ФТЯР ЛЕКЦИИ

48

нейтрона, но от количества других элементов, а также от величины их микроскопических сечений. Количественно эта зависимость в смеси характеризуется коэффициентом 0i , который по определению есть:

0i ,l N1l m 1 ti,m Nm

Если концентрация рассматриваемого l-го мала Nl 0, то коэффициент

0i ,l , и усреднение сечений внутри группы может быть проведено обыч-

ными способами по стандартным спектрам без учета резонансов сечений этого элемента. В противном случае необходимо введение поправок на резонансную структуру.

Необходимо заметить, что с ростом температуры резонансные пики уширяются (эффект Доплера). Поэтому температура среды также должна влиять на резонансные эффекты. Тогда величины микроскопического сечения зависит не только от коэффициента 0i ,l , но и от температуры среды: i,l f ( 0i ,l ,T ).

Обычно в таблицах систем многогрупповых констант приводятся значения микросечений элементов, ядерная концентрация которых стремится к нулю, т.е. приводятся среднегрупповые значения сечений, полученные путем усреднения по стандартным спектрам. В случае, когда влияние резонансов какого-либо элемента значимо, то необходимы поправки к сечениям, которые также приведены в таблицах и зависят от 0i ,l и температуры.

3.4. Выбор числа групп

При многогрупповом методе важным является выбор необходимого для расчета числа групп. Этот выбор определяется многими факторами, главным из которых является вид спектра нейтронов в ЯР и требуемая точность вычислений. Тем не менее, даже в случае тепловых ЯР возникают определенные трудности с корректным усреднением групповых констант, особенно в области замедляющихся нейтронов.

На первый взгляд, казалось бы, чем больше число групп, тем точнее будет результат. Однако это не совсем верно. В подавляющем большинстве случаев

49

система многогрупповых уравнений решается численными методами с применением ЭВМ. Увеличение числа групп приводит с одной стороны к увеличению времени счета, а с другой уменьшает, как ни странно, точность расчетов потоков из-за постоянно накапливающейся от группы к группе погрешности, связанной с усреднением большого числа групповых констант внутри группы.

Кроме того многогрупповое приближение имеет тот недостаток, что обилие параметров затрудняет их физическое осмысливание. Нельзя не отметить следующее, сечение увода Σув=Σа+Σз в многогрупповом уравнении играет такую же роль, что и сечение поглощения в уравнении диффузии. При большом числе групп их ширины ui малы и соизмеримы с потерями энергии в процессе рассеяния ( ui ~ξ, ξ – средне логарифмическая потеря энергии). Это означает, что любое столкновение нейтрона приводит к его уводу из группы либо за счет поглощения, либо за счет замедления. Другими словами для той или иной группы резко возрастает количество центров потерь нейтронов (за счет поглощения и увода). А известно, что вблизи сильных поглотителей уравнение диффузии (лежащее в основе уравнения групп) не применимо. Понятно, что для того, чтобы ui >ξ необходимо ориентироваться на замедлитель: чем он легче, тем больше должна быть групповая ширина, тем меньше число групп. А при малом числе групп мы опять сталкиваемся с проблемой корректного усреднения групповых констант.

В связи с вышесказанным для расчетов потоков в рамках многогруппового приближения используют следующий подход. На первом этапе рассматривают многогрупповую систему уравнений: 26, 64 и т.д. групп. Определяют необходимые групповые константы. А затем сворачивают любое число смежных групп в одну более широкую, получая малогрупповую систему уравнений, которую затем и решают. Другими словами при таком подходе необходимо от многогрупповой системы (26, 69 и более) перейти к малогрупповой (2, 4). Количество групп, к которым мы переходим при свертке констант определяется спектром нейтронов в ЯР. Если спектр в ЯР изменяется слабо или известен закон его изменения, то можно использовать малое число групп. Например, ЯР на тепловых

50

нейтронах обычно используют двухгрупповое приближение или 4-х групповое для ВВЭР. Для ЯР на быстрых или промежуточных нейтронах требуется использование более большого числа групп (9, 26 и более).

Свертка групповых констант осуществляется путем усреднения многогрупповых констант по интегральным потокам. Рассмотрим методику такого подхода. Запишем многогрупповое уравнение в следующем виде:

k 1

Рассмотрим критический эквивалентный ЯР. Для него вдали от границы для каждой группы справедливо уравнение ЯР:

Фi (r) B2Фi (r) 0 Фi (r) B2Фi (r)

Полученное выражение подставим в многогрупповое уравнение, проинтегрировав его по всему объему активной зоны, тем самым прейдем от функции пространственного распределения потока нейтронов к интегральным потокам:

Фi(r)→Фi:

i 1

Di B2Фi a,iФi з,iФi kR iФk iQ 0 k 1

Отсюда выразим Фi:

i1

iQ kR iФk

Таким образом, система многогрупповых дифференциальных уравнений превращается в систему обычных алгебраических уравнений, из которой может быть найден энергетический спектр интегрального по объему АЗ нейтронного потока. Решение данной системы осуществляется итерационным методом, начиная с первой группы и задавая значение интегрального источника, равное 1: Q=1 (шт/см3∙с). В результате расчетов в рамках первой итерации получим набор интегральных потоков Ф1(1),Ф2(1), ,Фm(1) . По полученным данным находим по выражению (2) новое значение интегрального источника Q(2). Теперь вновь

51

проводим расчеты интегральных потоков во второй итерации и т.д. Это происходит до тех пор, пока отношение значения источника в следующей итерации к значению источника в предыдущей, являющееся ничем иным как эффективным

заданной точности). В этом случае полученный набор Ф1(n),Ф2(n), ,Фm(n) является искомым спектром интегральных потоков нейтронов. При этом, если полученное значение kэф не соответствует реакторным параметрам рассчитываемого ЯР, то заданная конструкция ЯР должна быть изменена и вычисления повторены.

Таким образом, зная спектр интегральных потоков, можно свернуть любое число смежных групп в одну широкую группу, определяя сечения этой новой широкой группы следующим образом:

iФi

гральных потоков, но и интегральных ценностей. Чтобы ввести это понятие, рассмотрим реактор в стационарном состоянии и предположим, что его мощность равна нулю. Пусть в точку с координатой r введено большое число нейтронов с энергией E, перемещающихся в направлении - N (r, E, ). После длительного времени (t→∞) поток нейтронов распределиться в соответствии с функцией, соответствующей геометрии ЯР, амплитуда которой (максимальные значения) будет зависеть от величины N (r, E, ). Тогда ценность нейтронов можно определить как величину, пропорциональную величине потока, отнесенному к одному введенному нейтрону:

Ф (r,E, )~Ф(r,E, ,t ) N (r,E, )

Влияние координаты и вектора направления на ценность очевидно, так как их значения определяют вероятность утечки. Чем меньше энергия нейтронов, тем нейтроны более ценны с точки зрения их участия в цепной реакции деления, по-

52

скольку возрастают сечения деления, уменьшается вероятность их паразитного поглощения и утечки в процессе замедления. В реакторе на тепловых нейтронах наиболее ценные – тепловые нейтроны.

Рассмотрение ценности не имеет никакого физического смысла при одногрупповом подходе, и используется при многогрупповом приближении. Формально (с математической точки зрения) ценность является решением группового уравнения для ценностей, являющегося сопряженным многогрупповому уравнению для потоков нейтронов. Чтобы получить сопряженное уравнение, необходимо исходную систему групповых уравнений (переписанную в необходимом виде)

Сопряженное уравнение получается следующим образом. Матрицы M, M1 и Ф транспонируют, т.е. строки и столбцы меняются местами. Если заменить каждый элемент транспонированной матрицы на комплексно сопряженный, получаем сопряженную матрицу. В случае матриц с действительными элементами сопряженная матрица равна транспонированной.

В итоге можно записать сопряженное уравнение для произвольной i-ой группы:

Решение этого уравнения Фi (r) - есть ценность нейтронов i-ой группы;

m

kФk (r) Qi (r) – источник ценностей нейтронов.

k 1

53

Получение набора интегральных ценностей проводится по аналогии с интегральными потоками:

используем приближение эквивалентного ЯР;

исходя из сопряженного уравнения ЯР Фi (r) B2Фi (r) 0, в уравнении

ренциальных уравнений в систему обычных алгебраических уравнений, из которой может быть найден спектр интегральной по объему АЗ ценности нейтронов;

выражаем интегральную ценность нейтронов i-ой группы:

m

f ,i f ,iQ iR kФk

Фk i 1

iDi B2 a,i з,i

методом итераций определим необходимый набор интегральных ценностей Ф1 ,Ф2 , ,Фm

Тогда при свертке любого числа смежных групп в одну широкую группу сечения этой новой широкой группы определяются следующим образом:

i

Например, в рамках курсового проекта необходимо перейти от 26-групповой системы констант, являющейся исходной многогрупповой, к 2-групповому уравнению. При этом первые 25 групп сворачиваются в первую группу, а последняя 26 группа становится второй группой. В этом случае получение новых значений сечения любого взаимодействия происходит следующим образом:

54

4.ГОМОГЕННЫЙ ЯР С ОТРАЖАТЕЛЕМ

ВДВУХГРУППОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Как уже отмечалось, одногрупповая теория дает лишь оценочные результаты. Вместе с тем более точным подходом является метод групп.

Одним из широко применяемых методов определения критических размеров является 2-групповое приближение. Данная модель предполагает, что весь энергетический спектр нейтронов делится на 2 группы: быстрые нейтроны Е>Егр (в дальнейшем индекс «б») и тепловые Е<Егр (в дальнейшем индекс «т»).

Таким образом, поведение быстрых нейтронов описывается одним дифференциальным уравнением. При этом будем считать, что определение групповых констант для нейтронов быстрой группы проведено корректно в соответствии с методиками, изложенными в предыдущем параграфе. При рассмотрении ЯР в рамках 2- групповой модели необходимо записать по два диффузионных уравнения (для быстрой и тепловой групп) для АЗ (индекс «1») и отражателя (индекс «2»).

4.1. Постановка задачи

При постановке задачи учтем, что в реакции деления тепловые нейтроны не рождаются, а источником тепловых являются замедляющиеся быстрые нейтроны - з,б1Фб1(r). Тогда исходные уравнения примут вид:

Для активной зоны:

быстрые нейтроны – Dб1 Фб1(r) a,б1Фб1(r) з,б1Фб1(r) Sб1(r) 0 (1); тепловые нейтроны – Dт1 Фт1(r) a,т1Фт1(r) з,б1Фб1(r) 0 (2).

Для записанных уравнений функция источника в общем случае должна учитывать как деление на быстрых, так и деление на тепловых нейтронах:

Sб1(r) f ,б f ,б1Фб1(r) f ,т f ,т1Фт1(r) (3)

При записи исходных уравнений для отражателя необходимо иметь в виду,

55

Для окончательной постановки задачи необходимо наложить граничные условия, которые традиционны для диффузионного приближения: на границе АЗ/отражатель плотности потоков быстрых и тепловых нейтронов в активной зоне и отражателе равны; на границе АЗ/отражатель плотности диффузионных токов быстрых и тепловых нейтронов в активной зоне и отражателе равны; на экстраполированной границе отражателя плотность потоков быстрых и тепловых нейтронов в отражателе обращается в нуль. Таким образом, имеют место шесть граничных условий. Эти условия можно упрощенно записать, обозначая границу АЗ/отражатель как R (геометрический размер активной зоны), а экстраполированную толщину отражателя – T:

Кроме того, из физических соображений ясно, что потоки быстрых и тепловых нейтронов в активной зоне и отражателе конечны и неотрицательны.

4.2. Пространственное распределение потоков нейтронов в ЯР с отражателем в двухгрупповом приближении

Для нахождения пространственного распределения потоков необходимо решить исходные уравнения (1), (2), (4), (5). При этом аналитические решения будут иметь место, если переменные разделяются.

Первоначально рассмотрим АЗ.

Пренебрежем делением на быстрых нейтронах. Тогда выражение (3) для источника примет вид:

Воспользуемся подходом, примененным для описания источника нейтронов в одногрупповом приближении: перепишем источник (9) через сечение поглоще-

ния тепловых нейтронов: Sб1(r) k a,т1Фт1 r

Как и в случае одногруппового приближения будем считать, что захват нейтронов в процессе замедления отсутствует, и тепловыми нейтронами стано-