Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

metodichkaFTUG_chast2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.03.2016

Размер:

1.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Приходим к выводу, что x0 4 – точка разрыва II рода (бесконечного

скачка).	График			функции		y	2	в окрестности точки x0 4

							x 4
							x 4
представлен на рис. 5.1.
2) Точкой разрыва данной функции является точка													x 2.	Вычислим
односторонние пределы заданной функции в точке x 2:
			x 2 0								x 2 0
			x 2 0								x 2 0
			2	x	0					2		x	0
lim	1			1		0, lim		1				1		1	1.
lim						0, lim									1.
x 2 0		1	2	x		x 2 0			1	2		x		1 0
x 2 0			2	x		x 2 0		1 32 x		2		x		1 0
1 32 x				1				1 32 x				1
				1								1
			32 x							32 x 0

Рис. 5.1

Получили, что оба односторонних предела существуют (и конечны), но не равны между собой. Поэтому x 2 – точка разрыва I рода (скачок) – рис. 5.2. Заметим, что скачок равен:

lim	f x	lim f x 0 1 1.
x 2 0		x 2 0
		у
			1
		– 2	х

	Рис. 5.2
	x3		,	если	x 1,
Пример 3. Дана функция		2	2, если		1 x 2,
Пример 3. Дана функция	f (x) x		2, если		1 x 2,
	3,			если	x 2.

Исследовать ее на непрерывность и разрыв. Построить график. Решение. На промежутках ; 1 , 1; 2 , 2; функция задана

аналитическими выражениями элементарных функций, которые определены и, следовательно, непрерывны на каждом промежутке. Поэтому точками, «подозрительными на разрыв», являются точки x 1 и x 2.

Вычислим односторонние пределы функции в точке x 1.
Так как функция	f x x3	при x 1, то lim f	x lim	x3 1.
		x 1 0	x 1 0
		x 1 0
Так как функция	f x x2	2 при 1 x 2, то
lim f x lim x2 2 1.
x 1 0
Вычислим значение функции в точке x 1: f 1 1 3				1.

Таким образом, условия непрерывности функции в точке –1 выполнены. Поэтому в точке x 1 разрыва нет.

Вычислим односторонние пределы функции в точке x 2.

Так как функция		f x x2 2 при 1 x 2, то
lim f x	lim	x2 2 2.
x 2 0	x 2 0
x 2 0
Так как функция		f x 3 при x 2, то lim f x	lim 3 3.
		x 2 0	x 2 0
		x 2 0
Получили,	что x 2 – точка разрыва I рода (скачок). Значит, функция
непрерывна всюду на числовой прямой кроме точки			x 2 (рис. 5.3), в
которой она имеет скачок, равный 1.

– 1

Рис. 5.3

Пример 4. Используя свойства непрерывных функций, доказать, что

уравнение 3x3 x2 12x 4 имеет			хотя	бы один корень в промежутке
1; 0 .
Решение.	Рассмотрим	функцию		f x 3x3 x2 12x 4. Она
непрерывна	на отрезке	1; 0	как	сумма элементарных функций.

Вычислим значения функции на концах отрезка: f 1 3 1 12 4 6 0, f 0 4 0.

Получаем, что функция на концах отрезка принимает значения разных

знаков, потому существует		точка x 1;0 , в	которой	функция
обращается в нуль, т. е.	3 x x 12 x 4 0.
Другими словами,	точка	х будет являться	корнем	уравнения
3x x 12x 4 0.

Задания для решения в аудитории

I уровень

1.1. Вычислите односторонние пределы функции:

x 3

б) lim

;

x 1 x 4

а)

lim

;

в) lim

;

x 1 0

x 1

x 3 0

3 3

x 0

г)

lim

x 2

x 2 0

1.2. Приведите пример непрерывной функции: 1) на всей числовой прямой; 2) при всех значениях х, кроме x 1; 3) при всех

значениях х, кроме x 0, x 5; 4) на луче ; 1 ; 5) на интервале

(0; 2); 6) на отрезке [– 1; 1].

1.3. Исследуйте функцию y = f(x) на непрерывность. Найдите

точки разрыва и классифицируйте их. В случае устранимого разрыва доопределите функцию до непрерывной.

;

x 1

;

4) y

x2 4

;

2x 1

x 1

x 2

sin( x 2)

; 6)

3x 2

;

8) y

x 2

;

x 2

3x 1

x 2

x 1 2x

1.4. Исследуйте функцию на непрерывность, постройте ее график. Вычислите скачок функции в соответствующей точке разрыва:


	x 4, если				x 2,

1)			если	2 x					,
1)	f (x) 2,		если	2 x				2	,
								2
			если	x			.
	sin x,		если	x			.
						2
	1		, если		x 1,

		x 1

3)	f (x) 2, если			1 x 3,
	x 1,		если		x 3.

2)f (x)

4)f (x)

x 4, если x 1,

x2 2, если 1 x 1,2x, eсли x 1;

x3 , если x 1,

2 x, если x 1.

II уровень

2.1. С помощью односторонних пределов определите, имеет ли функция предел в точке. В случае существования вычислите его:

x2 1

lim

2 x

;

2) lim

;

3) lim

;

4x 3

x 4 16 x2

x 1

x 2

lim

2 x

8 x

x 2

2.2. Вычислите односторонние пределы функции в точке:

	1						1
				2) lim arctg3x;
1) lim			;				3) lim ln e x ;

		1
x 2 0				x		0	x 0
	3x 2
1					6

	4)	lim arcsinln 2 x .
	x 2 0
	2.3.	Вычислите	односторонние	пределы		функции y f x в
точке x0 :
	2, если x 1,				x		x 3,
				arctg		, если
				arctg		, если
1)	y		x0 1. 2)	y	3		x0	3.
	ln x, если x		1,	(x 3)2		, если	x 3,

2.4. Пользуясь определениями непрерывности функции в точке, докажите, что функция f(x) непрерывна всюду на числовой прямой:

1) f (x) x3 ;	2) f (x) x2 3;	3)	f (x)	1		;

				x2	1

4)f (x) 3x 1.

2.5.Определите точки разрыва функции и установите их тип:

																		1
1)	y	1					;	2)	y	1		;			3)	y	2 x2			1	;
1)	y	1		x			;	2)	y	1		;			3)	y			2		;
				x														1
					1					arctg							2 x			1
											x
											x
		2
4)	y		x			;		5)	y x 2 arctg				1	;	6)	y	5x 3			1	.
4)	y					;		5)	y x 2 arctg					;	6)	y					.
	1	sin x											x				x 3

2.6. Исследуйте функцию на непрерывность, постройте ее график. Найдите точки разрыва и классифицируйте их. В случае устранимого разрыва доопределите функцию до непрерывной:

x 2

, если

x 2,

если x 2,

x 1

x 2

1) f (x)

если

2 x 4, 2)

f (x)

2 ,

если 2 x 0,

4x 2,

если x 4;

если x 0;

2.7. Задана функция f(x). Найдите все значения параметров, при которых функция непрерывна:

ax 1,		если x 2,		0,	если x 0,
ax 1,		если x 2,			если 0 x 1,
				ax,	если 0 x 1,
1) f (x) sin	,	если x 2;	2)	f (x) x2	bx 2, если 1 x 3,
	x
	x			b x, если x 3.
				b x, если x 3.

2.8. Докажите, что уравнение имеет хотя бы один корень на указанном промежутке:

1)5x(x2 2) 8 18x2 , если x 0; 1 .

2)x3 19x 30, если x 3; 6 .

3)2x3 5x2 8x 20, если x 3; 0 .

Задания для самостоятельного решения

1. Вычислите односторонние пределы функции:

2x 1

x 4

1) lim

; 1.2.

lim

; 1.3)

lim 1

2x 1 ;

x 2

x 2 0

x 0

x 1 0

	x 1, если	x 0,
4)	y	x 0,	x0	0.
	sin x, если	x 0,

2. Исследуйте функцию на непрерывность, постройте ее график. Найдите точки разрыва и классифицируйте их. В случае устранимого разрыва доопределите функцию до непрерывной:

x 2

2x 4

f (x)

;

2) y

;

3) f (x) 6

4 x ; 4)

f (x)

;

3x 9

1, если x 0,

1 x, если

x 0,

f (x) 1 x,

если 0 x 3,

f (x)

если

0 x 2,

, если x 3;

x 3

если

x 2.

6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

6.1. Производная функции

Определение производной. Пусть функция

y f (x)

определена в некоторой окрестности фиксированной точки x0 и пусть х – произвольная точка этой окрестности. Тогда x x0 x

приращение аргумента (положительное или отрицательное) такое, что x x принадлежит окрестности этой точки, и приращение

функции

точке

выразится

формулой

f (x0 ) f (x0 x) f (x0 ).

Производной функции y f (x) в точке x0 называется предел

отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Обозначение производной

в точке x0

: y '(x0 ),

f ' x0

df x0

x x0

Следовательно, по определению

f ' x

lim f (x0 ) lim

f (x0

x) f (x0 )

(6.1)

x 0

Таким

образом, производная функции

в точке

x x0 (если

существует) – есть определенное число. Если же производная существует в произвольной точке х, то она является функцией от х и обозначается:

y ', f '(x), dy , df (x) . dx dx

Операция нахождения производной от функции f(x) называется

дифференцированием этой функции. Дифференцируемой

называется функция, которая имеет производную.

Основные правила дифференцирования

Пусть с – постоянная, u(x) и v(x) - дифференцируемые функции. Тогда

1. c ' 0.	2. (u v) ' u ' v '.					3. (uv) ' u 'v uv '.
4. (c u) ' cu '.		u '		u 'v uv '					v 0 .
		5.
					v	2
		v
Если y f (u) ,		u u(x) , где u(x)					– дифференцируема в точке
x, а функция	f (u)	дифференцируема						в соответствующей точке
u u(x) , то	сложная функция				y f (u(x)) дифференцируема в
точке x и ее производная y '			f ' (u)u '(x).
				u

Таблица производных основных элементарных функций

1. un ' n un 1 u ', n R.

2. au ' au ln a u ', a 0, a 1.

3. eu ' eu u '.

4.	loga u '				u '	,	a 0,	a 1.

				u ln a
				u ln a
5.	ln u '	u '	.
5.	ln u '		.
		u
6.	sin u ' cosu u '.
7.	cosu ' sin u u '.

8. tgu '			u '			.

		cos2 u
9. ctgu '			u '
								.
			sin2 u					.
10.	arc sin u '								u '			.


							1 u2
							1 u2
11.	arccosu '									u '			.



									1 u2
12.	arctgu '				u '					.
12.	arctgu '			u2						.
	1			u2
13.	arcctgu '								u '		.
13.	arcctgu '								u2		.
				1					u2

Пример 1. Найти производную функции		y x	в точке x0 ,	пользуясь
определением, если: 1)	y x 2x2 3x 4, x	2; 2)	y(x) sin x,	x .
	0			0	4
					4

Решение. 1) Используем определение производной в виде формулы

(6.1):

(x ) lim

f (x0

x) f (x0 )

lim

2(x x)2

3(x x) 4 2x2 3x 4

x 0

lim

2x2

4x x 2 x2 3x 3 x 4 2x2 3x 4

x 0

4x x 2 x2 3 x

lim

lim(4x0 2 x 3) 4x0

x 0

Поскольку по условию x0 2,

то y 2 4 2 3 5.

2) По формуле (6.1) получаем:

y (x ) lim

f (x0

x) f (x0 )

lim

sin(x0 x) sin x0

x 0

Далее, применив тригонометрическую формулу

sin( ) sin cos cos sin ,

получим:

lim

sin x0 cos x cos x0 sin x sin x0

lim

sin x0 cos x

x 0

lim

cos x0 sin x

lim

sin x0

x 0

Так как при

x 0 имеем

cos x cos0 1

и,

применив формулу

первого замечательного предела, получаем:

lim	sin x0	lim cos x		lim	sin x0

x 0	x	x 0	0	x 0 x

Поскольку по условию x0 4 , то

lim cos x0 cos x0.

x 0

					2
y		cos				.
y		cos				.
	4		4	2

Пример 3. Найти производную функции:

log2

y 4cos x

arctgx;

2) y 2 xtgx 5;

x5 1

Решение. 1) Используем основные правила дифференцирования (вторую и четвертую формулы) и таблицу производных, получаем:

		log2 x			log2
							x
y	4 cos x		arctgx	4 cos x				arctgx
		3				3

	1				1	1
4 cos x		log2 x	arctgx	4sin x			.
4 cos x	3	log2 x	arctgx	4sin x	3x ln 2	1 x2	.
	3				3x ln 2	1 x2

2) Используем основные правила дифференцирования (1-4 формулы) и соответствующие формулы таблицы производных:


y					2							2						tgx

	2 xtgx			5				xtgx 0									x		x tgx

	1				1				tgx		2			x
2	1		tgx x		1				tgx		2			x		.

						2							2
		2 x			cos	2				x	cos		2
		2 x			cos		x			x	cos				x

3) Используем основные правила дифференцирования (пятую формулу) и первую формулу таблицы производных:

1 x

3x7

3x2 5x7

2x7 3x2

x5 1 2 .

x5 1 2

Пример 4. Вычислить производную функции, используя правила

дифференцирования и таблицу производных: 1)

y log2 (x5 2x )sin x ;

3x2

y ln

;

thx

Решение. 1) Преобразуем функцию, пользуясь свойствами логарифма:

y log2 (x5 2x )sin x

sin x log2 (x5 2x ) sin x(log2 x5

log2

2x )

sin x(5log2

x x).

Полученное выражение дифференцируем используя основные правила дифференцирования (вторую, третью и четвертую формулы) и формулам таблицы производных:

y ' (sin x(5log2 x x)) ' (sin x) ' (5log2 x x) sin x (log2 x x) '

		5
cos x(5log2	x x) sin x		1 .

	x ln 2

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.05.20151.73 Mб20metodichka . физика.pdf
#
31.05.2015597.5 Кб16metodichka по МП пассажиров.doc
#
05.12.20189.82 Mб20Metodichka.doc
#
26.03.20161.61 Mб51MetodichkaC_14ch1.doc
#
26.03.20162.68 Mб20metodichkaFTUG_chast1.pdf
#
26.03.20161.82 Mб6metodichkaFTUG_chast2.pdf
#
10.11.20197.85 Mб10Metodichka_1_kurs.doc
#
26.03.201685.22 Кб12metodichka_magistranty.docx
#
31.05.20151.09 Mб4Metodichka_ME_i_VED.doc
#
20.12.2018310.78 Кб5metodichka_mido-progr.doc
#
11.09.2019825.86 Кб20Metodichka_po_diplomu.doc