metodichkaFTUG_chast2

1)

y ln x tgx ;

2)

y ctg5x x3 1 ;

3) y chx arcsin3x ;

7x4 3x ;

y

5

7 x 4 3

; 6) y 5

x

3 3

x2

.

4)

x

5)

y

x 2 2 x 7 5

cos2 x

6 x 1

4

x3

2

2) y x7 5x3

11 sin 7x ;

1)

y

x 6

x 9;

5

3 x

y x4 cos x ln x ;

y (2x2 4x 3)8 ;

y

5 x2

3)

4)

5)

;

5 x

y sin3 5x2 ;

x2

2

6)

y 5

(2x2 4x3 )4 ;

7)

8)

y arcsin

;

x2

2

y lg4 x5 sin 6 2x ;

9)

y e x2

arctg x3 1 ;

10)

7x4 3x .

x 3 5 x 2 3

y 3 x4 ctg ex

5

11)

y

;

12)

;

13) y

x

x 1 3

cos2 x

1) f (t) t2 e2t , t

0;

0

2) f (x) (x 1) x2 1, x 2;

0

3) f (x) ln cos x,

x

;

4) f (t) sin t cos2 t, t

0

0;

0

3

5)

f ( y) ecos 2 y ,

6)

f (x) arctg

, x

1

y

;

x

;

0

4

0

4

1

7)

f (x) arccos

1 x ,

x

.

8)

y arctg

5x 1 x ln x,

x 1;

0

2

0

9)

y ex (ch2x 2sh2x),

x

0;

0

y x

4arcsin

x

,

10)

4 x2

x

0;

2

0

11)

y ex2 1 ln(x2

3),

x

1.

0

Уравнение

F x, y 0

(6.7)

от x. Получают новое уравнение, содержащее x, y и

y . Из него

находят y x .

Пусть функция y y x

задана параметрически уравнениями:

x t ,

y t , t ; ,

(6.8)

дифференцируемы для любого t ; ,

где функции t

и t

причем t 0,

и требуется найти y x .

Используют формулу

y

t

.

(6.9)

x

t

Полученное

таким образом

выражение для y

зависит от

x

Пример 1. Найти производную y

x функции:

x 3t 2,

3

,

x ln 1 t

1)

y t

2

t 1;

2)

y arctg t.

t2

Решение. 1) Используем формулу (6.9): y

t 1

2t 1

.

3

x

3t 2

В полученное выражение подставив t

x 2

, получим:

3

2

x 2

1

2x 4 3

2x 7

y

3

.

x

3

3 3

9

2) Воспользуемся формулой (6.9):

t

3

'

3t

2

1

x

;

y

.

t

1 t3

1 t3

t

1

t2

Подставляя выражения в формулу (6.9), получим:

1

1 t

3

y

1 t

2

.

x

3t 2

2

t

2

3t

1

1 t3

1 3

3

y

ex 1

ex

.

x

2

2

2

2

3 3 ex

1

3 ex 1

33 ex 1

3

ex 1

1

1

x cos t,

функции

в точке t0

.

2 t

y 4sin

3

Подставим полученные выражения в формулу (6.9):

y

yt

4sin 2t

8cos t.

x

xt

sin t

Найдем значение производной в заданной точке. Подставим значение

t

0

в полученное выражение:

y

8cos

, т. е.

y

4.

3

x

3

x

Пример 3. Вычислить y x :

1) x 1 2

cos x 3

;

2) arctg

y

1

ln

x2

y2 .

y

x

2

Решение. 1) Данное уравнение задает неявно функцию

y f x .

Продифференцируем обе части уравнения по переменной х, считая, что

у есть функция от х:

2

1

x 1

cos x 3 y

;

2 x 1 sin x 3

y

1

y .

3

2

3

y

Откуда выразим y :

y

2 x 1

2 x 1

1

;

y 33 y2

1 .

sin x 3

sin x 3

33 y2

y

y

y

1

2

2

1

1

1

2

2

y

arctg

ln x

y

;

x

y

;

x

y

2

2

x

2

y

2

2

x

1

x

x2

y x x y

1

x2 y2

x2

2 x2 y2 2x 2 y y

.

Из полученного равенства выразим

y x :

xy y

x yy

;

x2 y2

x2 y2

xy y x yy ;

y x y x y.

Приходим к ответу:

y

x y

.

x y

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x0 ,

если ее

приращение f в этой точке может быть представлено в виде