metodichkaFTUG_chast2

1. Если материальная точка M движется неравномерно по пути, заданному функцией y S t , то мгновенная скорость движения в момент времени t0 есть производная от пути S по времени t:

(6.23)

2. Если функцией y v t описывается процесс изменения

скорости неравномерного движения в зависимости от времени, то мгновенное ускорение материальной точки в момент времени t0 есть производная от скорости v по времени t:

Экономические приложения производной

1. Если предприятие выпускает однородную продукцию и издержки производства у являются функцией от количества выпускаемой продукции х, т.е. y f x . Тогда средние издержки

продукции за время t. Тогда производная объема произведенной продукции по времени t - есть производительность труда u t0 в

момент времени t0 .

3.Эластичность функции Ex y это предел отношения

относительного приращения функции к относительному приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Эластичность – это мера реагирования одной переменной

110

величины на изменение другой. Она приближенно показывает, на сколько процентов изменится функция при изменении независимой переменной х на один процент.

Эластичность функции применяется при анализе спроса и предложения от цены. Если эластичность функции спроса больше единицы, то спрос – эластичный, если равна единице – нейтральный, а если меньше единицы – не эластичный относительно цены.

Пример 1. Написать уравнение касательной и нормали, проведенной к

Решение. Для нахождения уравнения касательной воспользуемся формулой (6.21). Сначала найдем ординату точки касания f (x0 ). Для этого

Подставив найденные значения в формулу (6.21), получаем уравнение касательной:

y 6 x 2 5, т. е. y 6x 17.

Чтобы написать уравнение нормали, воспользуемся формулой (6.22):

y 16 (x 2) 5.

Получим, что уравнение нормали, проведенной к заданной кривой в заданной точке, имеет вид y 16 x 4 23 .

Пример 2. Определить, в какой точке кривой y 33x касательная

111

наклонена к оси абсцисс под углом 45 .

Решение. Так как тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс равен значению производной в точке касания, найдем производную функции:

Получили два значения абсциссы точки касания:

x01 1, x02 1,

т. е. существуют две точки касания, в которых касательная образует угол 45 с осью Ох.

Найдем соответствующие ординаты точек касания, подставляя значения x01, x02 в формулу функции:

y x2 4 в точке их пересечения, имеющей отрицательную абсциссу.

Решение. Угол между двумя кривыми в точке их пересечения – это угол между касательными к этим кривым, проведенными в точке их пересечения. Тангенс этого угла вычислим по формуле

112

коэффициент k1:

y 3x2 , y x 6x, y x0 y 1 k1 6 1 6.

Аналогично найдем k2:

y x2 4, y x 2x, y x0 y 1 k2 2.

Воспользуемся формулой (6.26) и получим:

откуда arctg 118 .

Пример 4. Тело движется прямолинейно по закону

S t 16 t3 3t2 5.

Найти скорость движения тела в тот момент, когда ускорение равно нулю.

Решение. Согласно формуле (6.23), скорость есть производная функции S(t), а, согласно формуле (6.24), ускорение а(t) есть производная скорости v(t).

Последовательно вычислим производные:

Найдем момент времени, когда ускорение равно нулю:

32 t 2 6 0; 3t 2 12; t 2.

Вычислим скорость движения тела в момент времени t0 2 :

v t0 v 2 12 23 2 6 8.

Пример 5. Зависимость между себестоимостью единицы продукции у (в тыс. руб.) и выпуском продукции х (в млрд. руб.) выражается функцией: y 0,5x 80 . Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции

равном 60 млрд. руб.

Решение. Согласно формуле (6.25), эластичность функции

себестоимости

113

Это означает, что при выпуске продукции равном 60 млрд. руб. увеличение его на 1% приведет к снижению себестоимости на 0,6%.

Задания для решения в аудитории

I уровень

1.1. Напишите уравнения касательной и нормали к кривой y f (x) в точке х0:

пересекает ось абсцисс в начале координат.

1.3. Определите, в какой точке касательная к графику функции

y 2x 2 образует с осью абсцисс угол 45 . x 2

1.4. Зависимость между издержками производства у и объемом выпускаемой продукции х на предприятии выражается функцией

y 50x 0,05x3 . Определить средние и предельные издержки при

объеме продукции 10 единиц.

1.5. Производительность труда бригады может быть описано уравнением y 2,5t 2 15t 100 , где 0 t 8 - рабочее время в часах.

Вычислить скорость изменения производительности труда при t1 2, t2 7 часов.

1.6. Зависимость между количеством выпускаемых деталей в партии х (тыс. ед.) и затратами на их изготовление у (тыс. ед.) для

предприятий отрасли выражается уравнением y 27x 6 . Найти

эластичность затрат для предприятий, выпускающих по 10 тыс. деталей в партии.

114

времени t = 1 c.

2.12. Движения двух материальных точек по одной прямой заданы уравнениями s(t) 24x2 24x и s(t) 4x2 7. Найдите

скорости движения точек в те моменты, когда пройденные ими расстояния равны.

2.13. Зависимость между себестоимостью готовой продукции предприятия у (млн. руб.) и объемом выпускаемых изделий х (тыс.

шт.) выражается уравнением y x 4 2 . Найдите эластичность

себестоимости продукции предприятия, выпускающего 12 тыс. шт. изделий. Какие рекомендации можно дать руководителям предприятия об изменении величины объема выпускаемой продукции?

2.14. Заданы функции спроса q и предложения s от цены x: q 10 x, s 3x 6 . Найдите: 1) равновесную цену; 2) эластичность

спроса и предложения для равновесной цены; 3) изменение дохода при изменении равновесной цены на 5%.

орудия с начальной скоростью 50 м/с. Найдите кинетическую

116

7. По оси Ох движутся две материальные точки, законы

момент времени их скорости окажутся равными и чему она равна? В какой момент времени скорость движения первой точки будет равна

9 м/с?

8. Себестоимость продукции у связана с объемом выпускаемой продукции х уравнением: y 6ln 1 3x . Определите среднюю и

предельную себестоимость выпускаемой продукции при объеме, равном 10 единиц.

9. Найдите эластичность функции спроса q при заданной

6.5. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора

Точка х0 называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует некоторая окрестность точки x0 такая, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство f (x) f (x0 ) f (x) f (x0 ) .

Значение f (x0 ) называется локальным максимумом

(минимумом) функции.

Точки максимума или минимума функции называются точками экстремума (локального). Максимум и минимум называются

экстремумом функции.

Теорема 1 (теорема Ферма). Если функция f(x)

x0 , y0 касательная к кривой параллельна оси Ох.

117

Геометрический смысл теоремы Лагранжа.

Если выполняются условия теоремы Лагранжа, то внутри отрезкаa;b найдется такая точка x c , касательная в которой параллельна

хорде, соединяющей концы дуги a; f a , b; f b .

Рис. 6.3

Теорема 4 (теорема Коши). Если функции y f x и y g x удовлетворяют условиям: 1) функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке a;b ; 2) функции f(x) и g(x) дифференцируемы на интервале

Теорема Коши является обобщением теоремы Лагранжа.

пределов часто бывает полезным правило Лопиталя, которое задается следующей теоремой.

Теорема 1. Пусть функции f(x) и g(x) удовлетворяют

119