Федеральное агентство по образованию

Иркутский государственный технический университет

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКИ

Конспект лекций дпя студентов,

обучающихся по направлению “Электроэнергетика”

Иркутск 2009

Раздел 1. Применение матричной алгебры и теории графов

в электроэнергетике

Тема 1.1. Некоторые сведения из теории матричной алгебры

Классификация матриц

Система m nчисел, действительных или комплексных, расположенных в прямоугольной таблице изmстрок иnстолбцов называется матрицей

.

где a_ij– элементы матрицы;

i= 1, 2, 3,….,m– номера строк;

m– число строк в матрице;

j= 1, 2, 3,….,n– номера столбцов;

n– число столбцов.

Для матрицы часто используется сокращенная запись , гдеm·n– размерность матрицы.

Если m=n(m≠ 1,n≠ 1), то матрица называетсяквадратной.

Если m≠n(m≠ 1,n≠ 1), то матрица называетсяпрямоугольной.

Если m=n= 1, томатрица - скаляр.

Если m= 1, аn≠ 1, то матрица называетсявектор-строкой

.

Если n= 1, аm≠ 1, то матрица называетсявектор-столбцом

.

Матрица нулевого порядка смысла не имеет.

Квадратная матрица, у которой диагональные элементы не равны нулю, а все недиагональные элементы равны нулю, называются диагональной

Диагональная матрица, у которой все ненулевые элементы равны единице, называется единичной и обозначается Е

.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается через О

.

Определитель

Определитель (или детерминант) является важной числовой характеристикой квадратной матрицы, обозначается через илиdetAи вычисляется по известным правилам. Классический способ вычисления(первый способ)

,

где q₁,q₂,…,q_n– произвольная перестановка вторых индексов;

П – число беспорядков в перестановке вторых индексов.

Число слагаемых произведений равно числу возможных перестановок вторых индексов, т.е. равно n!, гдеn- порядок квадратной матрицы.

Пример:

	Возможные перестановки вторых индексов	Число беспорядков
	1) 1 2 3	П=0
	2) 1 3 2	П=1
	3) 2 1 3	П=1
	4) 2 3 1	П=2
	5) 3 1 2	П=2
	6) 3 2 1	П=3

Число слагаемых произведений при вычислении Δ возрастает стремительно с увеличением n:

n= 2 2! = 2

n= 3 3! = 6

n= 4 4! = 24

n= 5 5! = 120

n= 6 6! = 720

Вычислять Δ классическим способом сложно и поэтому применяют другие способы.

Вычисление Δ для матрицы второго порядка (n= 2).

Два частных способа вычисления Δ для матриц только третьего порядка (n= 3).

	Слагаемые произведения со знаком +
	Слагаемые произведения со знаком -

2)

Указанные схемы вычисления Δ для матриц второго и третьего порядков основаны на использовании геометрического расположения элементов в матрицах, что неприменимо для матриц более высокого порядка.