2.3. Уравнения законов Ома и Кирхгофа в матричной форме

Установившиеся режимы в электрической системе описываются законами Ома и Кирхгофа или вытекающими из них уравнениями узловых напряжений и контурных токов.

Запишем основные матрицы, используемые при расчетах режимов в электрической системе. Будем помнить, что комплексные величины обозначаются точкой сверху.

1. Вектор-столбец токов в ветвях графа сети 2. Вектор-столбец узловых токов

3. Матрица сопротивлений ветвей графа является диагональной матрицей, если недиагональные элементы равны нулю при отсутствии взаимоиндуктивности между ветвями. Диагональные элементы равны сопротивлениям соответствующих ветвей.

		ветви
Zb=	в е т в и		где - комплексное сопротивлениеi-й ветви

Произведение матрицы сопротивлений ветвей Z_bна матрицу токов в ветвяхпозволяет получить матрицу падений напряжения в сопротивлениях ветвей

Zb∙Ib=

или в общем виде

- закон Ома в матричной форме при отсутствии ЭДС в ветвях.

Умножим первую матрицу инциденций Мна вектор-столбецветвей графа сети

МIb=

Первый элемент матрицы произведения есть не что иное как алгебраическая сумма токов, проходящих к первому узлу. Эта сумма равна узловому току, т.е. . То же самое справедливо для остальных элементов матрицы произведения. Следовательно, можно записать

- первый закон Кирхгофа в матричной форме.

Умножим вторую матрицу инциденций Nна матрицу падений напряжений в ветвях.

N=	I
	II

Первый элемент матрицы есть не что иное, как сумма падений напряжений при обходе по ветвям первого контура. Мы знаем, что эта сумма при отсутствии ЭДС в ветвях равна 0, т.е. - второй закон Кирхгофа для первого контура.

Следовательно, второй закон Кирхгофа в матричной форме

или .

2.4. “Прямой ” расчет токораспределения в электрической сети

Заключается в том, что составляется система линейных уравнений по первому и второму законам Кирхгофа и решается известным Вам методом:

число уравнений (R– 1) + (n–R+ 1) = n

Расчет называется “прямым”, потому что токи вычисляются без каких-либо предварительных преобразований уравнений первого и второго законов Кирхгофа. “Прямой” способ обычно не применяется, так как не очень сложные предварительные преобразования позволяют получить эквивалентную систему уравнений с меньшим числом уравнений и более однородных по виду, что облегчает численное решение системы. Это достигается при использовании методов узловых напряжений и контурных токов. Отметим, что, как правило, при расчетах время преимущественно расходуется на решение систем уравнений.

2.5. Метод узловых напряжений для расчета токораспределения

В этом методе токи в ветвях определяются через разность напряжений в узлах. Число узлов в схемах обычно меньше числа ветвей, поэтому порядок решаемой системы будет меньше, чем при определении токов “прямым” способом.

(1)

- система узловых уравнений (2)

Обратная матрица

М^t– транспонированная матрицаМв случае, когда базисный узел системы совпадает с балансирующим.

Базисный узел – это узел, для которого напряжение задается перед расчетом.

Балансирующий узел – это узел, мощность которого равна алгебраической сумме мощностей всех остальных узлов в системе, т.е. он является балансирующим по мощности (здесь проявляется закон единства производства и потребления электроэнергии, сколько выработано, столько и должно быть потреблено).

В случае, если базисный узел не совпадает с балансирующим, то вместо М^tв формуле (1) ставится, которая может быть получена из избыточной первой матрицы инциденций М, т.е. содержащей строку для балансирующего узла, путем вычеркивания строки, отвечающей базисному узлу.

Для определения падений напряжений в ветвях необходимо решить систему узловых уравнений

при наличии ЭДС в ветвях

- матрица узловых проводимостей, может быть определена без расчетов непосредственно из схемы

			1	2	3	4	5
Yу=	у з л ы	1					0
		2			0	0
		3		0		0
		4		0	0		0
							4 х 4

Элементы из главной диагонали равна сумме проводимостей ветвей, подходящих к соответствующему узлу, а недиагональные элементы равны проводимостям ветвей между соответствующими узлами со знаком минус (-).

Матрица Y_у– симметричная.

Итак, по методу узловых напряжений, вначале составляется и решается система уравнений (2) относительно узловых напряжений U^у, затем найденные значенияU^уподставляются в выражение (1) и вычисляются искомые токи в ветвях.