metodichkaFTUG_chast1

Решение. Составим уравнение прямой L1 , проходящую через

запишем для каждого случая уравнение с угловым

81

ощем виде (3.6):

x 5y 3 0, 5x y 11 0.

Задания для самостоятельного решения

I уровень

1.1. Составить уравнения прямой, проходящей через: 1)

3x 4y 29 0,2x 5y 19 0.

1.4.Определить взаимное расположение заданных прямых L1

иL2 . При этом в случае параллельности прямых найти расстояние d(L1, L2 ) между прямыми, а в случае пересечения

пересечения прямых.

1)x 5y 35 0,3x 2y 27 0;

2)3x 5y 4 0,6x 10y 7 0;

3)2x 4y 3 0,x 2y 0;

4)12x 15y 8 0,16x 9y 7 0.

82

Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника.

2.3.Найти точку Q , симметричную точке P 5,13 относительно прямой 2x 3y 3 0 .

2.4.Даны вершины треугольника A(1, 1) , B( 2, 1) , C(3, 5) .

Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины

перпендикуляра, опущенного из вершины С на биссектрису внутреннего угла при вершине A .

2.6. Определить, при каких значениях т и п две прямые mx 8y n 0 , 2x my 1 0

1)параллельны; 2) совпадают; 3) перпендикулярны.

2.7.Составить уравнение прямой, которая проходит через точку A(3, 7) и отсекает на координатных осях отличные от

нуля отрезки одинаковой величины (считая каждый отрезок направленным от начала координат).

Задания для самостоятельного решения

1. Составить уравнения прямой, проходящей через: 1) точку M0 (1,1) перпендикулярно вектору n (2, 1);

2) точку M0 ( 1, 1) параллельно вектору a (2, 0).

2. Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A(3, 2) , B(5, 2) , C(1, 0) .

4x 5y 3 0 .

83

5. Составить уравнения прямых, проходящих через вершины

высот.

7. Определить, при каком значении т две прямые

m 1 x my 5 0 , mx 2m 1 y 7 0 пересекаются в

точке, лежащей на оси абсцисс.

8. Даны вершины треугольника A(1, 2) , B(5, 4) , C( 2, 0) .

Составить уравнения биссектрис его внутреннего и внешнего углов при вершине А.

9. Составить уравнение прямой, которая проходит через

x y 1 0 , 3x 2y 0 .

3.2. Плоскость в пространстве

Плоскость в пространстве можно задать разными способами: тремя точками; точкой и вектором, перпендикулярным плоскости. В зависимости от этого рассматриваются различные виды ее уравнений.

84

Пусть M(x, y, z) – произвольная точка плоскости, тогдаможно построить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

M0 (x0 , y0 , z0 ) и два неколлинеарных вектора a1 ( l1, m1, n1 ) и

на основании которого выводится общее уравнение плоскости

где D Ax0 By0 Cz0 .

Уравнение плоскости «в отрезках». Если известны точки пересечения плоскости P с координатными осями, т. е. M0(a, 0, 0), M1(0, b, 0), M2(0, 0, c), то справедливо уравнение

по формуле

85

Угол между плоскостями в пространстве определяется по косинусу угла между нормальными векторами n1 и n2 этих плоскостей:

(y 4)(3 1) (z 5)( 6 1) (x 1) 4(y 4) 7(z 5) x 4 y 7z 16.

Таким образом, получаем общее уравнение искомой плоскости: x 4y 7z 16 0.

Пример 2. Записать общее уравнение плоскости ,

86

отсекает на оси абсцисс отрезок a 3 и на оси апликат отрезок c 2 . Составить для этой плоскости уравнение «в отрезках».

Решение. Воспользуемся уравнением «в отрезках» (3.14) и

Пример 4. Найти расстояние между двумя параллельными

коллинеарны (их соответствующие координаты являются

87

Задания для самостоятельного решения

I уровень

1.1.Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1(2, 1, -1) и имеет нормальный вектор n (1, -2, 3) .

1.2.Составить уравнение плоскости, проходящей через три

точки: 1) M1(1, 2, 0) , M2 (2, 1, 1) , M3 (3,0,1) ; 2) M1(1, 1, 1) , M2 (0, -1, 2) , M3 (2,3, 1) .

1.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1(1,1,1) параллельно двум векторам a1 (0, 1, 2) и a2 ( 1, 0, 1).

1.4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1 и M2 параллельно вектору a1 , если:

1) M1(5,1,3) и M2 (2,0,1) параллельно вектору a1 (2, 1, 7) ; 2) M1(8,0, 2) и M2 (1,5, 6) параллельно вектору a1 (0, 5, 8) .

1.5. Определите взаимное расположение заданных плоскостей. Если плоскости параллельны, то найдите расстояние между плоскостями, если пересекаются косинус угла между ними.

1)x y 3z 1 0 и 2x y 5z 2 2;

2)2x y 2z 4 0 и 4x 2y 4z 8 0;

3)x y 1 0 и y z 1 0 ;

4)2x y z 1 0 и 4x 2y 2z 2 0 ;

уравнение плоскости, проходящей через точку M1 перпендику-

лярно к вектору M1M 2 .

2.2.Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат параллельно плоскости 5x 3y 2z 3 0 .

2.3.Составить уравнение плоскости, которая проходит через

начало координат перпендикулярно к двум плоскостям:

2x y 3z 1 0 , x 2 y z 0 .

88

2.4.Вычислить объём пирамиды, ограниченной плоскостью 2x 3y 6z 12 0 и координатными плоскостями.

2.5.Плоскость проходит через точки M1(1, 2, 1) , M2 (3, 2,1)

иотсекает на оси ординат отрезок b 3. Составить для этой плоскости уравнение «в отрезках».

2.7. Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и образующей с плоскостью 2x y 5z 7 0 угол 60 .

Задания для самостоятельного решения

1.Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор n (5, 0, -3) .

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1(0,1, 2) параллельно двум векторам a1 (2, 0, 1) и a2 (1, 1, 0).

4. Определите взаимное расположение заданных плоскостей. Если плоскости параллельны, то найдите расстояние между плоскостями, если пересекаются косинус угла между ними.

1)x 2y z 1 0 и y 3z 1 0 ;

2)2x y z 1 0 и 4x 2 y 2z 1 0 ;

5.Известны координаты вершин тетраэдра A(2,0,0), B(5,3,0), C(0,1, 1) и D(-2,-4,1). Составьте уравнения его граней.

6.Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1(2, 1,1) перпендикулярно к двум плоскостям:

2x z 1 0, y 0 .

89

7. Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки M1(1, 1, 2) и M2 (3,1,1) перпендикулярно к плоскости x 2y 3z 5 0 .

8. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M1(2, 3, 4) и отсекает на координатных осях отличные

от нуля отрезки одинаковой величины (считая каждый отрезок направленным из начала координат).

В пространстве прямую можно задать как линию

90