metodichkaFTUG_chast1

Министерство образования Республики Беларусь

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

====================================================

Кафедра «Высшая математика № 2»

Учебно-методическое пособие по математике «Элементы линейной, векторной алгебры и аналитической геометрии». Часть 1

Минск

БНТУ

2014

2

ВВЕДЕНИЕ

Курс высшей математики является составной частью подготовки студентов инженерных специальностей вузов.

Предлагаемое учебное пособие подготовлено с целью оказания помощи студентам энергетического факультета и факультета технологий и управления гуманитаризации в изучении основ высшей математики, согласно учебной программе. Оно может быть использовано студентами на практических занятиях, а также при самостоятельном изучении математики.

В данном издании авторы в сжатой и доступной форме изложили теоретический материал по темам «Элементы линейной алгебры», «Векторная алгебра», «Аналитическая геометрия». Основные теоретические положения наглядно проиллюстрированы решением большого числа примеров. В пособии предлагаются задания для решения в аудитории, а для проверки усвоенных знаний – домашние задания с ответами, поскольку важно научить студентов самостоятельно работать над материалом. Предлагаемый для решения в аудитории набор задач распределён по двум уровням сложности, что позволяет реализовать дифференцированный подход в обучении.

Учебно-методическое пособие предназначено для студентов экономических и технических специальностей при изучении разделов «Элементы линейной алгебры», «Векторная алгебра», «Аналитическая геометрия». А также будет полезным для преподавателей, ведущих занятия по соответствующим разделам.

4

где числа a11, a12, …, akk отличны от нуля.

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы

Произведением матрицы Am×n на число α называется матрица

Am n [ aij ].

Разностью матриц (1.2) называется матрица A – B = A + (–1)B. Противоположной к В называется матрица –В, такая что

B ( 1)B.

Свойства операций сложения матриц и умножения на число:

1)A B B A;

2)A (B C) (A B) C;

3)A + 0 = А;

6

4)А + (–А) = 0;

5)1 A A;

6)A A A, где , R;

7)( )A A A;

8)(A B) A B, а матрицы A, B и С – одинакового

размера.

Для матриц A и B может быть введена операция умножения A·B при условии, что матрицы согласованы, т. е. количество столбцов матрицы A равно количеству строк матрицы B.

Произведением матрицы Ak×m на матрицу Bm×n называется матрица Ck×n = Ak×m · Bm×n, элементы которой Cij находятся по

Матрицы, для которых AB BA, называются

коммутативными или перестановочными.

Пусть A – квадратная матрица. Тогда k-я степень ( k N )

матрицы A определяется равенством Ak A A ... A. По

k раз

определению принимают A0 E при условии A 0.

Матрица AT, полученная из матрицы A заменой столбцов

Если для квадратной матрицы A выполняется соотношение A AT , то матрица A называется симметрической матрицей, а

7

8

Матрицы B и A согласованные, так как количество столбцов матрицы B совпадает с числом строк матрицы А.

2) Умножение матрицы A на матрицу B невозможно, так как матрицы не согласованы (число столбцов матрицы A не равно числу строк матрицы B). Произведение BA может быть найдено, так как в этом случае матрицы согласованы:

Решение.

9

Пример 5. Привести к трапециевидной или треугольной

Решение. Поменяем местами первую и вторую строки. Затем ко второй строке прибавим первую, умноженную на (–2), к третьей строке прибавим первую, умноженную на (–3). Далее к третьей строке прибавим вторую, умноженную на (–2). В результате получим треугольную матрицу, эквивалентную матрице A. Эти преобразования записывают в виде:

Задания для решения в аудитории

1.2. Найти матрицу X, удовлетворяющую условию:

10