metodichkaFTUG_chast1
.pdf5) x1 1, x2 1, x3 1, x4 1; 6) x1 2, x2 0, x3 1, x4 1.
3.1) x3 (34 x1 17 x2 29) / 5, x4 (16 x1 8 x2 16) / 5;
2)x3 (26 27 x1 9x2 ) /13, x4 (3x1 x2 13) /13; 3)Несовместна;
4) x1 x2 x3 0; 5) x1 x2 x3 0; x4 x5 ; 6) x1 x2 x3 0.
2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 2.1. Векторы. Линейные операции над векторами
Линейная зависимость векторов.
Величина называется скалярной, если она характеризуется одним числом, которое выражает отношение этой величины к соответствующей единице измерения. Примерами скалярных величин могут служить: время, масса, плотность, объем, температура, работа и др.
Величина называется векторной, если она характеризуется не только числовым значением, но и направлением. Примерами векторных величин являются: сила, скорость, ускорение, напряженность и др.
Вектором, называется направленный отрезок. При этом любые два направленных отрезка считаются равными, если они имеют одинаковые длину и направление.
Будем обозначать вектор либо как направленный отрезок символом AB , где точки A и B − начало и конец данного вектора, либо a . Начало вектора называют точкой его приложения.
Длиной или модулем вектора AB называется длина отрезка
AB и обозначается AB . Вектор, длина которого равна 0,
называется нулевым и обозначается 0 . Нулевой вектор направления не имеет. Все нулевые векторы считаются равными.
Векторы a и b называются коллинеарными a || b , если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.
41
Если при этом векторы a и b имеют одинаковое (противоположное) направление, то они называются
сонаправленными a b (противоположно направленными a b ).
Два вектора называются равными, если они коллиннеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.
Ортом, или единичным вектором, называется вектор, длина которого равна единице. Ортом вектора a называется
единичный вектор a0 aa , сонаправленный с вектором a .
Суммой двух векторов AB и BC называется вектор AC (правило треугольника сложения векторов). Сумма векторов a
и b обозначается a b . Сложение нескольких |
векторов |
|||
выполняется |
по |
правилу |
многоугольника: |
|
A1 A2 A2 A3 |
An 1 An A1 An . |
Для |
сложения |
двух |
неколлинеарных векторов |
применяют |
также |
правило |
параллелограмма: суммой векторов AB и AD является вектор AC , где точка C – вершина параллелограмма ABCD (рис 2.1).
Рис. 2.1
Разностью a b вектора a и вектора b называется такой вектор с , который в сумме с вектором b дает вектор a .
Произведением вектора a на действительное число называется вектор a , длина которого равна а , а
42
направление совпадает с направлением вектора a при 0 и противоположно направлению вектора a при 0 . Вектор a коллинеарен вектору a .
Углом между ненулевыми векторами a и b называется наименьший из двух углов, образуемых этими векторами при
совмещении их начал, и обозначается (a, b ) .
Проекцией |
вектора |
а АВ |
на |
ось l называется |
|
число |
|||
(обозначается |
прl а ), определяемое формулой |
прl а |
|
а |
|
cos , |
|||
|
|
||||||||
где − угол |
между |
вектором |
a |
и осью |
l . Запись |
|
прb a |
обозначает проекцию вектора a на направление вектора b |
т. е. |
||||
на ось, определяемую ортом b 0 |
b |
. |
|
|
|
b |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства проекции вектора на ось: |
|
|
|||
1. а l, а 0 прl а 0; 2. |
прl а b прl а прl b; |
(2.1) |
|||
3. прl а прl а, |
R . |
|
|||
Базисом на плоскости |
|
(в |
R2 ) называются |
два |
неколлинеарных вектора этой плоскости, взятые в определенном порядке.
Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.
Базисом в пространстве (в R3 ) называются три некомпланарных вектора этого пространства, взятые в определенном порядке.
Декартова система координат с ортонормированным базисом
i 1,0,0 , |
j 0,1, 0 , |
k 0, 0,1 |
называется прямоугольной |
системой координат. |
|
|
|
Координаты x, y, z |
вектора |
a (x, y, z) в прямоугольной |
декартовой системе координат равны проекциям вектора на координатные оси
43
|
|
|
|
|
x прOx а |
|
а |
|
cos , y прOy а |
|
а |
|
cos , |
|
|
(2.2) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
, , |
|
|
|
|
|
z прOz а |
|
а |
|
cos , |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
где |
– углы |
|
наклона |
вектора |
a к осям |
координат; |
||||||||||||||||||||||||||
cos , cos , cos называются |
направляющими |
|
|
косинусами |
||||||||||||||||||||||||||||
вектора a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Длина |
вектора |
|
через его координаты определяется как |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
a |
|
|
|
x2 y2 z2 . |
|
Направляющие |
|
|
|
косинусы |
вектора |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
вычисляются по формулам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
x |
|
, cos |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
, |
(2.3) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 z2 |
x2 y2 z2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
z |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 z2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
откуда следует cos2 cos2 |
cos2 1 . |
|
|
|
Если в декартовой системе координат даны две точки A(x1 , y1, z1 ) и B(x2 , y2 , z2 ) , то вектор AB имеет координаты
x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 .
Координаты точки C, делящей отрезок AB в отношении ( 0), можно найти по формулам:
x |
xA xB |
, |
y |
|
yA yB |
, z |
|
zA zB |
. |
(2.4) |
|
|
|||||||||||
C |
1 |
C |
|
1 |
C |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вектор |
a (x, y, z) |
|
может быть представлен в виде |
||||||||
разложения |
по декартовому прямоугольному базису |
i , j , k : |
|||||||||
а xi yj zk . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если в декартовых прямоугольных координатах заданы два вектора
а1 x1i y1 j z1k , |
а2 x2i y2 j z2 k , |
то |
|
44
a1 a2 x1 x2 i y1 y2 j z1 |
z2 |
k , |
|||||||
a x1 i y1 j z1 k . |
(2.5) |
||||||||
|
|||||||||
Условие коллинеарности векторов a1 |
и a2 имеет вид: |
||||||||
|
x1 |
|
y1 |
|
z1 |
, |
R . |
|
(2.6) |
|
|
|
|
|
|||||
|
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
|
|
|
Пример 1. В равнобедренной трапеции ABCD BC||AD, AB BC СD 2 , AD 4 , M и N − середины сторон ВС и CD
соответственно. Выразить векторы AM , DC , AN и MN через
m и n − единичные векторы направлений AD и AB . |
|
Решение. По условию задачи: AB 2n , |
AD 4m , |
BC 2m (рис. 2.2) |
|
Рис. 2.2
Для нахождения искомых векторов используем правила сложения векторов.
AM AB BM AB 12 BC 2n m .
DC DA AB BC AD AB BC 4m 2n 2m 2n 2m .
AN AD DN AD 12 DC 4m 12 2n 2m n 3m .
MN MA AN AM AN 2n m n 3m n 2m .
Пример 2. Найдите проекцию вектора |
AC на направление |
|||||
|
|
|
|
|
2 , |
|
вектора a если AC AB BC , |
AB |
6 , |
BC |
21 2 , |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
45
AB, a 23 , BC, a 4 .
Решение. Используем свойства проекции (2.1):
прa AC прa AB прa BC AB cos AB, a BC cos BC, a
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
= 6 |
|
|
|
21 2 |
|
|
|
18 . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
Пример 3. Даны векторы: a 3, 3, 2 , b 4,1, 0 , c 1, 2, 2 , d 6, 6, 4 . Проверить, есть ли среди них
коллинеарные? Если да, то являются ли коллинеарные векторы сонаправленными?
Решение. |
Условию |
|
коллинеарности |
(2.6) |
||||
удовлетворяют векторы a и d |
так как |
|
|
|
||||
3 |
3 |
2 |
, |
|
1 |
. |
|
|
|
6 |
|
|
|
||||
|
6 |
4 |
|
|
2 |
|
|
Так как коэффициент пропорциональности координат 0 ,
то векторы a и d противоположно направлены. |
|
|
Пример |
4. Даны векторы a 2i 3 j 6k |
и |
b i 2 j 2k , |
приложенные к общей точке. Найти |
орт |
биссектрисы угла между a и b .
Решение. Диагональ параллелограмма совпадает с биссектрисой внутреннего угла, если этот параллелограмм –
ромб. |
Параллелограмм, построенный на ортах а0 |
и b0 |
|
векторов |
a и b , является ромбом. Таким образом, |
вектор |
|
c a0 |
b0 |
направлен по биссектрисе угла между a и b . |
46
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a |
|
4 9 36 7, a |
|
|
|
, |
|
, |
|
|
|
, |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
7 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
b |
|
1 4 4 3, |
b |
|
|
|
|
|
, |
|
|
, |
|
|
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
2 |
|
1 |
|
3 |
|
2 |
|
6 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
5 |
|
4 |
|
|
|
c а |
|
b |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
, |
|
|
. |
|
|
|
3 |
7 |
3 |
7 |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
21 21 21 |
|
|||||||||||
Найдем |
|
|
|
|
|
длину |
|
|
|
|
|
|
|
вектора |
|
|
|
|
|
с : |
с
равен
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
5 |
|
|
4 |
|
|
2 |
|
, тогда орт биссектрисы |
|||||||
|
21 |
|
|
21 |
|
|
21 |
|
21 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
с |
|
|
1 |
|
|
5 |
|
|
4 |
|
|
|||
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
с |
|
|
42 |
|
|
42 |
|
|
42 |
|
|
Задания для решения в аудитории I уровень
1. Дан параллелограмм ABCD и два вектора p и q
таких, что AB 4 p , а AD 3q . Точки M и N – середины сторон BC и CD соответственно. Выразить через векторы p
и q : а) векторы CB, CD, AC, BD ; б) векторы AM , AN, MN .
2. Даны векторы a 3, 4,5 , b 1, 0, 2 . Найти
c2a 5b, d 3a 2b .
3.Найти орт вектора a 6, 2, 3 .
4. |
При каких значениях x и z векторы a x, 2, 4 и |
||||
b 3, 6, z коллинеарны? |
|
|
|
||
5. |
Даны |
точки |
A(2,3, 1), B(8,12, 4) . |
Найти |
|
координаты: а) середины отрезка AB; б) точек, делящих |
|||||
отрезок на три равные части. |
|
|
|
||
6. |
Вектор a |
образует углы 60 |
и 45 |
с осями |
Ox и Oz соответственно. Найти: а) угол , который образует
47
вектор |
a с |
осью Oy, |
если известно, |
что |
он тупой; б) |
||||||||
координаты вектора a , если |
|
a |
|
2 . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
II уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
В треугольнике ОАВ даны векторы a OA, b OB . |
||||||||||||
Найти векторы MA, MB, MO , где М – середина стороны АВ. |
|||||||||||||
2. |
Найти координаты вектора a , образующего равные |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
острые углы с осями координат, если |
a |
2 3 . |
|
||||||||||
3. |
Два |
вектора |
a 2, 3, 6 |
и |
b 1, 2, 2 |
приложены к одной точке. Определить координаты вектора c , направленного по биссектрисе угла между векторами a и
|
|
3 |
|
|
b , при условии, что |
c |
42 . |
||
4. Три силы M , N и |
P , приложенные к одной точке, |
имеют взаимно перпендикулярные направления. Определить величину их равнодействующей R , если известно, что
M 2 H, N 10 H и P 11 H .
5. Зная одну из вершин C 5, 1,1 треугольника ABC и
векторы AB 0,3,5 , BC 4, 2, 1 совпадающие с его
сторонами, найти остальные вершины и вектор CA .
Задания для самостоятельного решения
1. Точка A 3,1,5 является вершиной треугольника
ABC, векторы AB 1, 1, 2 , BC 2, 2,3 совпадают с его
сторонами. Найти остальные вершины и вектор AC .
2. Найти длину стороны BC треугольника ABC, если
AB 1, 1, 2 , AC 7, 2, 4 . |
|
|
3. Векторы AB 2, 6, 4 и |
AC 4, 2, 2 |
совпадают |
со сторонами треугольника АВС. |
Определить |
координаты |
48
векторов, приложенных к вершинам треугольника и совпадающих с его медианами АМ, BN, CP.
4. Векторы BC a |
и CA b |
служат сторонами |
треугольника ABC. Выразить через a и b |
векторы AM , BN |
иCK , совпадающие с медианами треугольника ABC.
5.Вектор a образует с осями Ox и Oy углы в 45 . Найти: а) угол, который образует вектор a с осью Oz; б) координаты
вектора a , если a 2 .
Ответы. 1. B 4, 0, 7 , C 6, 2,10 , AC 3,1,5 . 2. 7.
3.AM (3, 4, 3) , BN (0, 5,3) , CP ( 3,0,1) .
4.AM 12 a b, BN a 12 b , CK 12 b a .
5.а) 90 ; б) (2, 2, 0) .
2.2. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением ненулевых векторов a и b
называется число
|
|
a,b |
|
a |
|
|
|
b |
|
cos a,b |
|
a |
|
прab |
|
b |
|
прb a . |
(2.7) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Свойства скалярного произведения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a, b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R ; |
|||||||
1) |
|
a,b |
|
|
b, a |
|
|
; 2) a,b |
|
|
|
|
|
|
|
a,b |
|
|
, |
|
|
|||||||||||||||||
3) a b, c a,c b,c ; |
|
|
|
|
|
|
4) a, a |
|
a |
|
2 . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Если |
векторы |
|
|
a a1 , a2 , a3 |
и |
|
|
b b1 ,b2 ,b3 заданы |
||||||||||||||||||||||||||||||
координатами в ортонормированном базисе, то |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a,b a1b1 |
a2b2 |
a3b3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.8) |
||||||||||||||||
C помощью скалярного произведения можно находить: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1) длину вектора |
|
a |
a,a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49
2) |
косинус угла между векторами |
|
|
||||||
|
cos a,b |
a,b |
, a,b 0 a b |
(2.9) |
|||||
|
|
|
|||||||
|
|
a |
|
b |
|
|
|
|
|
3) |
проекцию одного вектора на направление другого |
|
|||||||
|
пр b a,b , |
пр a a,b . |
|
||||||
|
a |
|
|
|
a |
|
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Физический смысл скалярного произведения: если вектор F представляет постоянную силу, точка приложения которой
перемещается из начала в конец вектора S , то работа А этой силы определяется равенством A F, S .
Пример 1. Определить длины диагоналей параллелограмма,
построенного на векторах |
a 3m n и b 2m n , |
где m и n |
|||||||||
таковы, что |
|
m |
|
|
|
n |
|
1, m,n 600 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. Диагонали |
параллелограмма совпадают с |
||||||||||
векторами |
|
c a b 5m 2n и |
d a b m . |
Так как |
m, n m n cos m,n 1 1 12 12 , то
c 5m 2n 5m 2n 2 25 m, m 20 m, n 4 n, n25 10 4 39, d m 1.
Пример 2. Найти угол между векторами a и b если:
а) a m n , b m 2n , m 3, 4, 2 , n 2, 3, 2 .
б) a 2m 3n , b 4m 3n , m 3, n 4, m,n 3 .
Решение. Косинус угла между векторами определяется по формуле (2.9).
а) Найдем координаты векторов a и b :
a m n 3 2, 4 3, 2 2 1,1,0 ,
50