metodichkaFTUG_chast2

0 существует такое число

( ),

что для

всех

х,

удовлетворяющих условию

x x0

,

(5.1)

выполняется

f (x) А

.

(5.2)

Тот факт, что А является пределом функции

y f (x)

в точке

x0

записывается в виде lim f (x) A .

x x0

x или

x ),

если для любого сколь угодно малого числа

0 существует такое положительное число M M что для

всех х, удовлетворяющих условию

x

M , выполняется

неравенство

f (x) А

. Это записывают так:

lim

f (x) А или lim

f (x) А.

x

x

большого

числа М > 0

существует такое положительное число

,

что для всех

х, удовлетворяющих условию

x x0

), выполняется неравенство

f (x)

М . Это записывают так:

(

x

lim

f x ( lim f (x) ).

x x0

x

Функция f(x)

называется бесконечно малой при x x0

(x ), если lim

f (x) 0 ( lim

f (x) 0).

x x0

x

x x0 такая, что

f (x) А (x).(Это означает, что функция

замены переменной, т. е.

lim f (g(x)) lim f ( y) , где

y g(x) , если

lim g(x) y0 .

x x0

y y0

x x0

доказать, что

lim

2x 2

5x 3

7 .

x

3

x 3

Решение.

Зафиксируем

произвольное

значение

0.

Согласно

определению, требуется по

найти такое число 0, чтобы из условия

0

x 3

следовало неравенство (5.2), которое в данном случае имеет

вид:

2x 2 5x 3

7

.

(5.6)

x 3

2(x 1)(x 3)

7

. Откуда,

Упрощая последнее неравенство,

получим:

x 3

поскольку x 3 , имеем:

2x 1 7

,

2(x 3)

. Получаем:

x 3

.

Следовательно, если принять

2

, то из неравенства

x 3

будет

2

2x 2

5x 3

7 .

следовать неравенство (5.6). Это и означает, что

lim

x 3

x 3

Пример 2. Вычислить пределы:

1) lim

5x

2 9x 2

, 2) lim

5x

2 9x 2

.

x x 2

x x2

x 2 2

x 2 2

5( 2)2 9( 2) 2

20 18 2

4

1

.

2 ( 2)

( 2)2

2 2 4

8

2

5x2 9x 2 x 2 5x 1 ;

2 x x2 x 2 1 x .

Подставив полученные выражения, получим:

lim

(x 2)(5x 1)

lim

5x 1

10 1

11

.

x 2 1 x

1 x

1 2

x 2

x 2

3

Пример 3. Вычислить lim

2

ln(1 x))sin

1

(x

.

x 0

x

Решение.

Представим функцию

f (x) (x2 ln(1 x)) sin

1

как

x

произведение двух функций (x) x2 ln(1 x) и x sin

1

.

x

Функция (x) x2

ln(1 x)

является суммой двух бесконечно малых

функций при

x 0,

так как

lim x2 0

и lim ln(1 x) ln1 0.

Значит,

x 0

x 0

(x) – бесконечно малая функция при x 0.

f(x) – есть бесконечно малая при x 0,

т.е. lim f (x) 0.

x 0

Пример 4. Вычислить предел функции:

3

10 х 2

.

1) lim

2) lim x(

x 2

x 3).

x 2

х5 2 х3

x 0

3

3

3

3

10

(10 х)

2

2

10 х 4

10 х 2

х 2

5

3

2

3

3

2

3

х

х

х

(10

х)

10

х 4

х 2

2

=

10 х 8

1

.

3

3

3

2

3

3

3

2

3

х

(10

х)

10 х

4

х

(10

х)

х 4

х 2

2

2 10

Возвращаясь к пределу, получим:

lim

1

1

1

.

3

8 4 4 4

x 2 3

х

3

(10

х)

2

3

10 х

24 2

2

4

2)

При

непосредственном

вычислении

предела

получим

неопределенность

вида .

Чтобы

избавиться

от

нее, домножим и

разделим выражение на

:

x 2

x 3

lim

x (

x 2

x 3)(

x 2

x 3)

lim

x (x 2 x 3)

x 2 x 3

x 2 x 3

x

x

lim

5

x

lim

5

lim

5

x 2

x 3

x 2

x 3

x 2

x 3

x

x

x

x

x

x

lim

5

lim

5

5

.

x

2

1

3

x

1 0 1 0

2

1

x

x

Задания для решения в аудитории

I уровень

1.1. Постройте график какой-либо функции, если известно, что:

1) ее предел при

x равен 2;

2) она не имеет предела при

x ; 3) ее предел при

x равен 1, а при x равен – 2;

4) ее предел при x 1 0 равен , а при при x 1 0

равен ; 5)

ее предел при при x 2 0

равен , а при x 2 0

равен .

3

1

5x2

2x 3

x2

1)

lim x

3x

; 2)

lim

;

3) lim

;

x 3

x2

x 1 x2 4x 7

x 5

2x 10

x2

5x2

2x 3

x2 x 6

4) lim

;

5)

lim

6) lim

;

x 2x 10

x x2 4x 7

x x3 x2

4x 4

x2 x 6

9) lim

.

;

x 1 3

;

7) lim

8) lim

3x 4

x 2

x 2 x3 x2 4x 4

x

8

x2 64

x

1)

lim x 3 3 ;

2)

lim

x2 7x 6

5;

3) lim 2x 9 5 ;

x 6

x 0

x 6

x 2

3x2

4)

lim (5 2x) 15;

5)

lim

3;

6) lim

1 x 2

1

.

x 5

x x2

4

x 3

x 3

4

1)

lim

3 4x 2

;

2) lim

x2 x

;

3) lim

8x3 1

;