metodichkaFTUG_chast2

2.4. Вычислите

y

для

функции,

заданной

уравнением

2

y arctg y arcsin

x

0,

если y

1.

2

2

2.5. Вычислите дифференциал функции

y f (x) в точке

x1 ,

если аргумент изменяется от x1 до x2 :

y ln(4x2 1) arctg

1, x

2;

1)

x, x

y ln x

, x1

1

2

3)

4 x2

0, x2

0,02;

1

3)

y arccos

, x1

2, x2

2,2;

1

2x

2

4)

y

2

arctg

x

, x

1, x 0, 2;

x

2

1

2.6. Вычислите дифференциал функции:

1 sin 3x

3t

y ln

y x(arcsin x arccos x);

x

,

1)

;

2)

3)

1

t2

1

sin 3x

2

);

y ln(1 t

2

x cos

t,

; 6) sh 3x y

ln

xy x

4)

5)

x

3

y

3

cos x

2

y

2

2

2

y.

y arcsin t2 ;

2.7. Проверьте, удовлетворяет ли функция

y f (x)

заданному

уравнению:

xdy ydx

xdx

0,

y

e x2

1)

;

ex2

2x

2)

y3 cos x dx tg x dx

dy

0, y

1

.

2) cos1510

1) 8,76;

3) ln(0,093e); 4) arctg 0,97;

5) lg11;

x t 2

2,

x arctg t,

1.1.

1

t

3

1.

1.2.

2

1.3. y3 3y 2ax 0.

y

3

y

ln t

1 .

1.4. 2x 2y

2x y.

1.5. xy arctg

x

.

y

2. Найдите значение производной y

в точке x 1 для функции

y y x , заданной уравнением x2

2xy3

1 0, если y 1 1.

3. Вычислите дифференциал функции:

3

. 3.2. y 2cos3 x 3cosx.

ln(2x 1) 2 .

3.1. y

3.3. y

2x 1

sin x

5.3. sin 290.

5.1. 3 26,19;

5.2. ln 09.

6. Проверьте,

удовлетворяет ли функция y f (x) заданному

уравнению:

6.1. xdy (2 y x2 )dx,

y x2 ln x;

6.2. 2x3dy

3x2 y2

1

dx 0, y

2 x

;

3

x

2

x (t),

(t) .;

(6.16)

y

(t)

Для нахождения производной второго порядка используют

формулу (6.9) к параметрически заданной функции (6.16):

(t)

y

(t)

.

(t)

d (n) f d (d (n ) f ),

n N.

Для вычисления дифференциала порядка n используют формулу

d (n) y f (n) (x)dxn , n N.

(6.17)

Дифференциалы

второго и

выше порядков не

обладают

(в отличие от дифференциалов

первого порядка)

свойством

1

1

1

1

2

(2)

(3)

(4)

f

(x) ln x

;

f

(x)

;

f

(x)

.

x

x

2

2

x

3

x

x

Пример 2. Для функции y f (x)

найти формулу производной

n-го

порядка, n N,

если: 1) y 52 x 3 ;

2)

y ln(2x 1).

Решение. 1) Вычислим производную 1-го порядка:

y 52 x 3 2 ln 5 52 x 3.

Далее

y 2 ln 5 52 x 3 2 ln 5 2 ln 5 52x 3 2 ln 5 2 52 x 3.

y 2 ln 5 2 52 x 3 2 ln 5 2 2 ln 5 52 x 3 2 ln 5 3 52 x 3.

Установив закономерность, запишем формулу для производной

n-го

порядка:

y(n) 52x 3 (n) 2ln 5 n 52x 3.

2) Вычисляем последовательно:

y

2

;

y

2 2

22

;

2x 1

(2x 1)2

(2x 1)2

y

2 2 2(2x 1) 2

23 2

;

y(4)

23 2 3(2x 1)2 2

24 2 3

.

(2x 1)4

(2x 1)3

(2x 1)6

(2x 1)4

Приходим к заключению, что y

(n)

( 1)n 1 2n n!

.

(2x 1)n

Пример 3. Для функции, заданной уравнением

x2 y x 5y,

найти

производную второго порядка.

x2 y x2 y x 5y ;

2xy x2 y 1 5 y .

(6.18)

Выражая y из равенства (6.18), получим:

y

2xy 1

.

(6.19)

5 x2

Подставим

в эту формулу найденное выражение (6.19) для y ,

2 y 4x

2xy 1

получим: y

5 x2

.

5 x2

2 2t 2 2t 2

2 4t 2

1 2t 2 .

2

2

x arctg t,

(6.20)

2t2 .

y 1

(1 2t

2

)

4t

Дифференцируем еще раз: y

4t

1 t2 .

(arctg t)

1

1 t 2

1

sin2 x

cos2 x sin2 x

y (x) 4tg x

1 tg2 x 4tg x

4tg x

cos2 x

cos2 x

4tg x

1

4

sin x

,

cos2

x

cos2 x

Пример 5. Найти d 3 y для функции y 3x3

4x2 7x 1.

Решение. Согласно формуле (6.17), для дифференциала 3-го порядка

справедлива формула d 3 y

f (x)dx3.

Последовательно вычисляем производные заданной функции:

y 9x2 8x 7;

y 18x 8;

y 18.

1)

y 2ln x x3 ;

2)

y

1

;

3)

y ln(x 1)

x

;

3x

x 1

5

y cos2 3x;

y arctg

y ecos x x.

4)

5)

x;

6)

7)

x2 y cos x cos y 0;

8) x ln y y2 0;

9)

ln y y lnsin x 0;

10) 3 x y tg y 0.

x t 1,

x sin

2

t,

x e

3t

,

x ln t,

11)

2

12)

13)

14)

y sin 2t;

2t

y t

3

2

y

;

y e

;

2t

3.

t

d 2 y,

d 2 y,

1)

если y tg(2x 3);

2)

если y 1 x2 ;

3)

d 3 y,

если y (x2 x) ln x;

4)

d 3 y,

если

y sin x ;

5)

d 4 y,

если y

22 x

.

6)

d 4 y, если

y x3 3x 2

4 .

e x

1)

y 23x ; 2)

y lg(4 x);

3)

y

2x

;

4) y sin(3 x 2).

x 3

2.4. Найдите дифференциал 2-го порядка функции y f (x) :

x

1)

y

2 x2

2arcsin

;

2

2)

y

1

ln(2x2 x 3)

1

ln

2x 3

;

2

10 2x 2

3)

y x ln(x2

1) 2x 2arctg x;

4)

y

1

3

.

cos3 x

cos x

1)

y y e y ,

где y

1

; 2) 2( y )2

( y 1) y , где

y

2 2x

;

ln(1 x)

1 2x

3)

yy 2 yy ln y ( y )2 , где

y etgx;

yy ( y )2

4)

0, где

y

2x 1.

2.6.

Вычислите

производную первого порядка

функции

y

8x

в точке, где y (x) 0.

x2

4

3.

Найдите производную второго порядка неявно заданной

функции в точке x0 ,

y0

:

1)

y sin x y , A(0; 0).

2)

arctg y y x, B(0; 0).

3)

y 1 x e y , C(0; 1).

4)

x 2 y 2 xy 4 0, D(0; 2).

4.

Вычислите

дифференциал указанного порядка функции

1)

d 2 y,

если y e x ;

2)

d 3 y,

если y

1

x 2 2 ln x 3 ; ;

4

3)

d 4 y,

если y

11

;

4)

d 5 y,

если y 2x5 4x 4

3x3

8. ;

x 3

5. Вычислите производную 2-го порядка функции

y

x3 4

в

x2

f x0 tg ,

где – угол наклона касательной к оси Ox. В этом состоит

геометрический смысл производной.

Уравнение касательной, проведенной к

графику функции

в точке M0 x0 ; y0 , где y0 f x0 , имеет вид:

y f x0 x x0 f x0 .

(6.21)

Прямая, проходящая через точку M 0 x0 ; y0

графика функции

называется нормалью к

графику

функции

y f x в точке

M 0 x0 ; y0 (рис. 6.1). Уравнение нормали имеет вид:

y

1

x x0

f x0 ,

(6.22)

у0

М0

0

х0

х