Лекция 3

8. Математическое ожидание и дисперсия

Рассмотрим такое понятие в теории вероятностей какматематическое ожидание. Математическое ожидание играет роль характеристики положения случайной величины в генеральной совокупности, и поэтому его иногда называют генеральным средним арифметическим значением случайной величины или центром группирования значений случайной величины в генеральной совокупности.

Рассмотрим случайную величину X, которая может принимать дискретные положенияx₁ ,х₂ ,х₃ ,..,х_i ,....х_n с соответствующими вероятностямиp₁ ,р₂ ,р₃ ,…p_i ,…,p_n . Намтребуется охарактеризовать каким-то числом положение значения случайной величины на оси абсцисс с учетом того, что эти значения имеют различные вероятности. Для этой цели воспользуемся формулой для средней взвешенной, где каждое значениех_i при усреднении должно учитываться с «весом», пропорциональным вероятности этого значения. Тогдагенеральное среднее арифметическое значение случайной вели- чины X, которое обозначимМ(х), может быть подсчитано по формуле

x p x p  x p

n

^xi ^pi

M ( x) 

1 1 2 2

n

...

n n _i 1 _,

(8.1)

p₁ 

n

p₂ ... p_n

^pi

i 1

или, учитывая, что

_p_i 1,

i 1

n

M ( x) _x_i p_i

i 1

(8.2)

Вычисленная выборочная средняя всегда будет содержать элемент случайности, вто время как математическое ожидание, представляющее среднее значение случайной величины в генеральной совокупности, является величиной постоянной для данной генеральной совокупности. При боль- шом количестве наблюдаемых значений выборочная средняя приближается к математическому ожиданию.

Дисперсию случайной величиныX в генеральной совокупности, которую будем обозначать через σ², подсчитывают по следующим формулам:

для случая, когда значения х_i в генеральной совокупности не повторяются,

_n 2

_[M (x) x_i ]

 ² (x) ^i1

n

(8.3)

для случая, когда значения х_i повторяются,

_n 2

_[M (x) x_i ]

m_i

где

n

n _m_i

i1

 ² (x) ^i1

n

(8.4)

Кроме характеристик положения и рассеивания нам в дальнейшем придется столкнуться с рядом характеристик, каждая из которых описываетто или иное свойство распределения. В качестве этих характеристик чаще всего применяются так называемыецентральные моменты.

Практический интерес представляют второй, третий и четвертый центральные моменты. Второй центральный момент представляет собой не что иное, как дисперсию.

Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии распределения:

n

_m_i (x  x_i )

3

i 1



M

^З n

^mi

i1

(8.5)

Если распределение симметрично относительно его среднего значения,то взвешенные по соответствующим частотам кубические отклонения значений случайной величины, равноотстоящие от средней арифметической, отличаются только знаками и их сумма равна нулю. Если же распределение асимметрично,то значения параметра, лежащие по одну сторону от средней арифметической, дадут большие кубические отклонения, чем значения, лежащие по другую сторону. Знаки этих отклонений различны. Разность между суммами положительных и отрицательных слагаемых будет отличаться от нуля, являясь положительной или отрицательной. Соответственно этому знак М₃ указывает на отрицательную или положительную асимметрию.

Чтобы получить меру асимметрии в виде отвлеченного числа, позволяющего сравнивать разнородные распределения, третий момент М₃ делят накуб стандартного отклонения σ³. Полученная величина, обозначаемаяА, носит название асим- метрии иликосости распределения:

А = М₃ / σ³ (8.6)

Величина асимметрии дает нам представление о большей или меньшей асимметрии, а знак указывает на ее направление: еслиА>0, то средняя лежит справа от моды (правосторонняя асимметрия); еслиА<0, то средняя лежит слева от моды (левосторонняя асимметрия).

Кроме значения А за меру асимметрии иногда принимают число

а=( x -Мо)/ σ, (8.7)

которое часто называют коэффициентом асимметрии Особенностью симметричных рядов является равенство

трех характеристик — средней арифметической, моды и

медианы: x =Мо=Ме.Поэтомуа для симметричныхраспределений равно нулю.

Четвертый центральный момент М₄ служит для характеристики так называемой крутости,т. е. островершинности или плосковершинности распределения. Это свойство распределения описывается с помощью так называемого эксцесса.

Эксцесс случайной величины X вычисляется по формуле

Эк=М₄ / σ⁴ -3. (8.8)

Число 3 вычитается из отношения М₄ / σ⁴ потому, что для весьма важного и широко распространенного в природе гауссовского закона распределения, с которым мы подробно познакомимся в дальнейшем,М₄ / σ⁴ = 3. Поэтому для гауссовского распределения эксцесс равен нулю. Кривые, более островершинные по сравнению с ним, обладают

положительным эксцессом; кривые более плосковершинные — отрицательным эксцессом.