Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

metodichkaFTUG_chast2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.03.2016

Размер:

1.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

2) Перед дифференцированием преобразуем выражение, пользуясь свойствами логарифма:

	3x2		ln(3x2 ) ln ethx ln 3 ln x2
y ln				thx ln e ln 3 2 ln x thx.
		thx

e

Дальше	воспользуемся		основными правилами			дифференцирования
(первой, второй и четвертой формулами) и таблицей производных:
y ' (ln 3 2ln x thx) ' (ln 3) ' 2(ln x) ' (thx) '					2	1	.

					x	ch2 x
		Производная сложной функции
Если y f u		и u g x		– дифференцируемые функции своих
аргументов,	то	производная		сложной функции y f g x
вычисляется по формуле
		y	f	g (x).		(6.2)
		x	u
	Обобщенная таблица производных

u(x) x 1 u (x), где			R, в частности:

u(x)

u (x),

2 u(x)

au ( x) au ( x) ln a u (x),

где

eu( x) eu( x) u (x);

loga u(x)

u (x),

где

u(x) ln a

ln u(x) u(x)

u (x);

sin u(x)

cosu(x) u (x);

tgu(x)

cos2 u(x) u (x);

u (x);

u(x)

(x)

a 0,

a 1,

частности,

x 0,

a 0,

a 1,

частности,

cosu(x)

sin u(x) u (x);

ctgu(x)

sin2 u(x) u (x);

arcsin u(x)

arccos u(x)

u (x);

1 u(x)2

arctgu(x)

1 u(x)2

u (x);

arcctgu(x)

1 u2 (x) u (x);

shu(x)

chu(x) u (x);

chu(x)

shu(x) u (x);

thu(x)

chu2

cthu(x)

shu 2 (x)

(x) u (x);

u (x).

Если для функции y = f(x) существует обратная функция x = (y), которая имеет производную y 0, то верна формула

x y .

(6.3)

Пример 1. Найти производную функции:

x5 2sin x

y sh2x ;

2) y ln

;

3) y arcsin

1 x

;

1 x

x4 3x

2x 1

;

y ln tg

;

5) y arccos2

lg x 1

6) y ln 3cos(x2 )arctg 3x .

4	shx
Решение.	1) Функцию	y sh2x необходимо		рассматривать	как
сложную функцию, где		y f (u) shu	и	u u(x) 2x	–

дифференцируемые функции своих аргументов. Тогда, согласно формуле (6.2) и соответствующим формулам таблицы производных, получим:

y ' f '(u) u '(x) (shu) ' (2x ) ' chu 2x ln 2 ln 2 2x ch2x.

2) Сначала преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:

y ln		x5 2sin x			1	ln x	5	2sin x	1	ln x	4	3x .
		x4 3x			2				2

Вычисляем производную, используя правило дифференцирования суммы функций, формулу (6.2) и обобщенную таблицу производных:

x5 2sin x

ln x5 2sin x

ln x4

x5 2sin x

5x4 2cos x

4x3 3

2 sin x

2sin x

x4 3x

x5 2sin x

x4 3x

3) Рассмотрим функцию как

y arcsin g x , где g x

1 x

– также

1 x

сложная функция. Применив формулу (6.2) дифференцирования сложной функции, обобщенную таблицу производных, а также правило дифференцирования частного двух функций, получим:

1 x

1 x 1 x

1 x

1 x 1 x 1 x

1 x 2

2x 2 1 x

1 x

1 x 1 x

1 x

1 x x 1

2x 2 1 x

1 x

2 2x 1 x

1 x

2x 1 x

4) Пусть

g x tg

2x 1

тогда

y ln g x . Согласно формуле (6.2),

получим:

2x 1

2 2x 1

cos

2x 1

sin

2x 1

cos2

2x 1

2sin

2x 1

cos

2x 1

sin

2x 1

2 ,

5) Рассмотрим функцию как

где

arccos lg

x 1 .

g x

Функцию

можно

представить

виде

h x , где

h x lg x 1 . Тогда:

y 2 arccos

lg x 1 arccos

x 1

arccos

x 1

1 lg

x 1

arccos

x 1

1 lg x 1

2 lg x 1

arccos

x 1

x 1 ln10

2 lg

x 1

1 lg

x 1

arccos

x 1

x 1 ln10

lg x 1

1 lg

x 1

6) Перед тем как дифференцировать функцию, преобразуем выражение, пользуясь свойствами логарифма:

3cos(x2

)arctg 3 x

y ln

ln(3cos(x2 )arctg(x3 )) ln(4sh 2 x)

4 shx

ln 3 ln cos(x2 ) ln arctg(x3 ) ln 4

ln shx.

Продифференцируем

полученное

выражение,

используя основные

правила дифференцирования, формулу (6.2) и соответствующие формулы таблицы производных:

y ' (ln 3 ln cos(x2 ) ln arctg(x3 ) ln 4 12 ln shx) '

(ln 3) ' (ln cos(x2 )) ' (ln arctg(x3 )) ' (ln 4) ' ( 12 ln shx) '

2 )) '

(cos(x

(arctg(x

3 )) '

(shx) '

cos x2

arctg 3

2shx

sin x2 (x2 ) '

(x3 ) '

chx

cos x2

2shx

(1 3 x2 )arctg 3

2x sin x2

chx

cos x 2

2shx

33 x2 (1 3 x2 )arctg 3

Применив далее формулы тригонометрии, окончательно получим:

y ' 2xtgx2		1						1	cthx.
								2
	33 x2 (1 3 x2 )arctg 3
	33 x2 (1 3 x2 )arctg 3					x
Пример 2. Вычислить				,	если		y cos			3	.
Пример 2. Вычислить		y '		,	если		y cos				.
			4

Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом cos .

Дифференцируем ее по формуле (6.2). При этом пользуемся первой формулой обобщенной таблицы производных при условии 3:

y cos			3					2				3cos				2	sin .
y cos				3cos					cos			3cos					sin .
Вычислим значение производной при																		:
																		4
					2									2
					2								2	2			2		3 2
y '		3cos					sin				3									.
y '		3cos					sin				3									.
													2				2		4
	4					4				4			2				2		4
Пример 3. Вычислить									y '(1) y '( 1),						если			y ln			x	.


																				1 x2
																				1 x2

Решение. Преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:

ln(1 x2 ).

y ln

ln x ln

1 x2

ln x ln(1 x2 ) 2

ln x

1 x2

Теперь продифференцируем выражение, используя основные правила дифференцирования, формулу (6.2) и соответствующие формулы таблицы

производных.					Функцию					y ln(1 x2 )										рассмотрим как								y f (u) ln u, где
u 1 x2 .
y (ln x)						1	(ln(1 x2 ))						1		1		·	1			·(1 x2 )		1					1	·2x
y (ln x)							(ln(1 x2 ))										·	x2			·(1 x2 )								·2x
					2								x	2			1	x2					x			2(1 x2 )
	1			x			1 x2 x2							1					.
				x2				x(1 x2 )											.
		x	1	x2				x(1 x2 )				x(1 x2 )
Теперь вычислим
	y '(1)				1				1	и	y '( 1)										1				1		.
	y '(1)						2		2	и	y '( 1)					1				1 1		2					.
							2		2													2		2
				1(1 1 )
84

Тогда	y '(1) y '( 1)	1	1	1.

		2
			2

Дифференцирование функций с переменной в основании степени и в показателе

Производная функции

y f x g x ,

(6.4)

где f(x), g(x) – некоторые выражения с переменной x, не может быть вычислена по табличным формулам дифференцирования степенной функции и показательной функции (так как переменная находится как в основании степени, так и в ее показателе).

Заданная функция типа (6.4) называется показательно-степенной.

Вычисления производной показательно-степенной функции

Первый способ. Используют метод логарифмического дифференцирования. Для этого:

1) логарифмируют обе части уравнения, которым задается функция

(например, по основанию е): ln y ln f x g x ,

получают ln y g x ln f x ;

2) дифференцируют обе части полученного равенства, где считают

ln y		сложной функцией от				y y x (правую часть равенства
дифференцируют как произведение функций):
1					f x

	y y			x ln f x g x f x ;
	y y		g	x ln f x g x f x ;
3)		выражают из полученного равенства y :
						f	x
	y		y g x ln f x g x			f	x	;
	y		y g x ln f x g x			f x		;
						f x

4) заменяют y его выражением через x:
	g	x		f	x
y f x			g x ln f x g x			.	(6.5)
y f x			g x ln f x g x	f x		.	(6.5)
				f x

При решении данным методом используют не конечную формулу (6.5), а реализуют процесс логарифмического дифференцирования для каждой функции типа (6.4).

Второй способ. На основании свойства логарифмов записывают

f x g x	eln f x	g x	eg x ln f x .
				(6.6)

Далее дифференцируют как сложную функцию.

С помощью логарифмического дифференцирования удобно также вычислять производные функций при наличии в их аналитическом задании большого количества операций умножения, деления, возведения в степень.

Пример 1. Найти производную функции y cos x log3 x с		помощью
логарифмического дифференцирования.
Решение. Функция y cos log3 x	является показательно-степенной.
Прологарифмируем ее по основанию e:
ln y ln cos x log3 x ;	ln y log 3 x ln cos x .

Дифференцируем обе части полученного равенства, учитывая, что y – это функция от x. Используя формулы дифференцирования сложной функции и произведения функций, получаем:

ln cos x

sin x log3 x

y log3 x

ln cos x log3 x ln cos x

;

x ln 3

cos x

ln cos x

tg x log3 x.

x ln 3

Выразим y из последнего равенства:			ln cos x
			y y	tgx log3 x .
			y y	tgx log3 x .
			x ln 3
Подставим вместо переменной у заданное выражение и приходим к
ответу:
log3 x	ln cos x
y cos x		tg x log3 x .
y cos x		tg x log3 x .
	x ln 3

Пример 2. Вычислить производную показательно-степенной функции y arctg x 3x 2 , используя переход к основанию е.

Решение. Используем формулу (17.3):

y arctg x 3x 2 e3x 2 ln arctg x .

Полученную функцию продифференцируем по правилу вычисления производной сложной функции:

y e3x 2 ln arctg x e3x 2 ln arctg x 3x 2 ln arctg x

e	3		3		ln arctg x 3


		x 2 ln arctg x		x 2		x 2(ln arctg x)

					1						2													1
					1						2													1
e	3	x 2 ln arctg x				x 2					3		ln arctg x					3		x 2							arctg x
		x 2 ln arctg x																3
					3																		arctg x

														3
					ln arctg x											x 2
	3			ln arctg x
e	3	x 2		ln arctg x																		.
														1 x	2		arctg x
						3	x	2				2
												2
					3
					3
Пример 3. Вычислить значение производной функции в точке x0 :

3	x		2	1 sin 2x tg				4	x										x 2			3
			2					4																	x	5	2

														2) y															x 0.
1) y										;																		,


			ln5 x 1																		3 2x 8								0
			ln5 x 1																		3 2x 8

Решение. 1) Аналитическое задание данной функции представляет собой выражение, удобное для логарифмирования. Поэтому для нахождения производной этой функции используем метод логарифмического дифференцирования:


	3 x			2	1 sin 2x tg				4	1				1
										x	ln x2 1 3
ln y ln														ln sin 2x 3	ln tg x 4
				ln5				1
						x
ln ln			1 5				1	ln x2	1			1	ln sin 2x 4 ln tg x 5ln ln				1 .
		x														x
							3					3

Обе части полученного равенства дифференцируем по переменной х, где считаем ln y сложной функцией от y y x :

sin 2x

4 tg x

3 x2

3sin 2x

tg x

1 y

2 cos 2x

3sin 2x

cos2 x tg x

3 x

Заменяя у его выражением через выражение в правой части, получим:

5 ln

x 1

;

2 x

x 1 ln

x 1

х и окончательно преобразуя

	3								tg4 x
	3	x2		1 sin 2x					tg4 x
y ln
y ln			ln5					1
			ln5				x	1
	2x				2					8			5
	2x				2	ctg2x				8			5				.
						ctg2x											.
	3 x2 1			3						sin 2x	2	x	x	1 ln	x	1

2) Прологарифмируем равенство, задающее функцию по основанию е, используя основные свойства логарифмов:


ln y ln	x 2 3 x5			2	;

	3 2x 8
	3 2x 8
					1				1
ln y ln x 2 3 ln x5 2									1
						2	ln 2x 8				;
						2	ln 2x 8			3	;
ln y 3ln x 2		1	ln x5 2					1	ln 2x 8 .
ln y 3ln x 2			ln x5 2						ln 2x 8 .
	2							3

Дифференцируем полученное равенство при условии, что y – это

функция от x:				1			y				3			1		5x4		1		2	.
функция от x:							y														.
				y						x		2 2			x5 2			3 2x 8
Выразим далее y											и заменим переменную y заданным выражением:
			3								5x4				2
y y																			.
y y									2 x5 2										.
	x					2			2 x5 2							3 2x 8

Подставляя в полученное выражение значение x0 0, получим:
		23							3
y (0)		23						2	3				1		17 2		.
y (0)			3														.
			3		8										3
					8				2			12			3

Задания для решения в аудитории

1.1. Пользуясь определением, найдите производную функции:


1) y 5 4x ;		2) y x 2 3x 4 ;			3) y		x ; 4) y 3 x .
1.2. Найдите производную функции:
1) y 4x3 2		3	5	;		y x7	2x4 6 5 ;
	x5				2)

		x6	x			y x2	3x 2 e x ;
3) y x8 3x7 sin 9x ;					4)

;

sin x cos x

;

cos7x

sin x cos x

cos2 x

;

ln 6x

y 8x3

21 3

;

11)

7 4x3 2

12)

7) y ln x arcsin x ;

10) y 9 x2 ;

			13) y 24x ln 8x ;
y sin tg 3x ;

14)

y 310

4 x

15) y arccos2 2x;

16)

y (1 tg2

3x)·e

;

17)

y ln(e2 x

1) 2arctgex ;

18)

y log3

;

1.3. Вычислите:

g x x 1;

, если f

3x3 4,5x2

2x 5,

f '(1) g '(1),

если

f (x) 4x 10

g(x)

x ( 3 x x);

3 x2

1.4. Решите уравнение:

f '(x) 0,

где

f (x)

x3 2x

;

f '(x) 0,

где

f (x)

II уровень

2.1. Вычислите y , если

y ln2

y ln( 1 ex

1) ln(

1 ex 1);

x ln ln x;

3) y tgsin 3 cos7x;

4) y ctg log3 sin 2x;

y earctg 1 x2 ;

y ln3 sin 4 x tg7 5x ;

y arctg

1 e x3

;

y ln ex

arcsin e x ;

3x 1

log3 (x 2x2 );

e2 x 1

3x 1

arcctg(3x 4)

y (x3 3x)2cos

10)

;

11)

(x 2)3

12)

y x arccos

4 x2

;

13) y

x sin x

1 ex .

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.05.20151.73 Mб20metodichka . физика.pdf
#
31.05.2015597.5 Кб16metodichka по МП пассажиров.doc
#
05.12.20189.82 Mб20Metodichka.doc
#
26.03.20161.61 Mб51MetodichkaC_14ch1.doc
#
26.03.20162.68 Mб20metodichkaFTUG_chast1.pdf
#
26.03.20161.82 Mб6metodichkaFTUG_chast2.pdf
#
10.11.20197.85 Mб10Metodichka_1_kurs.doc
#
26.03.201685.22 Кб12metodichka_magistranty.docx
#
31.05.20151.09 Mб4Metodichka_ME_i_VED.doc
#
20.12.2018310.78 Кб5metodichka_mido-progr.doc
#
11.09.2019825.86 Кб20Metodichka_po_diplomu.doc