ФТЯР ЛЕКЦИИ

77

Рассмотрим (1)

D0 Ф0 (r) a0Ф0(r) 0 Ф0(r) 02Ф0 (r) 0,

где 02 Da0

0

Данное уравнение однородно и общее решение его известно (в цилиндрических координатах):

Ф0 (r) AI0 ( 0r) BK0( 0r) (6)

Так как функция K0 (r) бесконечна в точке r=0 (центр топливного блока), то согласно условию конечности функции распределения нейтронов константа B в выражении (6) должна быть равна нулю. Следовательно, для распределения потока тепловых нейтронов в топливе получаем:

Ф0(r) AI0 ( 0r) (8)

Теперь рассмотрим уравнение для замедлителя (2):

D1 Ф1(r) a1Ф1(r) q 0

Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение есть суперпозиция общего решения его однородной части: и любого частного решения.

Однородную часть уравнения (2) D1 Ф1(r) a1Ф1(r) 0 преобразуем к следующему виду:

Ф1(r) 12Ф1(r) 0,

где 12 a1 , и ее решение также известно:

D1

Ф1однор (r) C1I0 ( 1r) C2K0 ( 1r)

Частное решение ищем так. Третье слагаемое есть константа, тогда любая константа, пропорциональная q, должна удовлетворять уравнению (2). Следовательно, частное решение можно представить в следующем виде:

Ф1част q a1

Таким образом, общее решение уравнения (2) имеет вид:

Для выражения (9) воспользуемся граничным условием (5) (условием отсутствие утечки нейтронов из ячейки). Для этого продифференцируем (9), приравняем его к нулю и выразим константу С2 через константу С1:

Теперь «сошьем» потоки и токи нейтронов на границе топливо/замедлитель в соответствии с граничными условиями (3)-(4).

Равенство потоков нейтронов – граничное условие (3):

AI0( 0R0) C I0( 1R0)K1( 1R1) K0( 1R0)I1( 1R1) q a1

Равенство диффузионных токов нейтронов – граничное условие (4):

D0 0 AI1( 0R0) D1 1C I1( 1R0)K1( 1R1) K1( 1R0)I1( 1R1)

Введем обозначения:

I0 ( 1R0 )K1( 1R1) K0 ( 1R0 )I1( 1R1) B1

I1( 1R0 )K1( 1R1) K1( 1R0 )I1( 1R1) B2

Тогда окончательно граничные условия примут вид:

79

D0 0AI1( 0R0) D1 1CB2 (12)

Из условия (12) выразим константу C:

C D0 0AI1( 0R0), (13)

D1 1B2

после чего выражение (13) подставим в (11) и определим константу А:

Рассчитаем коэффициент Θгет. Расчет произведем согласно определению данно-

a0Ф0 (r)dV

Определим скорость поглощения в топливе a0Ф0(r)dV .

V0

В цилиндрической системе координат в предположении отсутствия зависимости от высоты и угла элементарный объем определяется как dV=2πrdr. Таким образом, используя полученное распределение потока нейтронов в топливе (8), скорость поглощения нейтронов в топливе определяется:

ния в замедлителе и найти Θгет. Однако этот путь сопряжен с большим объемом вычислений, связанных с интегрированием модифицированных функций Бесселя. Так как тепловые нейтроны образуются только в одной зоне (замедлителе), то можно использовать другой подход. Для этого Θгет представим в следующем виде:

где Ra0 и Ra1 – скорости поглощения нейтронов в топливе и замедлителе, соответственно; Raя – скорость поглощения нейтронов во всей ячейке. В стационарном случае число поглощенных в ячейке нейтронов равно числу образовавшихся в ячейке нейтронов. Если плотность замедления известна q, то скорость обра-

80

зования нейтронов в единицу времени на единицу площади равна qS, где S – площадь области, где рождаются тепловые нейтроны. Так как тепловые нейтроны образуются только в замедлителе, то S (R12 R02 ). Таким образом, полная скорость поглощения тепловых нейтронов в ячейке равна:

ТеперьокончательноможемполучитькоэффициентΘгет согласносоотношению(17):

Подставляя в (18) выражение для константы А (14) и проводя ряд упрощений, окончательно получим:

При другой геометрии ячейки, например, при расчете ЯР с плоскими или шаровыми ТВЭЛами расчетная формула имеет тот же вид – (18), но меняются соотношения для F и Е. Так, например, для плоской решетки:

где a – шаг решетки (размер ячейки); δ – толщина ТВЭЛ.

Выясним физический смысл коэффициентов F и Е. Для этого предположим,

что коэффициент диффузии в замедлителе D1→∞. Это означает, что 1 a1 0,

D1

тогда в выражении (21) возникает неопределенность типа ∞/∞, которая при раскрытии приводит к тому, что Е→1. Тогда выражение (19) принимает вид:

ливе относительно среднего потока нейтронов в замедлителе, теплоносителе и других компонентов ячейки, соответственно. Решение задачи по определениию гет в этом случае несколько усложняется, но решается аналогично выше изложенному.

5.3.2 Коэффициент использования тепловых нейтронов в двузонной ячейке с источниками тепловых нейтронов в двух зонах

По-прежнему имеется ячейки, состоящая из двух зон: топливо и замедлитель. При этом в рамках поставленной задачи рождение тепловых нейтронов происходит не только в зоне замедлителя, но и в зоне топлива за счет замедления быстрых нейтронов.

Такая ситуация реализуется, когда топливо изготовлено из урановой керамики: UO2 (наиболее часто); UC; реже U-N. Другими словами, очень часто в реальности источником тепловых нейтронов является не только замедлитель, но и легкие ядра топлива. Поэтому учет этого факта необходим.

Рассмотрим, как и в первом случае, ячейку с цилиндрическим блоком топлива, содержащего легкие ядра замедлителя, и окружающем его замедлителем. Как и в первом случае перейдем к эквивалентной ячейке (Вигнера-Зейца).

Запишем дифференциальные диффузионные уравнение для такой ячейки:

где q0 и q1 - плотность замедления нейтронов в топливе и замедлителе, соответственно. При этом будем считать, что рождение тепловых нейтронов происходит равномерно в объемах топлива и замедлителя q0≠f(r), q1≠f(r).

Граничные условия для этих уравнений аналогичны рассмотренному уже случаю ячейки с источником тепловых нейтронов в одной зоне:

83

на границе топливо/замедлитель в точке r = R0 потоки и токи равны:

Ф0(R0)=Ф1(R0) (3)

т.к. для ячейки имеем, что количество нейтронов уходящих равно количеству нейтронов приходящих, т.е. утечка нейтронов из ячейки отсутствует,

то на границе ячейки (в точке r=R1) ток нейтронов равен нулю:

по физическому смыслу имеем, что для всей ячейки поток нейтронов неотрицателен и ограничен.

Уравнения (1) и (2) неоднородны и решаются по аналогии с уравнением для замедлителя в рассмотренном уже случае. Поэтому сразу запишем решения этих уравнений:

Рассмотрим решение (7) и воспользуемся граничным условием (5):

C1 1I1( 1R1) C2 1K1( 1R1) 0. Выразим отсюда константу С2 через константу С1 и полученное подставим в решение (7)

На основании граничных условий (3) и (4) «сошьем» потоки и токи на границе топливо/замедлитель, т.е. в точке r=R0:

84

Равенство потоков – условие (3)

Равенство диффузионных токов – условие (4)

AD0 0I1( 0R0 ) CD1 1 I1( 1R0 )K1( 1R1) K0 ( 1R0 )I1( 1R1)

Введя известные обозначения: I0 ( 1R0 )K1( 1R1) K0 ( 1R0 )I1( 1R1) B1; I1( 1R0 )K1( 1R1) K0 ( 1R0 )I1( 1R1) B2 , граничные условия примут вид:

При определении гет метод, использованный в случае ячейки с источником тепловых нейтронов в замедлителе, не применим, так как тепловые нейтроны теперь рождаются и в топливе, и в замедлителе. В связи с этим определение

расчет средних потоков нейтронов в топливе и замедлителе, учитывая, что dV=2πrdr.

Зная средние потоки, определяется коэффициент проигрыша:

По коэффициенту проигрыша и подставляя найденные значения констант А и С (выражения (11), (12)), находится гет . Опуская большой объем алгебраических преобразований, окончательно получим:

где постоянные F и Е по своему физическому смыслу и по соотношениям для их определения являются такими же, что и в случае ячейки с источником тепловых нейтронов только в замедлителе.

Из формулы (15) легко получается формула для гет для случая ячейки с источником тепловых нейтронов только в замедлителе. Для этого в выражении (15) необходимо положить q0=0 (в топливе нет источника тепловых нейтронов):

11 a1V1 F (E 1) – известное соотношение.

гет a0V0

Выражение (15) является универсальным для любой геометрии топливного блока, изменяются лишь константы F и Е.

86

При рассмотрении выражения (15) обращает на себя внимание неизвестное со-

отношение q0 . Как известно, в гомогенной слабопоглощающей среде плот- q1

ность замедления равна qгом(E) sФ(E)E . В гетерогенной среде из-за блокэффекта пространственные распределении потоков нейтронов имеют разные значения в различных зонах ячейки. Вместе с тем спектры тепловых нейтронов в топливе и замедлителе в слабопоглощающих средах различаются слабо. Тогда для гетерогенной среды получаем:

q0 ( s )0Ф0(E) ( s )0 q1 ( s )1Ф1(E) ( s )1

Причем, замедляющие способности необходимо брать для энергий нейтронов как можно более близких к Егр (все резонансное поглощение сосредоточено около Егр). Например, при Е 1эВ, где еще не проявляются термализационные эффекты, и она близка к тепловой области.

5.3.3 Коэффициентиспользованиятепловыхнейтроноввячейкахсложныхрешеток

Ячейка сложной решетки представляет собой ТК и окружающий его замедлитель. В состав ТК включается труба ТК, по которой прокачивается еплоноситель, и сборка ТВЭЛ, называемая тепловыделющей сборкой (ТВС). В ТВС собраны, обычно, тонкие цилиндрические (прутковые) ТВЭЛ. ТВС крепится в ТК с помощью конструкционных элементов. В общем случае ТВС и ТК могут иметь различные формы и конструкции. Таким образом, в ячейку сложной решетки помимо топлива и замедлителя входят т/н и конструкционные материалы.

Точный и детальный расчет потоков нейтронов в таких решетках далеко не прост даже в одногрупповом приближении. Точные результаты можно получить, например, решая кинетическое уравнение методом Монте-Карло или другими методами, сопряженными с большим объемом вычислений. Поэтому для инженерных расчетов типовых ЯР применяют упрощенные методы, дающие хоть и приближенные, но достаточно приемлемые результаты.

По определению коэффициент использования тепловых нейтронов есть вероятность для тепловых нейтронов поглотиться в топливе. Для того чтобы