Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

metodichkaFTUG_chast1

.pdf
Скачиваний:
17
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
2.68 Mб
Скачать

Решение. Составим уравнение прямой L1 , проходящую через

точку

N и перпендикулярной прямой

 

L .

Из общего уравнения

прямой L получаем координаты нормального вектора

 

 

 

 

1, 1 ,

 

n

тогда

для

перпендикулярной

прямой

L1 вектор

 

является

направляющим.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда по формуле (3.2) получим уравнение прямой L1 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 5

 

y 5

 

x y 10 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем точку P пересечения прямых L и L1 : x y 2 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y 10 0.

Решив систему, получим точку

 

P 6, 4 , которая

 

является

серединой отрезка MN .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, имеем

xM 2xP xN , yM 2yP yN

 

 

 

или

xM 2 6 5 7, yM 2 4 5 3 .

Таким

образом, получили

ускомую точку M 7,3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 5. Написать уравнение прямой L1 , проходящей через

точку M 2,1

под углом 450

к прямой L : 2x 3y 4 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Воспользуемся

формулой

tg

 

k2 k1

 

 

(3.8).

 

 

 

 

1 k

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зная,

что 450 tg 1.

Находим угловой коэффициент k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

искомой прямой, полагая k

 

k, k

 

. Получим 1

 

 

 

 

 

 

3

 

.

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

3

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

Из

этого

уравнения

находим

k

 

 

5 è

1

. Следовательно

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

задача имеет два решения.

Используя координаты точки M ,

запишем для каждого случая уравнение с угловым

коэффициентом поформуле(3.4): y

1

x

3

, y 5x 11, или в

 

 

 

5

5

 

81

ощем виде (3.6):

x 5y 3 0, 5x y 11 0.

Задания для самостоятельного решения

I уровень

1.1. Составить уравнения прямой, проходящей через: 1)

 

 

 

 

 

 

 

точку M0 ( 1, 2) перпендикулярно вектору

 

n (2, 2);

2) точку

 

 

 

 

 

 

 

M0 (1,

1) параллельно вектору a (3, 1);

 

3) точку

M0 (1, 3)

параллельно оси Oy; 4) точки M1 (1, 2) и M2 ( 2, 5).

 

1.2. Определить, какие из точек A(2, 1),

B(0, 4) и C( 1, 2)

принадлежат прямой x 2t,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 1 6t.

 

 

 

 

1.3.

Найти

точку

пересечения

 

 

двух

прямых

3x 4y 29 0,2x 5y 19 0.

1.4.Определить взаимное расположение заданных прямых L1

иL2 . При этом в случае параллельности прямых найти расстояние d(L1, L2 ) между прямыми, а в случае пересечения

двух прямых косинус угла между ними и точку

M0

пересечения прямых.

1)x 5y 35 0,3x 2y 27 0;

2)3x 5y 4 0,6x 10y 7 0;

3)2x 4y 3 0,x 2y 0;

4)12x 15y 8 0,16x 9y 7 0.

II уровень

 

 

 

 

 

 

2.1.

Дана

прямая 2x 3y 4 0 .

Составить

уравнение

прямой, проходящей через точку M0 (2, 1) :

 

 

1) Параллельно данной прямой;

 

 

 

 

2)Перпендикулярно данной прямой.

 

 

 

2.2.

Даны

уравнения

двух

сторон

прямоугольника

2x 3y 5 0 ; 3x 2y 7 0 и

одна

из

его

вершин

A(2, 3) .

82

Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника.

2.3.Найти точку Q , симметричную точке P 5,13 относительно прямой 2x 3y 3 0 .

2.4.Даны вершины треугольника A(1, 1) , B( 2, 1) , C(3, 5) .

Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины

A на медиану, проведённую из вершины В.

 

2.5.

Даны

вершины

треугольника

A(2, 2) , B(3,

5) , C(5, 7) .

Составить

уравнение

перпендикуляра, опущенного из вершины С на биссектрису внутреннего угла при вершине A .

2.6. Определить, при каких значениях т и п две прямые mx 8y n 0 , 2x my 1 0

1)параллельны; 2) совпадают; 3) перпендикулярны.

2.7.Составить уравнение прямой, которая проходит через точку A(3, 7) и отсекает на координатных осях отличные от

нуля отрезки одинаковой величины (считая каждый отрезок направленным от начала координат).

2.8. Через

точку пересечения

прямых x 4y 2 0

и

5x 3y 4 0

провести прямую,

образующую угол 450

с

x 7y 8 0 .

 

 

 

Задания для самостоятельного решения

1. Составить уравнения прямой, проходящей через: 1) точку M0 (1,1) перпендикулярно вектору n (2, 1);

2) точку M0 ( 1, 1) параллельно вектору a (2, 0).

2. Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A(3, 2) , B(5, 2) , C(1, 0) .

3.Даны

уравнения

двух

сторон

прямоугольника

x 2y 0 ; x 2y 15 0 и

уравнение

одной

из

его

диагоналей 7x y 15 0 . Найти вершины прямоугольника.

4. Найти

проекцию точке P 5,13 относительно

прямой

4x 5y 3 0 .

83

5. Составить уравнения прямых, проходящих через вершины

треугольника

A(5, 4) , B( 1,

3) , C( 3, 2) параллельно про-

тивоположным сторонам.

 

6. Стороны

треугольника

даны уравнениями 4x y 7 0 ,

x 3y 31 0,

x 5y 7 0 . Определить точку пересечения его

высот.

7. Определить, при каком значении т две прямые

m 1 x my 5 0 , mx 2m 1 y 7 0 пересекаются в

точке, лежащей на оси абсцисс.

8. Даны вершины треугольника A(1, 2) , B(5, 4) , C( 2, 0) .

Составить уравнения биссектрис его внутреннего и внешнего углов при вершине А.

9. Составить уравнение прямой, которая проходит через

точку A(2, 3)

и отсекает на координатных осях отрезки равной

длины, считая каждый отрезок от начала координат.

 

 

Ответы.

1.1) 2x y 1 0 ;

2)

y 1.2.

x 2y 8 0 ,

2x 4y 2 0 , x y 1 0 , x 3 0 ,

x y 3 0 ,

y 0 .

3.

A(2, 1) , B( 1,

7) , C(1, 8) , D(4, 2) .

 

4. ( 2, 1) .

5.

5x 2y 33 0 , x 4y 11 0 ,

7x 6y 33 0 . 6. (3, 4) .

 

7. m

7

.

8. 5x y 3 0 — биссектриса внутреннего угла;

 

12

 

 

 

 

 

 

 

x 5y 11 0 — биссектриса внешнего угла.

9.

x y 5 0 ,

x y 1 0 , 3x 2y 0 .

3.2. Плоскость в пространстве

Плоскость в пространстве можно задать разными способами: тремя точками; точкой и вектором, перпендикулярным плоскости. В зависимости от этого рассматриваются различные виды ее уравнений.

Уравнение

плоскости,

проходящей через три точки

M0 (x0 , y0 , z0 ),

M1 (x1, y1, z1 ),

M2 (x2 , y2 , z2 ) , не лежащие на

одной прямой.

 

 

84

Пусть M(x, y, z) – произвольная точка плоскости, тогдаможно построить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

 

x x0

y y0

z z0

 

 

 

 

 

 

x1 x0

y1 y0

z1 z0

0.

(3.10)

 

x2 x0

y2 y0

z2 z0

 

 

Уравнение плоскости,

проходящей через точку

M0 (x0 , y0 , z0 ) и два неколлинеарных вектора a1 ( l1, m1, n1 ) и

 

 

 

 

 

 

a2 (l2 , m2 , n2 ), параллельных данной плоскости.

 

 

 

x x0

y y0

z z0

 

0.

(3.11)

 

 

 

 

 

l1

m1

n1

 

 

 

l2

m2

n2

 

 

 

 

 

Уравнение плоскости,

проходящей через

точку

 

 

 

 

M0 (x0 , y0 , z0 ) перпендикулярно вектору n ( A, B, C)

 

 

A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0,

(3.12)

на основании которого выводится общее уравнение плоскости

Ax By Cz D 0,

(3.13)

где D Ax0 By0 Cz0 .

Уравнение плоскости «в отрезках». Если известны точки пересечения плоскости P с координатными осями, т. е. M0(a, 0, 0), M1(0, b, 0), M2(0, 0, c), то справедливо уравнение

 

x

 

y

 

z

1.

(3.14)

 

 

 

 

 

a

b

 

c

 

О взаимном расположении двух плоскостей можно судить

по их нормальным векторам.

 

 

 

 

 

Расстояние d (M0 , P) от точки M0 (x0 , y0 , z0 )

до плоскости

Р, заданной общим уравнением

Ax By Cz D 0, находится

по формуле

85

d (M 0 , P)

 

Ax0

By0

Cz0

D

 

.

(3.15)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2 B2 C 2

 

 

 

 

 

 

 

Угол между плоскостями в пространстве определяется по косинусу угла между нормальными векторами n1 и n2 этих плоскостей:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos cos(

 

 

,^

 

 

)

(n1

,

n2 )

.

 

 

(3.16)

 

 

 

 

 

 

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

n1

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1. Записать общее уравнение плоскости,

проходящей

через

точку

Q(3, 4, -5)

параллельно

векторам

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1 (3, 1,

1)

и a2 (1, -2, 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Поскольку векторы

 

a1 и a2

не коллинеарны, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

y 4

z 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

по с формуле (3.11) получим:

3

 

 

 

1

 

 

 

 

1

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преобразуем левую часть:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

y 4

 

z 5

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

3

1

 

 

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

 

 

1

(x 3)

 

 

(y 4)

 

(z 5)

(x 1)(1 2)

 

 

 

1

2

 

1

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(y 4)(3 1) (z 5)( 6 1) (x 1) 4(y 4) 7(z 5) x 4 y 7z 16.

Таким образом, получаем общее уравнение искомой плоскости: x 4y 7z 16 0.

Пример 2. Записать общее уравнение плоскости ,

проходящей через точки M1(2, 1, 3)

и M2 (3, 1, 2) параллельно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вектору a (3, 1, 4).

 

 

 

 

 

 

Решение. Составим вектор

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M1M2 (3 2, 1+1, 2 3) (1, 2, -1) .

Векторы

M1M 2 и

 

 

 

 

 

a (3, 1, 4). неколлинеарны. Тогда

согласно формуле

(3.11),

86

 

x 2

y 1

z 3

 

 

 

уравнение плоскости имеет вид:

3

1

4

0,

 

1

2

1

 

откуда получаем общее уравнение 9x y 7z 40 0.

Пример 3. Плоскость проходит через точку

M1(6, 10, 1) и

отсекает на оси абсцисс отрезок a 3 и на оси апликат отрезок c 2 . Составить для этой плоскости уравнение «в отрезках».

Решение. Воспользуемся уравнением «в отрезках» (3.14) и

подставим заданные значения a и c :

x

 

 

y

 

z

1.

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

2

 

 

 

 

 

 

 

 

В

полученное

уравнение подставим

координаты

 

точки

M (6,

10, 1) :

6

10

1

1. Решив

уравнение,

получим,

что

 

 

1

 

3

b 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b 4

. Тогда уравнением «в отрезках» имеет вид

x

 

y

 

 

z

1.

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

Пример 4. Найти расстояние между двумя параллельными

плоскостями P : 2x y z 1 0 и P : 4x 2y 2z 1 0.

 

 

 

1

2

 

 

 

 

Решение.

Поскольку

нормальный вектор

плоскости P

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

nP (2, -1, 1)

и нормальный вектор плоскости P

nP ( 4, 2, -2)

1

 

 

2

2

 

коллинеарны (их соответствующие координаты являются

пропорциональными), то плоскости P

и P параллельны.

 

 

1

2

 

Найдем

точку, принадлежащую

плоскости P .

Пусть

 

 

1

 

x y 0 ,

тогда P : 2 0 0 z 1 0 z 1 . Получили

точку

 

1

 

 

N 0, 0,1 .

 

 

 

Таким образом, расстояние между двумя плоскостями будем искать как расстояние

принадлежащей плоскости P1 , до плоскости

(3.15).

d (N, P )

 

 

4 0 2 0 2 1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

4 2 22 2 2

 

 

 

 

 

 

 

параллельными от точки N , P2 по формуле

3 .

26

87

Задания для самостоятельного решения

I уровень

1.1.Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1(2, 1, -1) и имеет нормальный вектор n (1, -2, 3) .

1.2.Составить уравнение плоскости, проходящей через три

точки: 1) M1(1, 2, 0) , M2 (2, 1, 1) , M3 (3,0,1) ; 2) M1(1, 1, 1) , M2 (0, -1, 2) , M3 (2,3, 1) .

1.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1(1,1,1) параллельно двум векторам a1 (0, 1, 2) и a2 ( 1, 0, 1).

1.4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1 и M2 параллельно вектору a1 , если:

1) M1(5,1,3) и M2 (2,0,1) параллельно вектору a1 (2, 1, 7) ; 2) M1(8,0, 2) и M2 (1,5, 6) параллельно вектору a1 (0, 5, 8) .

1.5. Определите взаимное расположение заданных плоскостей. Если плоскости параллельны, то найдите расстояние между плоскостями, если пересекаются косинус угла между ними.

1)x y 3z 1 0 и 2x y 5z 2 2;

2)2x y 2z 4 0 и 4x 2y 4z 8 0;

3)x y 1 0 и y z 1 0 ;

4)2x y z 1 0 и 4x 2y 2z 2 0 ;

II уровень

 

 

2.1. Даны

две точки M1(3, 1, 2)

и M2 (4, 2, 1) . Составить

уравнение плоскости, проходящей через точку M1 перпендику-

лярно к вектору M1M 2 .

2.2.Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат параллельно плоскости 5x 3y 2z 3 0 .

2.3.Составить уравнение плоскости, которая проходит через

начало координат перпендикулярно к двум плоскостям:

2x y 3z 1 0 , x 2 y z 0 .

88

2.4.Вычислить объём пирамиды, ограниченной плоскостью 2x 3y 6z 12 0 и координатными плоскостями.

2.5.Плоскость проходит через точки M1(1, 2, 1) , M2 (3, 2,1)

иотсекает на оси ординат отрезок b 3. Составить для этой плоскости уравнение «в отрезках».

2.6. Определить, при

каком значении

l следующие пары

уравнений будут определять перпендикулярные плоскости:

1) 3x 5y lz 3 0 ,

x 3y 2z 5 0 ;

2) 7x 2y 2 0 , lx y 3z 1 0

.

2.7. Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и образующей с плоскостью 2x y 5z 7 0 угол 60 .

Задания для самостоятельного решения

1.Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор n (5, 0, -3) .

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

 

 

 

 

 

M1 и M2 параллельно вектору a1 , если:

 

1) M1(1,1,1) и M2 (2,3, 1)

 

 

(0, -1, 2) ;

параллельно вектору a1

 

 

 

(3, 0, 1) .

2) M1(1, 2, 0) и M2 (2,1,1)

параллельно вектору a1

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1(0,1, 2) параллельно двум векторам a1 (2, 0, 1) и a2 (1, 1, 0).

4. Определите взаимное расположение заданных плоскостей. Если плоскости параллельны, то найдите расстояние между плоскостями, если пересекаются косинус угла между ними.

1)x 2y z 1 0 и y 3z 1 0 ;

2)2x y z 1 0 и 4x 2 y 2z 1 0 ;

5.Известны координаты вершин тетраэдра A(2,0,0), B(5,3,0), C(0,1, 1) и D(-2,-4,1). Составьте уравнения его граней.

6.Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1(2, 1,1) перпендикулярно к двум плоскостям:

2x z 1 0, y 0 .

89

7. Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки M1(1, 1, 2) и M2 (3,1,1) перпендикулярно к плоскости x 2y 3z 5 0 .

8. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1(2, 3, 4) и отсекает на координатных осях отличные

от нуля отрезки одинаковой величины (считая каждый отрезок направленным из начала координат).

Ответы.

 

1.

 

 

5x 3z 0 .2.

 

 

 

 

1) 2x 2y z 1 0 ;2)

x 2y 3z 3 0 .3.

x y 2z 5 0 .4.

1)Пересекаются,

cos

 

1

 

,

2)параллельны,

 

 

 

3

 

 

.

5.

 

 

x y 3z 2 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y 2 0 ,

5x 2 y 12z 10 0 ,

5x 2 y 21z 19 0 .

6. x 2z 4 0 . 7. 4x y 2z 9 0 . 8. x y z 5 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.3. Прямая в пространстве

 

 

Пусть L – прямая, для которой необходимо составить

уравнения, M (x, y,

z) – произвольная точка этой прямой.

Уравнение

прямой

L,

проходящей

через

 

точку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M0 (x0 , y0 , z0 ),

с направляющим вектором a (l, m, n) 0 .

Параметрическое уравнение прямой L:

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0

lt,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y0

mt,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.17)

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z z nt,

t R.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Каноническое уравнение прямой L:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0

 

y y0

 

z z0

.

 

 

 

 

 

(3.18)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

m

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение

прямой

 

L,

 

проходящей через две

точки

M1 (x1,

y1, z1 ) и M2 (x2 , y2 , z2 ),

лежащие на прямой L:

 

 

 

 

 

 

 

x x1

 

y y1

 

 

 

z z1

.

 

(3.19)

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

2

 

 

 

 

z

2

z

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

В пространстве прямую можно задать как линию

90

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]