Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

metodichkaFTUG_chast1

.pdf
Скачиваний:
20
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
2.68 Mб
Скачать

5) x1 1, x2 1, x3 1, x4 1; 6) x1 2, x2 0, x3 1, x4 1.

3.1) x3 (34 x1 17 x2 29) / 5, x4 (16 x1 8 x2 16) / 5;

2)x3 (26 27 x1 9x2 ) /13, x4 (3x1 x2 13) /13; 3)Несовместна;

4) x1 x2 x3 0; 5) x1 x2 x3 0; x4 x5 ; 6) x1 x2 x3 0.

2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 2.1. Векторы. Линейные операции над векторами

Линейная зависимость векторов.

Величина называется скалярной, если она характеризуется одним числом, которое выражает отношение этой величины к соответствующей единице измерения. Примерами скалярных величин могут служить: время, масса, плотность, объем, температура, работа и др.

Величина называется векторной, если она характеризуется не только числовым значением, но и направлением. Примерами векторных величин являются: сила, скорость, ускорение, напряженность и др.

Вектором, называется направленный отрезок. При этом любые два направленных отрезка считаются равными, если они имеют одинаковые длину и направление.

Будем обозначать вектор либо как направленный отрезок символом AB , где точки A и B − начало и конец данного вектора, либо a . Начало вектора называют точкой его приложения.

Длиной или модулем вектора AB называется длина отрезка

AB и обозначается AB . Вектор, длина которого равна 0,

называется нулевым и обозначается 0 . Нулевой вектор направления не имеет. Все нулевые векторы считаются равными.

Векторы a и b называются коллинеарными a || b , если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

41

Если при этом векторы a и b имеют одинаковое (противоположное) направление, то они называются

сонаправленными a b (противоположно направленными a b ).

Два вектора называются равными, если они коллиннеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Ортом, или единичным вектором, называется вектор, длина которого равна единице. Ортом вектора a называется

единичный вектор a0 aa , сонаправленный с вектором a .

Суммой двух векторов AB и BC называется вектор AC (правило треугольника сложения векторов). Сумма векторов a

и b обозначается a b . Сложение нескольких

векторов

выполняется

по

правилу

многоугольника:

A1 A2 A2 A3

An 1 An A1 An .

Для

сложения

двух

неколлинеарных векторов

применяют

также

правило

параллелограмма: суммой векторов AB и AD является вектор AC , где точка C – вершина параллелограмма ABCD (рис 2.1).

Рис. 2.1

Разностью a b вектора a и вектора b называется такой вектор с , который в сумме с вектором b дает вектор a .

Произведением вектора a на действительное число называется вектор a , длина которого равна а , а

42

направление совпадает с направлением вектора a при 0 и противоположно направлению вектора a при 0 . Вектор a коллинеарен вектору a .

Углом между ненулевыми векторами a и b называется наименьший из двух углов, образуемых этими векторами при

совмещении их начал, и обозначается (a, b ) .

Проекцией

вектора

а АВ

на

ось l называется

 

число

(обозначается

прl а ), определяемое формулой

прl а

 

а

 

cos ,

 

 

где − угол

между

вектором

a

и осью

l . Запись

 

прb a

обозначает проекцию вектора a на направление вектора b

т. е.

на ось, определяемую ортом b 0

b

.

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойства проекции вектора на ось:

 

 

1. а l, а 0 прl а 0; 2.

прl а b прl а прl b;

(2.1)

3. прl а прl а,

R .

 

Базисом на плоскости

 

R2 ) называются

два

неколлинеарных вектора этой плоскости, взятые в определенном порядке.

Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.

Базисом в пространстве R3 ) называются три некомпланарных вектора этого пространства, взятые в определенном порядке.

Декартова система координат с ортонормированным базисом

i 1,0,0 ,

j 0,1, 0 ,

k 0, 0,1

называется прямоугольной

системой координат.

 

 

Координаты x, y, z

вектора

a (x, y, z) в прямоугольной

декартовой системе координат равны проекциям вектора на координатные оси

43

 

 

 

 

 

x прOx а

 

а

 

cos , y прOy а

 

а

 

cos ,

 

 

(2.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, ,

 

 

 

 

 

z прOz а

 

а

 

cos ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

– углы

 

наклона

вектора

a к осям

координат;

cos , cos , cos называются

направляющими

 

 

косинусами

вектора a .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Длина

вектора

 

через его координаты определяется как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

x2 y2 z2 .

 

Направляющие

 

 

 

косинусы

вектора

 

 

 

 

 

 

вычисляются по формулам:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

x

 

, cos

 

 

 

 

 

 

 

y

 

,

(2.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 y2 z2

x2 y2 z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

z

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 y2 z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда следует cos2 cos2

cos2 1 .

 

 

 

Если в декартовой системе координат даны две точки A(x1 , y1, z1 ) и B(x2 , y2 , z2 ) , то вектор AB имеет координаты

x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 .

Координаты точки C, делящей отрезок AB в отношении ( 0), можно найти по формулам:

x

xA xB

,

y

 

yA yB

, z

 

zA zB

.

(2.4)

 

C

1

C

 

1

C

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Вектор

a (x, y, z)

 

может быть представлен в виде

разложения

по декартовому прямоугольному базису

i , j , k :

а xi yj zk .

 

 

 

 

 

 

 

 

Если в декартовых прямоугольных координатах заданы два вектора

а1 x1i y1 j z1k ,

а2 x2i y2 j z2 k ,

то

 

44

a1 a2 x1 x2 i y1 y2 j z1

z2

k ,

a x1 i y1 j z1 k .

(2.5)

 

Условие коллинеарности векторов a1

и a2 имеет вид:

 

x1

 

y1

 

z1

,

R .

 

(2.6)

 

 

 

 

 

 

x2

 

y2

 

z2

 

 

 

Пример 1. В равнобедренной трапеции ABCD BC||AD, AB BC СD 2 , AD 4 , M и N − середины сторон ВС и CD

соответственно. Выразить векторы AM , DC , AN и MN через

m и n − единичные векторы направлений AD и AB .

 

Решение. По условию задачи: AB 2n ,

AD 4m ,

BC 2m (рис. 2.2)

 

Рис. 2.2

Для нахождения искомых векторов используем правила сложения векторов.

AM AB BM AB 12 BC 2n m .

DC DA AB BC AD AB BC 4m 2n 2m 2n 2m .

AN AD DN AD 12 DC 4m 12 2n 2m n 3m .

MN MA AN AM AN 2n m n 3m n 2m .

Пример 2. Найдите проекцию вектора

AC на направление

 

 

 

 

 

2 ,

вектора a если AC AB BC ,

AB

6 ,

BC

21 2 ,

a

 

 

 

 

 

 

 

45

AB, a 23 , BC, a 4 .

Решение. Используем свойства проекции (2.1):

прa AC прa AB прa BC AB cos AB, a BC cos BC, a

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

= 6

 

 

 

21 2

 

 

 

18 .

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

Пример 3. Даны векторы: a 3, 3, 2 , b 4,1, 0 , c 1, 2, 2 , d 6, 6, 4 . Проверить, есть ли среди них

коллинеарные? Если да, то являются ли коллинеарные векторы сонаправленными?

Решение.

Условию

 

коллинеарности

(2.6)

удовлетворяют векторы a и d

так как

 

 

 

3

3

2

,

 

1

.

 

 

6

 

 

 

 

6

4

 

 

2

 

 

Так как коэффициент пропорциональности координат 0 ,

то векторы a и d противоположно направлены.

 

Пример

4. Даны векторы a 2i 3 j 6k

и

b i 2 j 2k ,

приложенные к общей точке. Найти

орт

биссектрисы угла между a и b .

Решение. Диагональ параллелограмма совпадает с биссектрисой внутреннего угла, если этот параллелограмм –

ромб.

Параллелограмм, построенный на ортах а0

и b0

векторов

a и b , является ромбом. Таким образом,

вектор

c a0

b0

направлен по биссектрисе угла между a и b .

46

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

2

 

 

 

3

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

4 9 36 7, a

 

 

 

,

 

,

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

7

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

1 4 4 3,

b

 

 

 

 

 

,

 

 

,

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

2

 

1

 

3

 

2

 

6

 

2

 

 

 

1

 

5

 

4

 

 

c а

 

b

 

 

 

 

 

,

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

,

 

,

 

 

.

 

 

 

3

7

3

7

3

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

21 21 21

 

Найдем

 

 

 

 

 

длину

 

 

 

 

 

 

 

вектора

 

 

 

 

 

с :

с

равен

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

5

 

 

4

 

 

2

 

, тогда орт биссектрисы

 

21

 

 

21

 

 

21

 

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

с

 

 

1

 

 

5

 

 

4

 

 

с

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

,

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с

 

 

42

 

 

42

 

 

42

 

 

Задания для решения в аудитории I уровень

1. Дан параллелограмм ABCD и два вектора p и q

таких, что AB 4 p , а AD 3q . Точки M и N – середины сторон BC и CD соответственно. Выразить через векторы p

и q : а) векторы CB, CD, AC, BD ; б) векторы AM , AN, MN .

2. Даны векторы a 3, 4,5 , b 1, 0, 2 . Найти

c2a 5b, d 3a 2b .

3.Найти орт вектора a 6, 2, 3 .

4.

При каких значениях x и z векторы a x, 2, 4 и

b 3, 6, z коллинеарны?

 

 

 

5.

Даны

точки

A(2,3, 1), B(8,12, 4) .

Найти

координаты: а) середины отрезка AB; б) точек, делящих

отрезок на три равные части.

 

 

 

6.

Вектор a

образует углы 60

и 45

с осями

Ox и Oz соответственно. Найти: а) угол , который образует

47

вектор

a с

осью Oy,

если известно,

что

он тупой; б)

координаты вектора a , если

 

a

 

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II уровень

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

В треугольнике ОАВ даны векторы a OA, b OB .

Найти векторы MA, MB, MO , где М – середина стороны АВ.

2.

Найти координаты вектора a , образующего равные

 

 

 

 

 

 

острые углы с осями координат, если

a

2 3 .

 

3.

Два

вектора

a 2, 3, 6

и

b 1, 2, 2

приложены к одной точке. Определить координаты вектора c , направленного по биссектрисе угла между векторами a и

 

 

3

 

 

b , при условии, что

c

42 .

4. Три силы M , N и

P , приложенные к одной точке,

имеют взаимно перпендикулярные направления. Определить величину их равнодействующей R , если известно, что

M 2 H, N 10 H и P 11 H .

5. Зная одну из вершин C 5, 1,1 треугольника ABC и

векторы AB 0,3,5 , BC 4, 2, 1 совпадающие с его

сторонами, найти остальные вершины и вектор CA .

Задания для самостоятельного решения

1. Точка A 3,1,5 является вершиной треугольника

ABC, векторы AB 1, 1, 2 , BC 2, 2,3 совпадают с его

сторонами. Найти остальные вершины и вектор AC .

2. Найти длину стороны BC треугольника ABC, если

AB 1, 1, 2 , AC 7, 2, 4 .

 

 

3. Векторы AB 2, 6, 4 и

AC 4, 2, 2

совпадают

со сторонами треугольника АВС.

Определить

координаты

48

векторов, приложенных к вершинам треугольника и совпадающих с его медианами АМ, BN, CP.

4. Векторы BC a

и CA b

служат сторонами

треугольника ABC. Выразить через a и b

векторы AM , BN

иCK , совпадающие с медианами треугольника ABC.

5.Вектор a образует с осями Ox и Oy углы в 45 . Найти: а) угол, который образует вектор a с осью Oz; б) координаты

вектора a , если a 2 .

Ответы. 1. B 4, 0, 7 , C 6, 2,10 , AC 3,1,5 . 2. 7.

3.AM (3, 4, 3) , BN (0, 5,3) , CP ( 3,0,1) .

4.AM 12 a b, BN a 12 b , CK 12 b a .

5.а) 90 ; б) (2, 2, 0) .

2.2. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением ненулевых векторов a и b

называется число

 

 

a,b

 

a

 

 

 

b

 

cos a,b

 

a

 

прab

 

b

 

прb a .

(2.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойства скалярного произведения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a, b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R ;

1)

 

a,b

 

 

b, a

 

 

; 2) a,b

 

 

 

 

 

 

 

a,b

 

 

,

 

 

3) a b, c a,c b,c ;

 

 

 

 

 

 

4) a, a

 

a

 

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

векторы

 

 

a a1 , a2 , a3

и

 

 

b b1 ,b2 ,b3 заданы

координатами в ортонормированном базисе, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a,b a1b1

a2b2

a3b3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.8)

C помощью скалярного произведения можно находить:

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) длину вектора

 

a

a,a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

49

2)

косинус угла между векторами

 

 

 

cos a,b

a,b

, a,b 0 a b

(2.9)

 

 

 

 

 

a

 

b

 

 

 

 

 

3)

проекцию одного вектора на направление другого

 

 

пр b a,b ,

пр a a,b .

 

 

a

 

 

 

a

 

b

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Физический смысл скалярного произведения: если вектор F представляет постоянную силу, точка приложения которой

перемещается из начала в конец вектора S , то работа А этой силы определяется равенством A F, S .

Пример 1. Определить длины диагоналей параллелограмма,

построенного на векторах

a 3m n и b 2m n ,

где m и n

таковы, что

 

m

 

 

 

n

 

1, m,n 600 .

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Диагонали

параллелограмма совпадают с

векторами

 

c a b 5m 2n и

d a b m .

Так как

m, n m n cos m,n 1 1 12 12 , то

c 5m 2n 5m 2n 2 25 m, m 20 m, n 4 n, n25 10 4 39, d m 1.

Пример 2. Найти угол между векторами a и b если:

а) a m n , b m 2n , m 3, 4, 2 , n 2, 3, 2 .

б) a 2m 3n , b 4m 3n , m 3, n 4, m,n 3 .

Решение. Косинус угла между векторами определяется по формуле (2.9).

а) Найдем координаты векторов a и b :

a m n 3 2, 4 3, 2 2 1,1,0 ,

50

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]