17 Точечные и интервальные оценки.

Оценки неизвестных параметров бывают двух видов - ТОЧЕЧНЫЕ И ИНТЕРВАЛЬНЫЕ.   ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА - оценка имеющая конкретное числовое значение. Например, среднее арифметическое:

X = (x₁+x₂+...+x_n)/n,

     где: X - среднее арифметическое (точечная оценка МО);       x₁,x₂,...x_n - выборочные значения; n - объем выборки.       ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА - оценка представляемая интервалом значений, внутри которого с задаваемой исследователем вероятностью находится истинное значение оцениваемого параметра. Интервал в интервальной оценке называется ДОВЕРИТЕЛЬНЫМ ИНТЕРВАЛОМ, задаваемая исследователем вероятность называется ДОВЕРИТЕЛЬНОЙ ВЕРОЯТНОСТЬЮ. В практике статистических вычислений применяются стандартные значения доверительной вероятности: 0,95, 0,98 и 0,99(95%, 98% и 99% соответственно). Например, интервальная оценка МО (3,8) при доверительной вероятности 0,95. Это означает, что МО лежит в пределах от 3 до 8 с вероятностью 0,95, следовательно вероятность того, что МО меньше 3 или больше 8 не превышает 0,05.       Очевидно, что чем выше доверительная вероятность, тем выше точность оценки, но шире доверительный интервал. Отсюда следует - ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА (ширина доверительного интервала равна 0) СОВПАДЕТ С ЛЮБЫМ ЗАДАННЫМ ЗНАЧЕНИЕМ ИЛИ ОЦЕНИВАЕМЫМ ПАРАМЕТРОМ РАВНА 0.      Таким образом, точечная оценка имеет смысл лишь тогда, когда приведена характеристика рассеяния этой оценки (дисперсия). В противном случае она может служить лишь в качестве исходных данных для построения интервальной оценки. Вычисление интервальной оценки рассмотрим на примере интервальной оценки МО для случайной величины подчиняющейся нормальному закону распределения. Границы доверительного интервала определятся по формулам:

X_min = X - T(ν,P)*S/(n)^1/2

X_max = X + T(ν,P)*S/(n)^1/2

 где: X_min, X_max - нижняя и верхняя границы интервала;      X - среднее арифметическое (точечная оценка МО);      n - объем выборки;      T(ν,P) - поправочный коэффициент, называемый T-статистика, величина которого определяется значением задаваемой доверительной вероятности p и числом степеней свободы ν (ν=n-1);  S = [(x₁ - X)² + (x₂ - X)² + ... + (x_n - X)²]^1/2  - корень квадратный из оценки дисперсии случайной величины X

 ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ СТАТИСТИКИ - число независимых случайных величин, по которым вычисляется данная статистика. Например, при вычислении среднего арифметического все случайные величины в выборке x₁,x₂,...,x_n независят друг от друга. В оценке S из n отклонений вида (x_i - X)² независимы только n-1 (т.к. в формуле присутствует X, то по любому набору n-1 отклонений вычисляется n-ое).

18.Понятие доброкачественной оценки

Законы распределения случайных величин и их числовых характеристик на практике устанавливают на основе опытов, число которых всегда ограничено. Поэтому необходимо выявить устойчивые признаки, присущие исследуемому явлению, и случайные, проявляющиеся только в конкретной серии наблюдений из-за ограниченного объема экспериментальных данных.

Часто по экспериментальным данным требуется определить «наилучшие» оценки для неизвестных параметров, а также произвести их оценку точности. Оценки, обладающие этими свойствами, называют доброкачественными. Они и являются наилучшими в вероятностном смысле.

Существуют три метода нахождения оценок: метод моментов, при котором математическое ожидание в формулах для начальных и центральных моментов заменяют на среднее арифметическое; метод максимального правдоподобия; метод наименьших квадратов.

Иногда требуется сравнить оценки, полученные данными способами, и выбрать из них наилучшую. В этом случае можно сравнивать средние квадратические уклонения оценок от истинных значений параметров. Для описания свойств оценок часто используют понятие смещения, под которым понимают величину, являющуюся систематической ошибкой параметра а.

Среднее квадратическое уклонение связано со смещением и дисперсией оценки. В случае отсутствия систематической составляющей в неравенстве сравнивают дисперсии оценок. Для каждого распределения необходимо находить свои наилучшие оценки. Например, при nизмерениях одной и той же величины для нормального распределения наилучшей оценкой истинного значения является среднее арифметическое х.

В случае выборок большого объема оценки можно сравнивать, используя так называемый асимптотический подход, который основан на сравнении рассеиваний распределений величин при больших n. Предельные теоремы позволяют определить вид предельных распределений.

Рассмотренные методы сравнения оценок можно распространить и на случай многомерных случайных величин. Тогда в неравенстве сравниваемыми величинами будут матрицы, представляющие собой вторые центральные моменты. В частных случаях используют неравенства определителей корреляционных матриц, которые называют обобщенными дисперсиями.