3.4. Реологические параметры, модули деформации и их определение

Рассмотренные выше реологические уравнения состояния идеальных тел связывают между собой напряжения и деформации с помощью реологических параметров, модулей деформации. В нашем случае ими явились модуль сдвига G , коэффициент объемного сжатия K, коэффициент динамической вязкости , предел текучести _т . Первые два параметра позволяют определить еще два модуля деформации, которые играют большую роль в механике деформирования твердых тел. Этими модулями являются модуль Юнга E и коэффициент поперечной деформации 

Из приведенных четырех коэффициентов (E, , G, K) только два являются независимыми (чаще всего экспериментально определяют первые два коэффициента). Это означает, что по любым двум известным коэффициентам всегда можно найти неизвестные:

E = 2G(1 + );

 = (3K – 2G) / (6K + 2G);

K = E / 3[(1 – )];

G = E / 2(1 + ).

Постоянные E, G, K имеют размерность напряжений (Па), а величина  является безразмерной.

3.4.1. Модуль Юнга – модуль продольной упругости. Модуль Юнга является коэффициентом пропорциональности между нормальным напряжением  , действующим в образце, и упругой относительной деформацией ε, возникающей в нем вдоль линии действия механического усилия. Конкретный вид выражения, с помощью которого определяется модуль Юнга, зависит от вида напряженного состояния, в котором находится образец.

Основной формулой для нахождения модуля Юнга является реологическое уравнение состояния _i = G_i.

Так как при одноосном сжатии образца справедливы равенства (табл.2, 3)

_i = ₁/3^0.5, _i = 2(1 + )₁/3^0.5,

то физическое уравнение, связывающее нормальное напряжение ₁ и относительную линейную деформацию образца ₁ вдоль направления действия силы при этом напряженном состоянии, имеет вид

₁ = 2G(1 + )₁, (10)

где 2G(1 + ) = E – модуль продольной упругости (модуль Юнга). Из уравнения ₁ = E₁ следует равенство E = ₁ / ₁, которое определяет экспериментальный способ нахождения величины модуля Юнга.

В условиях компрессионного испытания образца (когда развитие поперечной деформации блокировано: образец керна, например, находится в толстостенном металлическом цилиндре, сдерживающем развитие поперечной деформации), интенсивность касательных напряжений и деформаций имеет вид

_i = 3^–0,.5(1 – 2)₁ / (1 – ), _i = 2₁/3^0,5.

Закон Гука для такого испытания будет иметь вид:

= 2G(1 – )^ / (1 – 2) ,

где коэффициент 2G(1 – ) / (1 – 2) = E_о и является модулем Юнга материала, находящегося в данном напряженном состоянии. Используя полученное выше значение (10) модуля Юнга для случая одноосного сжатия, последнее выражение можно переписать в виде

E_о= E(1 – ) / [(1 + )(1 – 2)],

где E – найденный ранее модуль Юнга в эксперименте без компрессии, E_о – модуль Юнга в эксперименте с компрессией.

Традиционное определение величины модуля Юнга происходит в экспериментах одноосного сжатия при медленном механическом нагружении образца горной породы в пределах упругости. Для экспериментального определения модуля Юнга используются образцы горных пород, приготовленные либо из керна, либо образцы кубической формы. К противоположным параллельным поверхностям образца прикладывается механическая нагрузка (сила сжатия F). Уравнение E = ₁/₁ можно записать в виде

E = F/S : l/l = F·l / (S·l),

 

где  = F/ S, S – площадь поперечного сечения образца горной породы,  = l / l – относительная деформация образца породы,

l – абсолютная деформация образца.

Таким образом, для определения величины модуля Юнга необходимо измерить площадь поперечного сечения образца, абсолютную деформацию образца в направлении действия силы, величину силы F, вызвавшую эту деформацию.

Величина модуля Юнга основных породообразующих минералов составляет (10⁵ ÷ 10⁴) МПа. Например, модуль Юнга таких минералов, как кварц, кальцит, оливин, ортоклаз, доломит составляет 9,4·10⁴ МПа, 8,2·10⁴ МПа, 2,1·10⁵ МПа, 6,2·10⁴ МПа, 8,0·10⁴ МПа, соответственно.

Модуль Юнга горных пород на порядок и более уступает приведенным значениям модуля Юнга породообразующих минералов. Резкое отличие модуля Юнга горных пород от модуля Юнга минералов объясняется наличием слабых адгезионных границ между минералами, наличием пор в горной породе.

Модуль Юнга, определяемый при сжатии образцов горных пород, в 1,5 ÷ 4 раза превосходит модуль упругости, определяемый при растяжении этих же образцов.

Модуль продольной упругости E и модуль поперечной упругости G соответствуют основным видам напряжений и деформаций и поэтому считаются основными характеристиками упругости горных пород.

3.4.2. Коэффициент поперечной деформации. Помимо продольной деформации, измеряемой вдоль направления действия силы, в образце возникает и поперечная деформация, измеряемая в направлении, перпендикулярном действию силы. Модуль отношения величины относительной поперечной деформации _поп к величине относительной продольной деформации _пр называется коэффициентом поперечной деформации . Знак модуля применяем по следующей причине: продольная и поперечная деформации имеют различные знаки: _пр – деформация сжатия и ей соответствует знак плюс, _поп – деформация растяжения, ей соответствует знак минус):

│_поп / _пр│ = .

Выражая величину поперечной и продольной деформации образца горной породы, приготовленного из керна диаметром d и высотой l, получим выражение для определения коэффициента поперечной деформации при одноосном сжатии образца:

 = │d·l / d·l│, (11)

где d, l – абсолютная деформация диаметра и высоты образца.

В области упругого поведения горных пород коэффициент поперечной деформации называется коэффициентом Пуассона и является постоянной величиной. Для различных материалов величина коэффициента Пуассона изменяется в узких пределах 0 <  0,5. Среднее его значение для горных пород и минералов меняется в диапазоне 0,2 – 0,4.

При отсутствии поперечной деформации, т.е. при выполнении условия _поп = 0, справедливо равенство  = 0 . В этом случае деформация образца происходит только вдоль линии действия сжимающей образец силы. Но при отсутствии поперечной деформации происходит только изменение объёма образца без изменения его формы и справедливы соотношения

E = 2G, K = 2G/3.

Так как для пластически деформируемых материалов выполняется реологическое уравнение _v = 0 (материал несжимаем: K   и происходит изменение формы образца без изменения его объёма), то для образцов, изготовленных из такого материала, будут справедливы равенства  = 0.5 (этот вывод следует из уравнения K = E / 3[(1 – )] ) и G = E / 3).

Коэффициент поперечной деформации  в силу своей незначительной величины весьма мало влияет на количественное изменение напряженно-деформированного состояния массивов различных горных пород, находящихся в сходных условиях. Если же коэффициент поперечной деформации рассматривать не только как упругую постоянную, а как параметр, который может быть переменным в зависимости от величины деформаций, то рост коэффициента поперечной деформации может информировать о развитии разрушения горной породы.

3.4.3. Коэффициент объемного деформирования. В случае сложного напряженного состояния, которое характеризуется интенсивностью касательного напряжения τ_i, интенсивностью деформации сдвига_i, средним нормальным напряжением _ср и средним относительным удлинением (сжатием) _ср , в пределах упругой деформации наблюдается линейная связь между величиной среднего нормального напряжения и средним относительным удлинением (сжатием): _ср = K_ср или P = K_v/3, где K - коэффициент объемного деформирования (модуль объёмного сжатия), P = (₁ + ₂ + ₃) / 3 – всестороннее давление.

Величина_T = K^–1 называется изотермической сжимаемостью. Сжимаемость (объёмная упругость) представляет собой относительное уменьшение объёма V (жидкости, образца горной породы, минерала) при росте давления P на 1 МПа:

_T = – V_o^-1·(dV/dP)_T = ^-1·(d/dP)_T,

где V_o – начальный объём,  – плотность. Иначе говоря, сжимаемость - это способность вещества изменять свой объём под действием всестороннего давления. Тело называется несжимаемым, если величина его плотности не зависит от давления d/dP = 0. Знак «минус» вводится в формуле, определяющей величину _T, для того, чтобы сделать величину _T положительной, т.к. производная (dV/dP)_T в формуле всегда отрицательна.

Той или иной величиной сжимаемости обладают все вещества. Сжимаемость минералов чрезвычайно мала и незначительно изменяется при росте напряжений. Алмаз, например, при росте давления вообще не изменяет величину сжимаемости. Величина коэффициента сжимаемости некоторых жидкостей и минералов приведена в таблице 4.

Таблица 4