2.6. Метод контурных токов [л-4, с.25-228]

Введем новые переменные – контурные токи I_IиI_II.

- вектор-столбец контурных токов.

Через контурные токи определяются токи в ветвях

(3)

М_α– первая матрица инциденций, составленная для дерева схемы (дерево выделено на схеме).

Обратная матрица М_αможет быть легко определена по схеме (без процедуры обращения матрицыМ_α). Столбцы матрицысодержат пути по ветвям дерева от каждого узла к балансирующему. Если направление движения от узла к балансирующему не совпадает с выбранным направлением в ветви, то ставится +1, иначе -1. Можно говорить наоборот – от балансирующего к каждому, тогда если направление движения совпадает, то +1 иначе -1.

Мα=	у з л ы	ветви					Мα=	в е т в и	Узлы
									1	2	3	4
		1	1	1	0				1	0	1	1
		-1	0	0	1				0	0	-1	0
		0	-1	0	0				0	0	0	-1
		0	0	-1	0				1	1	1	1

Можно проверить

Матрица контурных сопротивлений Z_ктакже может легко определена по схеме. МатрицаZ_к– квадратная, порядок равен числу контуров. Диагональные элементы равны суммам сопротивлений ветвей входящих в соответствующие контуры, а подиагональные элементы равны сопротивлениям ветвей, общих для двух соседних контуров. МатрицаZ_к– симметричная, недиагональные элементы берутся со знаком “-”.

=	I	z1+z2+z4+z5	-z1-z4
	II	-z1-z4	z1+z2+z4+z6

Итак, по методу контурных токов сначала составляется и решается система уравнений относительно контурных токов I_к, порядок равен количеству независимых контуров.

(4)

Найденные значения контурных токов I_кподставляются в выражение (3) и вычисляются искомые токи в ветвяхI_b.

Целесообразность применения метода узловых напряжений или метода контурных токов определяется в зависимости от физических условий задачи, от принятых допущений, которые сейчас мы не рассматриваем. В одних случаях удобен первый метод, в других – второй. Наибольшее же распространение получил метод узловых напряжений, он реализован в большинстве промышленных программ для расчетов режимов электрических систем.

Отметим также следующее.

Элементами ряда матриц в наших задачах являются комплексные числа (а+jb) или (а-jb), что значительно увеличивает расчеты. Основное расчетное время идет на решение систем уравнений (2) и (4). Если уравнения линейны, то они решаются проще известными методами. На самом деле процессы, происходящие в электрической системе имеют нелинейный характер. Приведение уравнений к линейному виду является упрощением задач и используется, когда не требуется точного решения задач.

Далее в разделе 2 мы познакомимся с наиболее известными в широком применении методами решения систем линейных и нелинейных уравнений.

Инженерные методы узловых напряжений (УН) и контурных токов (КТ) позволяют сформировать уравнения (модель) состояния электрической системы, которые затем решаются известными в математике численными методами. Вообще решение многих задач заключается в формировании систем уравнений и вычислении их корней. Поэтому инженеру необходимо знать и уметь применять численные методы решения систем уравнений.