metodichkaFTUG_chast1

b m 2n 3 2 2, 4 3 2, 2 2 2 1, 2, 2 .

Скалярное произведение a,b 1 1 1 2 0 2 3 .

Вычислим длины векторов:

б) Найдем скалярное произведение

a,b 2m 3n,4m 3n 8 m, m 18 m, n 9 n, n =

8 m 2 18 m n cos 3 9 n 2 8 9 18 3 4 12 9 16 108 .

Найдем длину вектора a

a 2m 3n, 2m 3n 4 m, m 12 m, n 9 n, n4 m 2 12 m n cos 3 9 n 2 4 9 12 3 4 12 9 16108 63 .

Найдем длину вектора b

b 4m 3n,4m 3n 16 m, m 24 m, n 9 n, n16 m 2 24 m n cos 3 9 n 2 16 9 24 3 4 12 9 16

51

Пример 5. Даны векторы: a 3, 3, 2 , b 4,1, 0 . Найти

a, b , a,b , прb a , прa b .

Решение. Найдем скалярное произведение и длины векторов

a и b :

a,b 3 4 3 1 2 0 15 ,

52

A R, AB 1 2 1 2 1 1 3 .

Задания для решения в аудитории

I уровень

1. Найти скалярное произведение векторов a 6i 3 j 4k и

b4i 2 j 2k .

2.Известно, что a 1, b 2, (a,b) 3 . Найти: a) (a, a 2b) ;

б) (a 2b,3a b ) ; 2a 3b .

3. Найти длину вектора a 3m 4n , зная, что m и n – взаимно перпендикулярные орты.

53

4. Даны векторы a и b такие, что a 11, b 23, a b 30 .

их равнодействующей при перемещении точки из начала координат в точку M (2, 1, 1) .

(a,b) 4 .

11. В плоскости Oyz найти вектор a , перпендикулярный вектору b 2, 2,1 и имеющий с ним одинаковую длину.

II уровень

1. Векторы a и b взаимно перпендикулярны, а вектор c

54

5.Найти вектор u , коллинеарный вектору a 1, 2,3 и

удовлетворяющий условию (u,c) 5 , где c 1, 0,1 .

6.Найти проекцию вектора a 2, 3, 4 на ось, образующую равные углы с осями координат.

Задания для самостоятельного решения

1. Вычислить скалярное произведение двух векторов ( p, q) , зная их разложение по трем единичным взаимно перпендикулярным векторам a, b и c : p 3a b 2c ; q a 4b 5c .

2. Векторы a, b, c попарно образуют друг с другом углы,

каждый из которых равен 600 . Зная, что a 4, b 2 и c 6 ,

определить модуль вектора p a b c . 3. Найти угол между векторами:

а) a 2, 4, 4 и b 3, 2, 6 ; б) a 1,3, 6 и b 1,1, 0 ;

в) a 2,1,1 и b 1,0,0 .

55

4.В треугольнике с вершинами в точках A(3,2, 3), B(4,3, 3)

иС(3,1, 4) найдите величину его угла при вершине А и длину

медианы AN.

5. Найти вектор x , удовлетворяющий условиям

9.Длины ненулевых векторов a и b равны. Найдите угол между векторами a и b , если векторы p a 3b и q 5a 3b ортогональны.

10.Даны силы M 3, 4, 2 , N 2,3, 5 и P 3, 2, 4 ,

приложенные к одной точке. Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения M1 (5, 3, 7) в положение M2 (4, 1, 4) .

56

9.arccos 79 . 10. 13

2.3.Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b, c называется правой (левой), если при совмещении их начал кратчайший поворот от a к b виден из конца вектора c как поворот против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Свойства векторного произведения

1.a,b b, a ;

2.a b,c a,c b,c , a,b c a,b a,c ;

3.a,b a, b a,b ;

произведения означает коллинеарность векторов). Геометрический смысл векторного произведения: длина

вектора a,b численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b , приведенных к общему

57

Физический смысл векторного произведения: момент M силы F , приложенной к точке A относительно точки O, есть векторное произведение векторов OA и F , т. е.

M OA, F .

Если вектор a a1 , a2 , a3 , b b1 ,b2 , b3 , то

Векторное произведение можно применять при нахождении какого-либо вектора, ортогонального двум данным, при вычислении площадей параллелограмма и треугольника, при вычислении моментов силы относительно точки.

Свойства смешанного произведения

1. a,b,c b,c, a c, a,b . При циклической перестановке сомножителей смешанное произведение не изменяется;

2. a,b,c b, a,c c,b, a a,c,b . При перестанов-

ке двух сомножителей смешанное произведение меняет знак на обратный;

когда a, b, c – компланарные векторы;

58

Геометрический смысл смешанного произведения: абсолютное значение a,b,c равно объему V параллелепипеда,

построенного на векторах a, b, c , приведенных к общему началу: V a,b,c . Объем пирамиды, построенной на

векторах a, b, c равен V 16 a,b,c .

Смешанное произведение можно применять при вычислении объёмов параллелепипеда, пирамиды, длин их высот.

Пример 1. Найти координаты векторного произведения

59

б) Используя алгебраические свойства векторного произведения, имеем:

p q, p q p, p q, p p, q q, q0 p, q p, q 0 2 p, q ,

p q, p q 2 p, q 2 p q sin p, q 2 3 6 ;

в) Используя алгебраические свойства векторного

произведения, имеем:

p 2q,3 p q 3 p, p 6 q, p p, q 2 q, q

0 6 p, q p, q 0 7 p, q ,

p 2q,3p q 7 p,q 7 3 21.

BA 2i j k . Момент сил M вычисляется по формуле

60