ФТЯР ЛЕКЦИИ

117

Учитывая выражение (10) k∞–1=B2L2, а также выражение Br 2,405R , оконча-

тельно получаем, что в цилиндрическом ЯР эффективность центрального черного стержня, введенного на всю высоту, равна:

Соотношения для эффективности стержня (18) – (19) получены в рамках одногруппового приближения. Двухгрупповой метод позволяет получить более точные результаты. Если считать стержень черным для тепловых и прозрачным для быстрых нейтронов, то имеем следующую формулу для эффективности стержня:

Все формулы – приближенные. При их получении полагалось, что вводимый стержень вытесняет материалы ЯР. Это несправедливо, т.к. стержень на самом деле вводится в канал без материалов. Поэтому эффективность завышена. С другой стороны, учитывалось, что стержень не поглощает быстрые нейтроны, а это не так, следовательно, эффективность занижена. Т.о., последним эффект несколько компенсируем первый.

Результаты для эффективности, полученные в одногрупповом приближении, будут совпадать с двухгрупповым в том случае, когда τ<<L2. Другими словами, в ЯР, где L2>>τ с относительно малой погрешностью можно считать, что все нейтроны тепловые. Особенно это характерно для ЯР с тяжеловодным замедлителем. При других соотношениях L2 и τ различие между одно- и двухгрупповым приближениями более существенно. Наибольшие разницы имеют место в ЯР с водным замедлителем, где L2< τ.

118

6.3Эффективность центрального стержня, не полностью погруженного в ЯР

Регулирующие стержни обычно не полностью погружены в ЯР. Поэтому

определение эффективности поглощенного

Остержня, введенного не на всю высоту ЯР – одна из важных задач теории регулирующих стерж-

ней.

Пусть имеется цилиндрический ЯР радиу-

Zсом R и высотой H, по оси которого вводится стержень на глубину z. При этом начало коор-

распределение потока по высоте. Когда начало координат находится в центре

В рассматриваемом случае общее решение для аксиальной составляющей потока имеет вид:

Φ z A1 cos Bz z A2 sin Bz z

где B'z – осевая составляющая геометрического параметра ЯР со стержнем. Полагая, что возмущение от стержня мало B'z≈ Bz.

Граничные условия: Φ(0) Φ(H ) 0

Φ 0 A1 cos Bz 0 A2 sin Bz 0 0

Это равенство справедливо, если А1=0. Таким образом, Φ z A2 sin(Bz z). Второе условие: Ф(H)=0

Ф(H)=А2sin(Bz∙H)=0 => Bz

H

Таким образом, в гомогенном цилиндрическом ЯР без отражателя при расположении начала координат в центре торцевой поверхности аксиальная составляющая потока нейтронов определяется следующим соотношением:

120

Определим эффективность стержня. Для этого в выражение (4) подставим

Проанализируем полученное выражение для трех случаев.

1. Пусть стержень погружен на малую глубину z<<H=> Hz 1. Тогда функцию

синуса можно разложить в ряд: sin 2 z 2 z 2 z 3 1 , тогда имеем:

H H H 3!

121

дальнейшем погружении рост эффективности опять замедляется. Отсюда можно сделать вывод о том, что для того, чтобы стержень оказывал наиболее сильное влияние, его надо перемещать так, чтобы его конец находился вблизи H/2.

6.4. Полый регулирующий стержень и полый стержень, заполненный замедлителем

Если материал стержня имеет большое Σа тепловых нейтронов, то внутренняя его часть становится лишней, т.к. практически все падающие на его поверхность тепловые нейтроны поглощаются тонким наружным слоем материала стержня. Поэтому часто стержни выполняются пустотелыми. Если считать, что стержень является черным для тепловых нейтронов, то определение его эффективности аналогично решению для сплошного стержня.

Одним из методов повышения эффективности стержня СУЗ является увеличение поглощения нетепловых нейтронов. В связи с этим часто внутреннее пространство пустотелого стержня заполняют замедлителем, например, водой, которая к тому же служит для охлаждения стержня. В этом случае быстрые нейтроны, свободно попадающие внутрь стержня, эффективно замедляются в замедлителе. Возникающие при этом тепловые нейтроны не могут покинуть стержень, они поглощаются тонкими стенками стержня.

Таким образом, подобный стержень является поглотителем и тепловых и

ции наружу, определяемая величиной λtr для внутреннего замедлителя. Потоки быстрых нейтронов сшиваются обычным образом на границе стержня ρ.

123

Напомним, что потоки в (1) и (2) – это потоки в невозмущенном ЯР, т.к. считаем, что возмущение мало. Разделим (1) на (2), учитывая, что рассматрива-

Радиальное распределение потока нейтронов в цилиндрическом ЯР без отражателя имеет вид:

где Ф(0) – поток нейтронов в центре ЯР, R – радиус ЯР. Подставим (4) в (3):

Если в ЯР много регулирующих стержней, расположенных на различных

Однако это соотношение не учитывает тот факт, что эффективность системы стержней может быть как больше, так и меньше суммы эффективностей отдельных стержней. Это определяется количеством стержней и способом их размещения. Другими словами, не учитывается взаимодействие стержней друг с другом или интерференцию стержней.

распределение Ф(r) в ЯР без стержня (1) и со стержнем (2). Таким образом, вблизи стержня поток уменьшается, вдали – растет. Вводим второй стержень в

124

область, где возмущенный нейтронный поток меньше, чем был, когда первый стержень отсутствовал. В этом случае эффективность второго стержня будет меньше его же эффективности в случае, когда он был бы введен один, вследствие того, что скорость поглощения стержнем тепловых нейтронов уменьшается. Таким образом, эффективность системы из двух стержней станет меньше, чем сумма эффективностей этих стержней, введенных по отдельности. Вводим второй стержень в область, где возмущенный нейтронный поток больше, чем был, когда первый стержень отсутствовал. В этом случае эффективность второго стержня будет больше его же эффективности в случае, когда он был бы введен один, вследствие того, что скорость поглощения стержнем тепловых нейтронов увеличивается. Таким образом, эффективность системы из двух стержней станет больше, чем сумма эффективностей этих стержней, введенных по отдельности. Аналогичная картина имеется, если в ЯР больше двух стержней.

6.6 Эффективность системы двух стержней

Рассмотрим явление интерференции стержней на количественном уровне. Пусть в ЯР имеются два стержня радиуса ρ каждый, расположенных на одина-

Ф=Фрег+Фнерег, где Фрег – поток, обусловленный самим ЯР, Фнерег – поток, обусловленный стержнем.

125

Так как влияние высоты отсутствует (стержни полностью опущены), то перейдем к полярным координатам, введя азимутальный угол φ. Тогда представим регулярную часть потока как суперпозицию функций Бесселя.

n

Нерегулярная часть потока будет описываться двумя слагаемыми, связанными со стержнями.

Φрег1 Y0 B r Φрег2 Y0 B r

Таким образом, поток нейтронов в произвольной точке равен

n

Видно, что регулярное решение связано с центром ЯР, а нерегулярное решение – с центрами стержней (имеем три системы координат). Для дальнейших расчетов необходимо связать системы координат. Эту связь произведем с помощью теории сложения в полярной системе координат, эти теоремы дают разложение цилиндрической функции в ряд

Аналогично будет и для Y0(B'r'').

В рассматриваемом случае R>a, следовательно, при использовании граничного условия Ф(R)=0, необходимо применить выражение (4):

An Jn B R 2Jn B a Yn B R ein 0

Так как поток на границе ЯР обращается в нуль при всех φ, то имеем:

126

Проанализируем (5).

1)множитель Jn(B'a). При a=0 все значение Jn(0)=0, кроме одного J0(B'a)=1.

2)знаменатель Jn(B'R). Если B'→B, то J0(B'R)→0, Аn→∞, все остальные значения Jn(B'R) значительно меньше. Таким образом, член с n=0 в регулярной части является основным и если ограничится им, то имеем:

Φрег 2J0 B a Y0 B R ei 0 J0 B r J0 B R

Проведем преобразования, аналогичные тем, которые проводили с центральным стержнем: разложим в ряд Тейлора функции Y0(B'R) и J0(B'R) вблизи т. В:

Y0 B R 0,51

J0(B R) 0,519R(B B) 0,519R B

Таким образом, окончательно получаем:

Рассмотрим граничное условие на границе первого стержня

Φ( эф1 ) 0

Вэтом случае r=a, r 2a , r эф и выражение (6) примет следующий вид: