- •Федеральное агентство по образованию
- •Определитель
- •Миноры и алгебраические дополнения
- •Второй способ вычисления определителя
- •Третий способ вычисления определителя
- •Действия с матрицами
- •Транспонированная матрица
- •Обратная матрица
- •Алгоритм получения обратной матрицы
- •2.2 Геометрический образ электрической сети
- •2.3. Уравнения законов Ома и Кирхгофа в матричной форме
- •2.4. “Прямой ” расчет токораспределения в электрической сети
- •2.5. Метод узловых напряжений для расчета токораспределения
- •2.6. Метод контурных токов [л-4, с.25-228]
- •Раздел 2. Методы решения систем алгебраических уравнений
- •Тема 2.I методы решения систем линейных уравнений
- •Метод обратной матрицы
- •Метод Крамера
- •Метод Гаусса
- •Метод простой итерации
- •Достаточное (но не необходимое) условие сходимости итерационного процесса
- •Метод Зейделя
- •Преимущества и недостатки итерационных методов
- •Тема 2.2 решение систем нелинейных уравнений Понятие о системах нелинейных уравнений и методах их решения
- •Решение нелинейного уравнения методом Ньютона
- •Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона
2.2 Геометрический образ электрической сети
Схема замещения электрической сети (или системы) может быть представлена как граф. Вершинами графа при этом являются узлы электрической сети, а ветвями - элементы электрической сети (линии и трансформаторы). Граф сети характеризует ее конфигурацию. Если каждой ветви задать направление, то такой граф называется направленным. Для аналитического представления графа сети необходимо пронумеровать узлы, ветви и независимые контуры, выбрать положительное направление обхода каждого контура (рис.4).
Рис.4. Граф электрической сети
Граф называется полным, если все вершины (узлы) графа соединены (связаны) ветвями друг с другом. Число ветвей в полном графе определяется по формуле , гдеR– число узлов. В таблице 1 приведено число ветвей в полных графах с различным числом узлов.
Число узлов R |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
10 |
100 |
1000 |
Число ветвей n |
1 |
3 |
6 |
10 |
15 |
45 |
4950 |
49950 |
Минимально связанный граф, содержащий в себе всю совокупность вершин графа, называется деревом. Число ветвей в дереве n=R-1. В сложном графе (n>R-1) можно наметить несколько деревьев. На заданном графе жирными линиями выделено одно из возможных деревьев. Ветви, не вошедшие в дерево и дополняющие его до заданного графа, называются хордами. Хорды образуют с ветвями дерева контуры. Дерево контуров не содержит. При расчетах используют такие понятия:
число независимых узлов (R-1);
число независимых контуров, определяемое по формуле к=n-(R-1)=n-R+1.
Направленный граф схемы однозначно описывается двумя матрицами инциденций (или соединений). Зная эти матрицы можно нарисовать граф.
Первая матрица инциденций М(узлов и ветвей) представляет собой таблицу, каждая строка которой соответствует одному из узлов, а каждый столбец одной из ветвей. В клетках таблицы проставляется “0”, если ветвь не связана с узлом, которому соответствует строка. Если ветвь связана с узлом, то ставится “+I” или “-I” в зависимости от выбранного направления ветви. Если данный узел является началом ветви, то ставится “+I”, если же ветвь входит в данный узел, который считается концом этой ветви, то ставится “-I”.
-
ветви
1
2
3
4
5
6
у
1
-1
-1
-1
0
0
0
М =
з
2
+1
0
0
-1
0
0
л
3
0
+1
0
0
-1
0
ы
4
0
0
+1
0
0
-1
4 х 6
5
0
0
0
+1
+1
+1
Информация, которая содержится в последней 5-й строке, является избыточной. Схема имеет только (R-1) независимый узел, поэтому последняя строка, соответствующая узлуR, который называется балансирующим, должна быть отброшена. Отброшенную избыточную строку легко можно восстановить, если известны (R-1) строк.
-
ветви
к
о
1
2
3
4
5
6
N=
т
I
-1
0
0
-1
1
0
у
II
1
0
-1
1
0
1
2 х 6
р
ы
Вторая матрица инциденций N определяет связь между ветвями и контурами. Для сложной электрической сети можно выбрать разные сочетания независимых контуров, поскольку общее число контуров в графе больше. Информация, записываемая для большего числа контуров по сравнению с числом независимых контуров, является избыточной.
Необходимо знать, что выбираемое сочетание независимых контуров должно обязательно содержать все ветви графа. В матрице N строки соответствуют независимым контурам, а столбцы ветвям. Если ветвь не входит в рассматриваемый контур, то на пересечении соответствующих строки и столбца ставится “0”. Если ветвь входит в рассматриваемый контур, то ставится “+1” или “-1”.“+1” соответствует совпадению направления ветви и направления обхода контура. “-1” ставится в случае противоположных направлений у ветви и контура.