Миноры и алгебраические дополнения

Минором М_ijэлемента а_ijматрицы А, называется определитель матрицы (n-1)-ого порядка, полученной из матрицы А путем вычеркиванияi-й строки иj-го столбца.

Алгебраическим дополнением называется минор, вычисляемый по формуле:

.

Второй способ вычисления определителя

Определитель матрицы любого порядка равен сумме произведений элементов любой строки (или любого столбца) на их алгебраические дополнения:

по i-й строкеi=1, 2, …,n

по j-му столбцуj=1, 2, …,n

Пример:

Дана матрица . Надо вычислить Δ.

По строке:

или

или

По столбцу:

или

или

Обычно для вычисления Δ по 2-му способу выбирается строка или столбец, которые содержат больше нулевых элементов, чтобы уменьшить число слагаемых произведений. Согласно схеме вычислений определителя матрицы n-го порядка по 2-му способу необходимо найти определители для матрицы (n-1)-го порядка. Очевидно, что для их нахождения в свою очередь можно использовать ту же схему вычислений и перейти к нахождению определителей матрицы (n-2)-го порядка. И так далее до тех пор, пока не дойдет до матрицы 3-го или 2-го порядка, для которых мы уже умеем вычислять определители.

Третий способ вычисления определителя

Самый лучший способ вычисления определителя для матриц большой размерности и если элементы являются нецелыми числами, заключается в преобразовании данной квадратной матрицы к треугольному виду, т.е. к такому виду, когда у полученной после преобразования матрицы все элементы сверху или снизу главной диагонали являются нулевыми

.

Определитель искомой квадратной матрицы А равен произведению диагональных элементов полученной треугольной матрицы

.

Преобразование квадратной матрицы к треугольному виду рассмотрим позднее («прямой ход» методом Гаусса).

Действия с матрицами

1. Сумма и разность матриц.

Могут складываться и вычитаться матрицы только одинакового типа.

Из сложения матриц вытекают следующие свойства:

1) А+(В+С)=(А+В)+С;

2) А+В=В+А;

3) А+0=А.

2. Умножение матрицы на скаляр.

Отсюда: 1) 1А=А; 2) 0А=0;

3) α (β А) = (α_β) А; 4) αА + βА = (α+β) А;

5) α (А+В) = αА + αА;

3. Умножение матриц А * В = С.

Перемножать матрицы можно только в том случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, т.е. g=p, а число строк первой матрицы и число столбцов второй матрицы могут быть любые, т.е.m≠n. Результатом будет матрица С размерностьюmn, элементы которой

Для вычисления элемента, стоящего в i-й строке иj-м столбце произведения двух матриц, нужно элементыi-ой строки первой матрицы умножить на соответствующие элементыj-го столбца второй матрицы и полученные произведения сложить.

Свойства:

1. А(ВС)=(АВ)С;

2. α(АВ)=(αА)В;

3. (А+В)=АС+АВ.

Запомнить, что в общем случае 4) АВ≠ВА.

Пример:

В тех частных случаях, когда АВ=ВА, матрицы А и В называются перестановочными. Например, единичная матрица Е перестановочна с любой матрицей А того же порядка.

АЕ=ЕА=А.

Единичная матрица Е играет роль единицы при умножении.