Лекция 6

13. Диаграмма разброса (поле корреляции)

Диаграмма разброса применяется для исследования зависимости (корреляции) между двумя видами данных. Поэтому диаграмму разброса часто называют полем корреляции. Диаграмма разброса используется также для выявления причинно-следственных связей показателей качества и влияющих факторов при анализе причинно- следственной диаграммы [1].

Так, например, с помощью диаграммы разброса очень удобно наблюдать характер изменения параметров качества во времени при воздействии тех или иных факторов. В этом случае по оси абсцисс откладывают начальные значения

изучаемого параметра качества, например обратный ток p-n- перехода однотипных полупроводниковых структур (Iобр) перед постановкой эксперимента по изучению влияния определенных факторов (например, температуры, влажности) на данный параметр качества. В результате будем иметь упорядоченный ряд значенийx₁ ,x₂ , х₃ , ...,х_п параметра качества полупроводниковых структур в момент времени t=0, которые наносят на ось абсцисс. Замерив значения параметра качества у тех же самых полупроводниковых структур по окончании эксперимента, получим ряд значений параметра качества через времяt=t_i ,представленных в виде упорядоченного рядаy₁ ,у₂ ,…, у_п ,который наносят соответственно на ось ординат. Тогда значение параметра качества каждого изделиядо и после эксперимента будетобозначаться точкой в системе указанных координат. Следовательно, всеп изделий, подвергшихся эксперименту, будут изображаться разбросанными по координатному полюточками. Эта совокупность точек образует диаграмму разброса (поле корреляции) (рис. 13.1). Если разброс значений изучаемого параметра качества составляет несколько порядков, то удобно применять логарифмический масштаб по обеим осям. Если на одну и ту же точку графика попадает несколько значений параметра,то они обозначаются как точка в круге или в нескольких кругах или возле точки проставляется число данных.

Рис. 13.1. Диаграмма разброса Рис. 13.2. Диаграмма

разброса данных табл. 3.8

Диаграмма разброса позволяет наглядно показать характер изменения параметра качества во времени.

Для этого проведем из начала координат биссектрису. Если все точкилягут на биссектрису, тоэто означает, что значения данного параметра не изменились в процессе эксперимента. Следовательно, рассматриваемый фактор (или факторы) не влияет на параметр качества.

Если основная масса точек лежит под биссектрисой, тоэто значит, что значения параметра качества за прошедшее время уменьшились. Если же точки ложатся выше биссектрисы (как в нашем случае на рис. 13.1), то значения параметра за рассматриваемое время возросли.

Проведя лучи из начала координат, соответствующие уменьшению и увеличению параметра на 10, 20, 30, 50, 80%, можнопутем подсчета точек между прямыми выяснить частоту значений параметра в интервалах 0...10%, 10...20% ит. д.

Пример 5. Требуется выяснить влияние термообработки интегральных микросхем (ИС) приТ= 120°С в течение времениt = 24 ч на уменьшение обратного токар - n-перехода (I_обр).

Для эксперимента было взято 25 интегральных схем (п =

25. и замерены значения I_обр (10^-9 А), которые приведены в табл. 13.1.

    1. По таблице находят максимальные и минимальные значения х и у: максимальные значения x=92, y=88; минимальные значения х = 60, у = 57.

    2. На графике (рис. 13.2) на оси абсцисс откладывают значения х, на оси ординат — значения у. При этом длину осей делают почти равной разности между их максимальными и минимальными значениями и наносят на оси деления шкалы. На вид график приближается к квадрату. Действительно, в рассматриваемом случае разность между максимальными и минимальными значениями равна 92 — 60 = 32 для х и 88 — 57

= 31 для у, поэтому промежутки между делениями шкалы можно делать одинаковыми.

3. На график наносятся данные в порядке измерений и точки диаграммы разброса.

4. На графике указываются число данных, цель, наименование изделия, название процесса, исполнитель, дата составления графика и т.д. Желательно также, чтобы при регистрации данных во время измерений приводилась и сопровождающая информация, необходимая для дальнейших исследований и анализа: наименование объекта измерения, характеристики, способ выборки, дата, время измерения, тем- пература, влажность, метод измерения, тип измерительного прибора, имя оператора, проводившего измерения (для данной выборки), и др.

Таблица 13.1 Значения обратного токар - n-перехода до

и после термообработки ИС

Номер ИС	До термо- обработк и, x	После термо- обработк и, у	Номер ИС	До термо- обработк и, x	После термо- обработк и, у
1	68	61	14	75	71
2	71	67	15	73	70
3	65	63	16	69	68
4	78	70	17	73	73
5	75	74	18	73	69
6	85	76	19	83	76
7	86	82	20	70	73
8	84	70	21	68	70
9	74	68	22	79	69
10	65	60	23	78	71
11	78	68	24	78	71
12	92	88	25	73	69
13	60	57

Виды корреляции. С помощью диаграммы разброса можно сравнительно быстро выяснить, имеется ли между двумя рассматриваемыми параметрами корреляционная связь, и, построив методом наименьших квадратов кривую, определить вид этой связи.

Характер корреляционной зависимости, который определяется видом диаграммы разброса, дает представление о том, каким изменениямбудет подвержен один из параметров при определенных изменениях другого. Однако если, как, например, в предыдущем случае (рис. 13.1 и 13.2), для выяснения характера изменения значений параметра качества достаточным было бы число данных порядка 10, то в случае выяснения их корреляционной связи число должно быть

значительно больше. Если данных мало, четкую зависимость установить трудно, поэтому желательно, чтобы число пар данных было не меньше 30. Так, на диаграмме рис. 13.3 виден не только характер измененийу в зависимости от изменения х, но и определяется форма связи рассматриваемых признаков в виде уравнения регрессии. На рис. 13.3 четко просматривается прямая корреляция междух иу. В этомслучае при осуществлении контроля за причинным факторомх можно управлять значением параметра качества у.

На рис. 13.4 приведен пример легкой прямой корреляции. При увеличениих увеличивается также иу, но разбросу велик по отношению к определенному значениюх. С помощью контроля причинного факторах можно до некоторой степени держать под контролем характеристикуу, но необходимо также иметь в виду и другие факторы, оказывающие влияние на у.

На рис. 13.5 показан пример обратной (отрицательной) корреляции. При увеличениих характеристикау уменьшается. Если причинный факторх находится под контролем, характеристикау остается стабильной.

Рис. 13.6 отражает случай легкой обратной корреляции, когда при увеличении x характеристикау уменьшается, но при этом велик разброс значенийу, соответствующих фиксированному значению х.

Рис. 13.3. Прямая корреляция Рис. 13.4. Легкая прямая

корреляция

Рис. 13.5. Обратная (отрицательная) корреляция

Рис. 13.6. Легкая обратная корреляция

Рис. 13.7. Отсутствие корреляции

Рис. 13.8. Криволинейная корреляция

На рис. 13.7 показан пример отсутствия корреляции, когда никакой выраженной зависимости междух иу не наблюдается. В этом случае необходимо продолжить поиск факторов, коррелирующих су, исключив из этого поиска факторх.

Между параметрами х иу возможны также случаи криволинейной корреляции (рис. 13.8 и 13.9.). Если при этом диаграмму разброса можно разделить на участки, имеющие прямолинейный характер,то проводят такое разделение и исследуют каждые участок в отдельности, как прямолинейную корреляцию.

Рис. 13.9. Криволинейная корреляция разброса

Рис. 13.10. Диаграмма для обратного тока р-n-перехода

Степень корреляционной связи х иу может быть оценена либо с помощью коэффициента корреляции (в случаепрямолинейной корреляции), либо с помощью корреляционного отношения (в случае криволинейной корреляции).

Метод медиан. Однако на практике часто применяют более простой метод оценки степени корреляционной связи –метод медиан, особенно удобный при исследовании технологического процесса с использованием данных, полученных на рабочем месте. Рассмотрим действие этого метода на практическом примере, приведенном в табл. 13.1.

1. На диаграмме разброса проводятся вертикальная линия медианы и горизонтальная линия медианы (рис. 13.10). Выше и ниже горизонтальной медианы, справа и слева от вертикальной медианы будет равное число точек. Если число точек окажется нечетным, следует провести линию через центральную точку

2. В каждом из четырех квадратов, получившихся в результате разделения диаграммы разброса вертикальной и горизонтальной медианами, подсчитывают число точек и обозначают их n₁ ,п₂ , n₃, п₄ соответственно Точки, через которые прошла медиана, не учитывают.

3. Отдельно складывают точки в положительных и отрицательных квадратах:

n₍₊₎ = n₁ + n₃ =8 + 9 =17, n_(-) = n₂ + n₄ = 2 + 2 =4,

n’ = n₍₊₎ + n_(-) = 17 +4 = 21.

Так как четыре точки находятся на медианах, то n’ не равноn = 25.

4. Для определения наличия и степени корреляции по методу медианы используется специальная таблица значений, соответствующих различным коэффициентам риска β (0,01 и 0,05)

Сравнивая меньшее из чисел n₍₊₎ иn_(-) с их кодовым значением из табл. 3.9, соответствующим значениюn', делают заключение о наличии и характере корреляции. Если меньшее из чиселn₍₊₎ иn_(-) оказывается равным или меньше табличного кодового значения,то корреляционная зависимость имеет место. В рассматриваемом примере табличное кодовое значение при коэффициенте риска β=0,01, соответствующееп'=21, равно 4. Меньшим из чиселn₍₊₎ = 17 иn_(-) =4 является n_(-

₎. Посколькуn_(-), равное4, оказывается равным кодовому значению 4, можно утверждать, что в данном случае между двумя параметрами существует корреляционная зависимость.

Таблица 13.2

Таблица кодовых значений

n'	β		n'	β			n'	β
	0,01	0,05		0,01	0,05	0,01		0,05
8	0	1	38	10	12	68		22	25
9	0	1	39	11	12	69		23	25
10	0	1	40	11	13	70		23	26
11	0	1	41	11	13	71		24	26
12	1	2	42	12	14	72		24	27
13	1	2	43	12	14	73		25	27
14	1	2	44	13	15	74		25	28

Продолжение табл. 13.2

15	2	3	45	13	15	75	25	28
16	2	3	46	13	15	76	26	28
17	2	4	47	14	16	77	26	29
18	3	4	48	14	16	78	27	29
19	3	4	49	15	17	79	27	30
20	3	5	50	15	17	80	28	30
21	4	5	51	15	18	81	28	31
22	4	5	52	16	18	82	28	31
23	4	6	53	16	18	83	29	32
24	5	6	54	17	9	84	29	32
25	5	7	55	17	19	85	30	32
26	б	7	56	17	20	86	30	33
27	6	7	57	18	20	87	31	33
28	6	8	58	18	21	88	31	34
29	7	8	59	19	21	89	31	34
30	7	9	60	19	21	90	32	35
31	7	9	61	20	22
32	8	9	62	20	22
33	8	10	63	20	23
34	9	10	64	21	23
35	9	11	65	21	24
36	9	11	66	22	24
37	10	12	67	22	25

Это утверждение делается с вероятностью ошибиться только в одномслучае из ста(β =0,01). Посколькуn₍₊₎>n_(-) ,это свидетельствует о прямой корреляции. В тех случаях, когдаn₍₊₎<n_(-), можно говорить об обратной корреляции.