7. Численные методы представления статистического ряда

Графические методы представления однородной совокупности, давая более наглядную картину характера распределения параметра качества, чем таблицы, вто же время не могут быть применены для достоверной оценки качества продукции по результатам контрольной выборки. В этом случае удобно представить статистический материал не графически, а числовыми значениями, которые до некоторой степени отражают существенные характеристики стати- стического ряда — характеристики положения и рассеивания случайной величины.

Важнейшей характеристикой положения случайной величины являетсясредняя арифметическая величина наблюдаемых значений параметра качества (или просто средняя), которую для характеристики выборки будемназывать, выборочной средней арифметической и обозначать

через ^x . Если в результате п измерений получены[1], значения x₁,x₂, ..., х_n, то

1 1 ⁿ

^{x  }^x₁ ^x₂ ^{... x}_n ^{ }

^{n n} i 1

x_i .

(7.1)

Пример 1. Есливзять пять первых значенийпробивного напряжения, т.е. 179,180,181,182, 183,то в этом

n

примере n=5 и

арифметическая

_^x_i ^905 . Для данной выборки средняя

i1

x 905 : 5 181 B.

В случае статистического ряда (когда значению параметра соответствует какая-либо частота) средняя арифметическая величина вычисляется по формуле:

где

k

n  _m_i .

i 1

₁

x  

n

k



i1

x_im_i ,

(7.2)

В этом случае среднюю называют средней взвешенной.

Пример 2.Для упорядоченного ряда, числоинтервалов k=32:

^{x 1 }^{179 1180 1... 209 2 210 1}^{31196 194.975 B.}

160 160

Аналогично вычисляется средняя арифметическая интервального ряда с той только разницей, что в качестве значения параметраследует принимать середины интервалов:

^{x 1 }^{17811813 ... 2085 2111}^{31192 194.95B.}

160 160

Вследствие различной ширины интервалов рассматриваемых рядов обе средние частично не совпадают.

Следует подчеркнуть, что средняя только в том случае является обобщающей характеристикой, когда она применяется к однородной совокупности статистического материала,

Кроме важнейшей характеристики положения — средней — при анализе и контроле качества приходится встречаться и с другими характеристиками положения, в частностимедианой имодой случайной величины.

Если полученные при измерениях значения расположить в возрастающем или убывающем порядке, томедианой будет значение Me, занимающее серединное значение в ряду. Таким образом, медиана — это значение

параметра, которое делит упорядоченный ряд на две равные по объему группы. При нечетном числе измерений, т. е. при n

=2i+1, значение параметра для случая i+1 будет медианным. При четном числе измерений(2i) медианой является средняя арифметическая двух значений, расположенных в середине ряда.

Таким образом, формулы для вычисления медианы имеют следующий вид:

Me x_i 1

для случая нечетного числа измерений;

^{Me }^x_i ^x_{i 1} ^{/ 2}

для случая четного числа измерений.

(7.3)

(7.4)

Пример 3. Возьмём пять первых значений пробивного напряжения (х₁=179, х₂=180, х₃=181, х₄=182, х₅=183),т.е. нечётное число измерений, расположенных в возрастающем порядке. Находим для зтих пяти значений медиану: (2i+1)=5, откуда 2i=4,i=2. По формуле (2.5) получим

Me x_i1 x_21 x₃ 181 B.

Если взять только четыре первых значения пробивного напряжения (х₁=179,х₂=180,х₃=181,х₄=182), т. e. четное число измерений,то 2i=4,i=2. По формуле (7.4),

_{Me }x_i x_{i1 }x₂ x_{3 }180 181 _{180.5B.}

2 2 2

Значение медианы легко определяется графически с помощью кумулятивной кривой (см. рис. 6.3). Так как по оси ординат отложены накопленные частоты, то, разделив отрезок ординаты, соответствующий 100% наблюдений, пополам и восстановив изего середины перпендикуляр, мы получим медиану геометрически как абсциссу точки пересечения перпендикуляра с кумулятивной кривой.

Модой случайной величины называется значение параметра, которое наиболее часто встречается в данном ряду. Условимся обозначать моду через Мо. Для дискретного ряда

22

мода определяется по частотам наблюдаемых значений параметра качества и соответствуют значению параметра с наибольшей частотой.

В случае непрерывного распределения с равными интервалами модальный (т.е. содержащий моду) интервал определяется по наибольшей частоте; в случае неравных интервалов - по наибольшей плотности. Плотность вычисляется как отношение частоты к продолжительности интервала.

Средние величины, характеризуя однородную совокупность одним числом, не учитывают рассеивание наблюдаемых значений параметра качества. Для отображения рассеивания в математической статистике применяют ряд характеристик. Самый простой из них являетсяразмах R. Размах представляет собой величину неустойчивую, зависящую от случайных обстоятельств и поэтому применяемую, как правило, в качестве приблизительной оценке рассеивания. Однако, какбудет показано ниже, размах бывает очень удобно применять в контрольных картах. Размах R сравнительно легко вычисляется как разность между наибольшим и наименьшем значениями ряда наблюдений:

^{R = x}max ^{- x}min (7.5)

Другая статистическая характеристика рассеивания наблюдаемых значений показывает, как тесно группируются отдельные значения вокруг средней арифметической или как они рассеиваются вокруг этой средней. Так как алгебраическая сумма отклонения отдельных значенийx_i от средней арифметическойx равна нулю и непригодна в качестве меры рассеивания, за меру рассеивания принимают сумму квадратов отклонений отдельных значений от средней арифметической, делённую на число наблюдений, уменьшенное на единицу. Эту

меру называют выборочной дисперсией и обозначают через s². Для простой статистической совокупности[1-4],

n ₂

 

_x_i x

_s² _i1

n 1

(7.6)

При наличии частот m_i

n ₂

^xi ^{ x}

• m_i

где

k

.

n _m_i

i1

_s² _i1

n 1

(7.7)

Вместо выборочной дисперсии s² часто применяют выборочное стандартное отклонение s. Оно имеет ту же

размерность, что и средняя арифметическая ^x . Выборочное стандартное отклонение для простой статистической совокупности и при наличии частот определяется соответственно по следующим формулам:

s  ;

(7.8)

s  ;

(7.9)

Отношение стандартного отклонения к средней арифметической, выраженное в процентах, называют коэффициентом вариации V:

V ^s 100

x

(7.10)

Коэффициент вариации, который также используется как статистическая характеристика рассеивания, показывает относительное колебание отдельных значений около средней арифметической. Коэффициент вариации, являясь безразмерным, удобен для сравнения рассеивания случайной величины с её средним значением.