Решение нелинейного уравнения методом Ньютона

Рассмотрим применение метода Ньютона сначала для решения одного нелинейного уравнения f(х)=0, гдеf(х) - непрерывно дифференцируемая функция.

Функцию f(х) можно разложить в ряд Тейлора в окрестностях произвольно взятой точких⁽⁰⁾

. (1)

Если в многочлене (1) отбросить производные высших порядков и оставить только линейные члены, то получим

, (2)

где - называется поправкой.

Эта операция называется линеаризацией нелинейного уравнения.

Из линеаризованного уравнения (2) можно выразить поправку

(3)

и вычислить новое (первое) приближение к корню

. (4)

Если подставить значение вf(х), то получим невязку. По величине невязкиможно судить о близостик корню. Если невязказначительно отличается от нуля, то требуется вычислять новую поправку, подставляя в линеаризованное уравнение (2) значение. Вычислительная процедура повторяется до тех пор, пока очередная невязка не станет достаточно близкой к нулю.

Таким образом, суть метода Ньютона заключается в линеаризации нелинейного уравнения и решении полученного линейного уравнения на каждой итерации. Значение корня линейного уравнения является очередным приближением к корню решаемого нелинейного уравнения.

Графическая иллюстрация применения метода Ньютона для решения нелинейного уравнения f(х)=0 дана на рисунке.

Как видно из рисунка, к действительному корню нелинейного уравнения приближаемся последовательно от заданного начального приближениях⁽⁰⁾.

Алгоритм решения нелинейного уравнения f(х)=0 методом Ньютона состоит из следующих действий:

1. Задаем начальное приближение х⁽⁰⁾.

2. Вычисляем невязку f(х⁽⁰⁾).

3. Определяем - значение производной (как тангенс угла, образованного касательной к кривой в точке В с осьюх).

4. Вычисляем поправку ∆х⁽¹⁾(как катет АС прямоугольного треугольника АВС).

.

5. О

   f(х)

   пределяем новое приближениех⁽¹⁾=х⁽⁰⁾-∆х⁽¹⁾.

6. Вычисляем невязку f(х⁽¹⁾) и проверяем условиеε.

Если условие выполняется, то вычислительный процесс заканчивается, в противном случае повторяем действия начиная с 3-го.

Примечание: 1. Значение ε задается в каждом конкретном случае и не должно быть равным нулю, так как итерационный метод не позволяет определить абсолютно точное значение корня (это обычно практически не требуется). Неоправданное снижение значения ε не рекомендуется, поскольку при этом увеличивается число итераций.

2. Если у функции f(х)=0 имеется несколько корней, то метод Ньютона позволяет найти вещественный корень и причем только один в области притяжения которого находится начальное приближение.

х

Пример: нужно решить нелинейное уравнение 7х³+5х-1=0 (ε = 0,01)

0итерация1.х⁽⁰⁾=0 Зададимх⁽⁰⁾=0

2. |f(х⁽⁰⁾)=1|>ε | Начальная невязкаf(х⁽⁰⁾)=1| ≥ε

1итерация1.

2.

3. х⁽¹⁾=х⁽⁰⁾-∆х⁽¹⁾=0-(-0,2)=0,2

4. f(x⁽¹⁾)=7∙0,2³+5∙0,2-1=0,056 |0,056| > ε

2итерация1.

2.

3. х⁽²⁾=х⁽¹⁾-∆х⁽²⁾=0,2-0,01=0,19

4. f(x⁽²⁾)=7∙0,19³+5∙0,19-1=0,048+0,95-1=0,002|0,002|<ε

Результаты расчетов целесообразно представить в следующей таблице

№ итерации (к)	тангенс	∆х(к) поправка	х(к) приближение	f(х(к)) невязка
0	-	-	0	-1
1	5	-0,2	0,2	0,056
2	5,84	0,01	0,19	0,002