система (1.8) была совместной,

необходимо и достаточно, чтобы rA rA/ B , где

A / B

расширенная матрица системы (1.8), т. е. матрица А системы, к которой добавлен столбец B свободных членов.

Рассмотрим систему n n , имеющую вид:

a11x1 a12 x2

... a1n xn

b1 ,

 

 

 

 

... a2n xn b2 ,

 

a21x1 a22 x2

(1.10)

...............................................

 

 

 

 

 

 

 

a

x a

x

... a

x

b ,

 

n1

1

n2 2

nn

n

n

 

или в матричном виде AX B.

Определителем системы (1.10) называется определитель матрицы этой системы: det A. Если 0, то система называется невырожденной; если 0 – вырожденной.

Методы решения невырожденных систем используются для решения линейных систем (1.10), состоящих из n уравнений с n неизвестными, для которых 0.

Метод обратной матрицы (матричный метод) состоит в

32

решении матричного уравнения X A 1 B.

(1.11)

Метод Крамера. Неизвестные находят по формулам

 

i

 

 

 

 

x

, i 1, n,

(1.12)

 

i

 

 

 

 

где i – определитель, получаемый из определителя системы (1.10) заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Решение произвольной линейной системы из m уравнений и n неизвестных начинается с нахождения ранга.

 

Если

система

(1.8)

совместна, rA rA/ B r , и, например,

 

 

 

a11

a12

...

a1r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

r

 

a21 a22

...

a2r

– базисный минор матрицы системы, то

 

 

... ... ... ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ar1

ar 2

...

arr

 

 

 

 

она равносильна системе

 

 

 

a11x1 a12 x2

... a1r xr

a1,r 1xr 1

... a1n xn

b1 ,

 

 

 

a22 x2

... a2r xr a2,r 1xr 1 ... a2n xn b2 ,

a21x1

.................

 

 

 

 

 

 

(1.13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

x

a

x

... a x

a

x

... a x

b ,

 

r1 1

 

r 2 2

 

 

rr r

 

r ,r 1 r 1

rn n

r

 

Если r n,

то система (1.13) имеет единственное решение,

которое

можно получить

указанными выше методами; если

r n,

то существует бесконечное множество решений. Для его

получения неизвестные x1, x2, …, xr называют базисными, xr + 1, xr + 2, …, xn свободными, система (1.13) записывается в виде

a11x1 a12 x2 ...

a1r xr b1 a1,r 1xr 1 ...

a1n xn ,

 

 

 

 

 

 

................................................................................

 

 

 

 

 

 

a x a x ...

a x b a x

...

a x .

r1 1 r 2 2

rr r

r

r ,r 1 r 1

 

rn n

Свободным переменным присваиваются произвольные числовые значения с1, с2, …, сn r.

Последняя система решается, например, методом Крамера. Метод Гаусса – метод последовательного исключения

неизвестных, используют для решения произвольных систем. С помощью элементарных преобразований строк расширенную матрицу системы (1.8) приводят к ступенчатому виду:

33

c

c

...

c

...

c

 

11

12

 

1r

 

1n

0

c22

...

c2r

...

c2n

 

 

 

 

 

 

 

... ... ... ... ... ...

0

0

...

crr

...

crn

 

0

0

...

0

...

0

 

... ... ... ... ... ...

 

0

0

...

0

...

0

 

d

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

d2

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

d

r

, где

c 0, i 1, r.

 

 

ij

dr 1

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dm

 

 

 

Соответствующая ей система, равносильная (1.8), примет вид:

c x

c x

 

... c

x

 

...

c

x

 

d ,

 

 

11 1

12

2

1r

 

r

 

1n

 

n

1

 

 

 

c22 x2 ... c2r xr ...

c2n xn d2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

dr ,

(1.14)

 

 

 

 

crr xr

crn xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 dr 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 dm .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если хотя бы одно из чисел dr 1, dr 2 ,..., dm

отлично от нуля,

то система (1.14), а значит, и исходная система (1.8) не совместны.

Если dr 1 dr 2 ... dm 0, то:

1) при r n системы (1.14) и (1.8) имеют единственное решение, поскольку свободные переменные отсутствуют (сначала находим из последнего уравнения системы (1.13) xn ,

из предпоследнего xn 1 и т. д.);

2) при r n система (1.14) позволяет получить явное выражение для базисных неизвестных x1, …, xr через свободные неизвестные xr+1, …, xn. Значения базисных переменных ищутся в обратном порядке. Таким образом, получают бесконечное множество решений.

Однородная система линейных уравнений AX O всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r rA n.

Для однородных систем базисные переменные выражаются

34

через свободные переменные соотношениями вида:

x

d

 

x

d

x

r 2

... d

x ,

 

1

 

11

r 1

12

1 n r n

 

x2

d

21xr 1

d22 xr 2

... d2 n r xn ,

 

 

 

 

 

 

....

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

r

d

r1

x

d

x

2

... d

r n r

x

.

 

 

r 1

 

r 2 r

 

n

 

Пример 1. Решить разными способами систему уравнений

x1

5x2

2,

 

 

x2

x3 4,

2x1

3x

2x

x 2.

 

1

2

3

Решение. 1-й способ. Используем метод обратной матрицы. Запишем матрицу системы:

1

5

0

 

 

 

 

 

 

A 2

1

1

.

 

3

2

1

 

 

 

Матрица А невырожденная, так как ее определитель не равен нулю. Действительно,

 

1

5

 

0

 

 

1

5

0

 

 

 

1 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1 1

 

 

2

1

1

 

 

2 0.

 

 

 

 

(1.14)

 

3

2 1

 

 

1

3

0

 

 

 

1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем обратную матрицу А–1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А11 = –3;

 

 

 

 

 

 

А21 = –5;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А31 = 5;

 

 

А12 = 1;

 

 

 

 

 

 

А22 = 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А32 = –1;

 

А13 = 7;

 

 

 

 

 

 

А23 = 13;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А33 = –11.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

5

 

5

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, A 1

1

 

1

 

1

 

 

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

Используем далее формулу (1.11):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

5

 

5

2

 

 

 

4

2

X A 1B

1

 

 

1

 

1

 

 

 

1

 

4

 

 

1

 

 

0

 

 

0

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

16

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

13 11

 

 

 

 

 

 

 

 

т. е. x1 = –2, x2 = 0, x3 = 8 – единственное решение.

35

Получаем ответ: (–2; 0; 8).

2-й способ. Используем формулы Крамера (1.12). Вычисляем определитель системы (1.14).

Заменяем в определителе первый столбец столбцом свободных членов и вычисляем

 

 

2

5

0

 

2

5

0

 

2

5

 

 

 

 

 

 

 

 

4

1

1

 

4 1

1

 

4.

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

2

2 1

 

2

3

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заменяем в определителе второй столбец столбцом свободных членов и вычисляем

 

2

0

 

1

2

0

 

 

1

2

 

 

2

1

 

 

 

 

0.

2 4 1

2 4 1

 

 

 

3

2 1

 

1

2

0

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заменяем в определителе третий столбец столбцом свободных членов. Тогда

 

5

2

 

1 5

2

 

4

9

 

2 28 36 16.

 

1

 

 

 

3

2

1

4

 

4

9

0

2

 

 

3

2

 

2

 

4

7

0

 

4

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда, используя формулы (1.12), получим:

x 1

4 2;

x 2

 

0

0;

x 3

 

16

8.

1

 

2

2

 

2

 

3

 

2

 

 

 

 

 

 

Таким образом, получаем решение (–2; 0; 8).

3-й способ. Используем метод Гаусса. Приведем заданную систему к равносильной. Для этого осуществим элементарные преобразования строк расширенной матрицы системы:

1 5 0

 

2

1

5 0

 

2

1

5 0

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A / B 2

1 1

 

4

~ 0

11 1

 

8

~ 0

2 0

 

0

~

 

 

 

 

 

2

 

 

13 1

 

 

 

13 1

 

 

 

3 2 1

 

 

0

 

8

0

 

8

 

2

 

 

 

 

 

 

1

5

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

0

1

0

 

0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

1

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

5x2

2,

Последней матрице соответствует система x2

0,

 

x

8.

 

3

 

 

Из нее последовательно находим неизвестные, начиная с x3:

36

x3 8, x2 0, x1 2 5 0 2,

Таким образом, приходим к ответу (–2; 0; 8).

Пример 2. Исследовать систему на совместность и найти ее решение

x1 x2 x3 x4 x5 7,3x1 2x2 x3 x4 3x5 2,

x2 2x3 2x4 6x5 23,

5x1 4x2 3x3 3x4 x5 12.

Решение. Запишем расширенную матрицу системы:

 

 

 

1

1

1

1

1

 

7

 

1 1

1

1

1

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

1

1

 

2

~

0 1

2

2

6

 

23

~

A/ B

0

1

2

2

6

 

23

 

 

0

1

2

2

6

 

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

4

3

3

1

 

12

 

 

 

0

1

2

2

6

 

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

0

1

2

2

6

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

0

0

0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наибольший порядок отличных от нуля миноров равен 2 (так как любой минор 3-го порядка содержит нулевую строку, то он будет равен нулю). Значит, rA rA B 2, т. е. исходная система

совместна. Поскольку ранг меньше количества неизвестных (2 < 5), то система имеет бесконечное множество решений.

Выберем в качестве базисного минор M 2

1

1

. Тогда х1, х2

 

 

0

1

 

базисные неизвестные, х3, х4, х5

– свободные. Система,

равносильная исходной, имеет вид: x1

x2 7 x3 x4 x5 ,

 

x2 23 2x3 2x4 6x6 .

Полагаем х3 = с1, х4 = с2, х5 = с3, где с1, с2, с3 – произвольные постоянные, и решаем указанную систему. Получаем:

x2 23 2c1 2c2 6c3 ,

x1 7 c1 c2 c3 23 2c1 2c2 6c3 16 c1 c2 5c3.

Таким образом, решение примет вид:

16 c1 c2 5c3; 23 2c1 2c2 6c3; c1, c2 , c3 , где c1, c2 , c3 R.

37

Задания для решения в аудитории

I уровень

1.1. Используя формулы Крамера и метод обратной матрицы, решите систему уравнений:

x 2 y 6, 1)

x y 3;

2x 3y z 6,

4)x y 7z 8,3x y 2z 7.

2) y x 1 0,

x y z 2,

3) 2x y 4z 1,

y x 1 0;

 

 

x 6 y z 5;

1.3. Используя теорему Кронекера-Капелли, исследуйте систему на совместность и найдите решение методом Гаусса:

1)

5x1

10x2 3,

2)

5x1 10x2

20,

 

6x2 1;

 

 

6x2

12;

 

3x1

 

3x1

 

5x1 10x2 3,

 

5x1 10x2 x3 1,

 

 

 

 

5x2

2x3 2,

3)

5x2 1;

4)

3x1

 

3x1

 

2x 52x x 1.

 

 

 

 

 

1

 

2

3

II уровень

2.1. Решите систему уравнений, используя формулы Крамера:

2x 5 y 1,

1) ax 5 y 2a 5;

x 2 y z 12, 4) 3x y 4z 13,

x 5y z 27;

2.2. Решите систему матрицы:

2x 3y z 0,

1)x 2 y 4z 9,y z 2;

2)

x 2 y z 5,

3)

x1 x2 x3 0,

 

 

x2

x3

0;

 

3x y z 4;

 

2x1

2x 4 y 3z 14,

5)3x y 4z 13,x 5y z 27.

уравнений, пользуясь методом обратной

2x 3y z 1,

2)x 2 y 4z 9,x 12 y 14z 1.

38

2.3. Исследуйте систему на совместность и решите методом Гаусса:

 

4x y 3z 1,

 

x 2x x 3x 4x 2,

 

 

1

2 3

4

 

5

1)

 

2)

2x1 x2 3x3 2x4 x5 4,

7 y 2z 2,

 

4x2 2x3 5x4

3x5 6,

 

 

 

x1

 

8x 9 y 4z 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 15x 6x 19x 9x 2.

 

 

 

1

2

3

4

5

2.4. Найдите ненулевое решение однородной системы линейных уравнений:

 

x1 3x2 x3 x4 0,

 

x1 x2 3x4 x5 0,

 

 

 

 

5x2 x3 7x4 0,

 

 

x2

2x3 x4

0,

1)

2x1

2)

x1

 

 

x2 x3 3x4 0,

 

 

 

6x3 3x4

4x5 0,

 

2x1

 

4x1 2x2

 

4x 7x x 5x 0;

 

2x 4x 2x 4x 7x 0.

 

 

1

2 3

4

 

 

1

2

3

4

5

2.6. Решите неоднородную систему линейных уравнений:

 

2x1 x2 x3 x4 x5 1,

 

x 2x x x x 1,

 

 

 

1

2

3

4

5

 

 

x2

x3 x4

2x5

0,

 

x1 3x2 5x3 4x4 1,

1)

x1

2)

 

 

3x2 2x3 2x4 x5 1,

 

 

 

 

 

 

x1

 

3x 3x 3x 3x 4x 2,

 

x 2x x x x 3,

 

 

1

2

3

4

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x 5x 5x 5x 7x 3;

 

 

1

2

3

4

5

 

 

1

2

3

4

5

 

x 4x x x x 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

4

5

Задания для самостоятельного решения

1. Решите систему уравнений, пользуясь методом обратной матрицы и методом Крамера:

1) x y 1,

2) 3x 2 y 1,

2x1 3x2 x3 2,

3) x1

5x2

4x3

5,

2x y 5;

x 5y 9;

4x

x

2

3x

4;

 

 

 

1

 

3

 

2x1 4x2 3x3 1,

 

x1 3x2 2,

5x1 x2 x3 0,

4) x1 2x2 4x3 3,

5) x1 x2 x3 3,

6)

4x1 3x2 3,

 

3x x

2

5x

3

2;

 

2x 5x

3

13;

 

x 2x

2

2.

 

1

 

 

 

1

 

 

1

 

2. Исследуйте систему на совместность и решите методом Гаусса:

39

 

x 2x

2

 

3x

1,

 

 

 

x 2x

2

3x

5,

 

x 2x

2

x 4,

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

3

1)

2x1

4x2 x3

12,

 

2)

 

2x1

x2 x3

1,

3)

3x1 5x2

3x3 1,

 

 

x x

2

 

3x 9;

 

 

 

 

 

x 3x

2

4x 6;

 

2x 7x

2

x 8;

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

3

 

x1 x2 x3 a,

 

 

 

 

 

2x1 2x2 x3 x4 4,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x2 x3 2x4 6,

 

 

 

 

 

 

 

4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x1

 

 

 

 

 

 

 

x1 x2 x3 b, 5)

 

 

 

 

 

3x

4x

 

 

 

12,

 

 

 

 

 

 

 

x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8x 5x

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x c;

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

3x 3x

 

 

2x 2x

 

 

6;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x1 3x2 11x3 5x4 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 x2 5x3 2x4 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

x

 

 

3x

2x

 

 

3,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

2

3x

4x

4

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Исследуйте систему на совместность и, если она

совместна,

 

 

решите её:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x1 x2 3x3 7x4 5,

 

 

 

 

 

9x1 3x2 5x3 6x4 4,

1)

6x1 3x2 x3 4x4 7,

 

2)

6x1 2x2 3x3 x4 5,

 

4x

2x

2

14x 31x

4

18;

 

 

 

 

3x

x

2

 

3x

14x

4

8;

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x1 x2 x3 x4

 

1,

 

 

 

 

 

 

3x1 5x2 2x3 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,

 

 

 

 

 

 

 

 

7x2

 

5x3 0,

 

 

 

 

 

3)

3x1 2x2 2x3 3x4

4)

 

4x1

 

 

 

 

 

 

 

5x

x

 

 

 

 

x 2x

 

 

 

1,

 

 

x

x

 

 

4x

0,

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x x

2

 

x 3x

4

 

4;

 

 

 

 

 

 

2x 9x

2

 

6x 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 2x2 x3 x4

 

x5 0,

 

 

 

 

 

3x1 2x2 x3 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

2x1 x2 x3 x4

 

x5 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

 

 

 

 

6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x3 0,

 

 

 

 

 

 

x 7x

 

 

 

5x 5x

 

 

 

5x 0,

 

2x1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x

 

 

x 0.

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

3

 

 

4

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

3x x

 

 

2x x

 

 

 

x 0;

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

1)

 

 

x 2, y 1;

 

 

 

 

 

 

2) x 1, y 2;

 

 

 

 

 

3)

x1 5, x2 6, x3 10; 4)

 

 

 

x1 1, x2 0, x3 1; 5) x1 1, x2 1, x3 3; 6) x1 0, x2 1, x3 1.

2. 1) x1 1, x2 2, x3 2;

2) x1 1, x2 1, x3 2;

3) x1 1, x2 1, x3 1;

 

 

 

4) x1 b c / 2, x2 a b / 2, x3 a c / 2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]