2.3. Энергия изменения формы и объёма при деформировании

Удельной потенциальной энергией или упругим потенциалом W деформируемой точки называется произведение тензоров напряжения и деформации T_д^.T_н / 2 = W. Величина W характеризует количество запасенной упругой энергии в единице объема тела (в деформируемой точке). Энергию упругого деформирования единицы объёма тела мы выразим, рассматривая деформацию, которую претерпевает элементарный единичный кубик, грани которого перпендикулярны главным осям.

Полная работа деформирования единицы объёма кубика выразится  формулой

W = (₁₁ + ₂₂ + ₃₃) / 2, (5)

где ₁₁ /2 – работа, совершаемая напряжением ₁ при деформировании кубика вдоль первого главного направления, ₂₂/2 – работа, совершаемая напряжением ₂ при деформировании кубика вдоль второго главного направления, ₃₃/2 – работа, совершаемая напряжением ₃  при деформировании кубика вдоль третьего главного направления.

Так как напряженное состояние можно представить в виде напряженного состояния сдвига, описываемого девиатором напряжений, и гидростатического состояния, описываемого шаровым тензором, то энергию упругого деформирования W можно подсчитать, найдя энергию упругого деформирования для каждого из этих напряженных состояний в отдельности:

W = W_ф + W_v. (5¹)

Здесь W_ф – энергия формоизменения, W_v – энергия изменения объёма рассматриваемого кубика.

Для нахождения слагаемых W_ф и W_v будем использовать следующее очевидное равенство, связывающее главные нормальные напряжения ₁, ₂, ₃ тензора напряжений, среднее нормальное напряжение _ср, главные нормальные напряжения тензора-девиатора s₁ = (₁ – _ср), s₂ = (₂ – _ср), s₃  = (₃ – _ср):

₁ = s₁ + _ср, ₂ = s₂ + _ср, ₃ = s₃ + _срі

и аналогичные выражения для главных линейных деформаций₁, ₂, ₃:

₁ = e₁ + _ср, ₂ = e₂ + _ср, ₃ = e₃ + _ср,

где e₁ = ₁ –_ср, e₂ = ₂ –_ср, e₃ = ₃ –_ср представляют собой главные линейные деформации девиатора деформаций.

Подставляя эти выражения в формулу (5) для W, найдем

2W = (s₁e₁ + s₂e₂ + s₃e₃) + 3_ср_ср + _ср(s₁ + s₂ + s₃) + _ср(e₁ + e₂ + e₃).

В полученном выражении члены (s₁ + s₂ + s₃) и (e₁ + e₂ + e₃)  тождественно равны нулю. Это означает, что, учитывая (5¹), можно записать следующие выражения для энергии формоизменения W_ф и энергии изменения объёма рассматриваемого кубика W_v:

W_ф = (s₁e₁ + s₂e₂ + s₃e₃) / 2;

W_v = 3_ср_ср/ 2.

Используя следующие выражения закона Гука для изотропного тела:

s₁ = 2Ge₁, s₂ = 2Ge₂, s₃ = 2Ge₃, _ср = 3K_ср;

из предыдущих выражений получим

W_ф = (s₁² + s₂² + s₃²) / (4G);

W_v = _ср² / (2K).

Выражению для W_ф можно придать и другой вид

W_ф = I₂(T_н^д)/(2G) = _i²/(2G),

где I₂(T_н^д) – второй инвариант девиатора напряжений.

Выражение для энергии упругого деформирования окончательно принимает вид

W = _ср²/(2K) + _i²/(2G).