ФТЯР ЛЕКЦИИ

107

так как при наступлении критического состояния она обращается в нуль.. Этот параметр определяется экспериментально измерением потоков тепловых нейтронов внутри системы в нескольких точках. Сначала проводят измерения без топлива (только при наличии источника нейтронов), определяя величину S, а потом в этих же точках при наличии топлива. Отношение двух полученных значений дает искомое умножение. После чего небольшими ступеньками изменяют состояние системы (увеличивают размер или добавляют топливо). И снова определяют умножение. По полученным экспериментальным данным строят за-

висимость 1F от изменяемого параметра.

подкритических системах. Наконец, можно проверить полученные результаты, достроив сборку до критических параметров и показав, что ЦРД может поддерживаться в отсутствии первичного источника.

108

На форму кривой влияют и другие факторы: тип источника, его спектральные характеристики, характеристики детектора и др.

5.8.2 Экспоненциальные методы

Метод обратного умножения может применяться для ЯР, имеющих относительно малые размеры. Например, ЯР с обогащенным топливом, с водяным теплоносителем. Он непригоден для ЯР на природном U с C- или D2O- замедлителем, когда количества материалов в критическом состоянии достигают нескольких тонн, так как нет возможности в условиях лабораторий проводить достройку таких систем. В этом случае прибегают к экспоненциальным опытам. Одним из самых распространенных из них является метод экспоненциальной призмы.

109

6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЯЮЩИХ СТЕРЖНЕЙ

До настоящего момента мы рассматривали ЯР, находящиеся в критическом состоянии. В реальности имеется необходимость изменять состояние ЯР, т.е. управлять ЯР. Основной принцип управления состоит в изменении kэф с целью перевода ЯР в под-, над- и критическое состояние в зависимости от необходимости, а также осуществления пуска, остановки ЯР, перевода его с одного уровня мощности и др. Кроме того, kэф меняется без постороннего вмешательства с течением времени работы из-за выгорания топлива, накопления продуктов деления (отравление, шлакование), изменений температуры. Наконец, даже при работе в стационарном режиме в ЯР постоянно происходят локальные отклонения kэф от 1. Все эти изменения kэф должны быть каким-то образом скомпенсированы.

Для этой цели в любом ЯР имеется независимая система управления и защиты (СУЗ), предназначенная для изменения kэф. Основной ее частью являются рабочие органы. Чаще всего – это подвижные цилиндрические поглощающие стержни.

Рассмотрим принцип действия стержней. Для этого воспользуемся общим соотношением для коэффициента размножения kэф= k∞∙P, где введение стержня влияет на оба множителя. Во-первых, введение стержня увеличивает Σа активной зоны, причем не в топливе, что приводит к уменьшению Θ, следовательно, падает k∞ и, соответственно, kэф. Во-вторых, введение стержня изменяет форму ЯР, так как появляется новая граница, через которую происходит утечка, следовательно утечка увеличивается, а вероятность ее избежать P уменьшается и, соответственно, уменьшается kэф.

По своему назначению стержни СУЗ делятся на ряд групп:

стержни регулирования: изменение мощности (в т.ч. пуск и остановка) ЯР, а также компенсация малых отклонений от критичности, вызванных случайными колебаниями параметров ЯР, например, температуры теплоносителя.

компенсирующие стержни: компенсация избыточной реактивности топлива (реактивность – степень отклонения kэф от 1), медленно уменьшающейся во времени в результате выгорания.

110

стержни аварийной защиты: быстрое прекращение процесса деления ядер (или уменьшение скорости деления) в случаях, когда развитие каких-либо процессов во времени привело бы к аварии.

Деление стержней на группы условно и может изменяться в процессе работы. Как уже отмечалось, основной формой стержней является цилиндр. Однако

существуют и другие формы: цилиндры сплошные и полые, пластинчатые, крестообразные. Их количество в ЯР может быть от нескольких штук до нескольких десятков. Материал стержней обычно бор или борсодержащие материалы,

Нf, Cd, Eu и др.

Необходимо отметить, что стержни – не единственный способ управления величиной kэф. Например, в ВВЭР помимо стержней для управления используются специальные кассеты, представляющие собой сборку, состоящую из поглотителя (верхняя часть) и топливного блока (нижняя). Кроме того, в ВВЭР используются выгорающие поглотители, а также борное регулирование.

Количественной характеристикой, показывающей степень влияния стержня на нейтронно-физические характеристики АЗ, является эффективность стержня, которая представляет собой изменение kэф при изменении положения стержня (введение, выведение, изменение глубины погружения и т.д.) – kэф. Таким обра-

зом, основной целью теории управляющих стержней является определение эффективности стержней управления (каждого по отдельности или их совокупности).

Несмотря на различие стержней по назначению и конструкции принцип их расчета один и тот же. Поэтому рассмотрим расчет ЯР цилиндрической формы с цилиндрическими стержнями (как самый распространенный тип). Причем ЯР без отражателя. При наличии отражателя анализ лишь усложняется. Кроме того, часто используют расчетную модель – эквивалентный гомогенный ЯР. Для расчетов используем диффузионное уравнение. Хотя вблизи сильного поглотителя условия применимости диффузионных уравнений не выполняются, но эту трудность обходят с помощью задания эффективных граничных условий.

111

6.1 Задание граничных условий при расчете стержней регулирования

Большое значение при расчете ЯР со стержнями придается заданию граничных условий. Введем понятие степени черноты стержня. Это величина, характеризующая поглощающую способность стержня и представляющую собой отношение количества нейтронов, поглощенных стержнем в единицу времени единицей поверхности, к количеству нейтронов, упавших на единицу поверхности стержня в единицу времени. Степень черноты является функцией энергии падающих нейтронов. Поэтому в зависимости от энергии нейтронов один и тот же стержень может иметь разную степень черноты. Для одной энергии нейтронов можно различить два крайних случая: «прозрачный» стержень, не поглощающий нейтроны данной энергии, и «черный» стержень, поглощающий все падающие на его поверхность нейтроны. В реакторах на тепловых нейтронах материалы стержней имеют большие значения Σа, например, σa(B10) составляет величину более 3500 б. Поэтому с хорошей точностью такие стержни можно считать «черными» для тепловых нейтронов.

тепловых нейтронов вблизи стержня радиусом ρ.

Нейтроны поглощаются в тонком поверхностном слое стержня. Пунктирной линией показаны линейная экстраполяция внешнего потока вглубь стержня, где мы считаем, что поток обращается в 0. Точка, где поток обращается в 0, определяет эффективный радиус стержня ρэф. Величина d=ρ – ρэф называется длиной экстраполяции. Как известно, при ρ→∞ (плоская граница) d=0,71 λtr. При ρ→0 (очень тонкий стержень) d=4/3 λtr.

Граничные условия при решении задач с «черным» стержнем можно задать двумя способами:

112

1. Граничное условие на эффективной границе стержня: на эффективном радиусе стержня плотность потока нейтронов обращение в ноль Ф (ρэф)=0

Задание граничных условий того или другого вида зависит от размеров стержня. Если стержень толстый ρ>> d, то ρ близок к ρэф и граничное условие может быть задано по первому способу. Для тонкого стержня в таком виде граничное условие не имеет смысла. Например, если ρ=1,5 см и стержень находится в графите λtr=2,7 см. то d≈3,6 см, следовательно, ρэф<0. Понятно, что в этом случае необходим второй способ задания граничных условий и требуется как можно более точное значение d. Необходимо отметить, что в больших ЯР стержни можно считать тонкими.

6.2 Эффективность центрального черного стержня в цилиндрическом ЯР

2. Граничные условия на границе «стержень-АЗ» (r=ρ):

113

Φ( эф) 0 (3)

3.0≤ Ф <∞.

Решение такой задачи было проведено ранее на основании метода разделения пе-

ременных.

r,z r r

r C1J0(rBr ) C2Y0 (Br r)

z A cos(Bz z).

Тем не менее, вследствие наличия стержня будут иметь место различия. Введение стержня на всю высоту ЯР не меняет форму ЯР по оси z, поэтому осевая со-

ставляющая геометрического параметра Bz останется неизменной Bz H . Из-

менение формы ЯР вследствие введения стержня будет наблюдаться по радиусу ЯР, следовательно, радиальная составляющая геометрического параметра пре-

терпит изменения Br Br 2,405R . Поэтому рассмотрим только радиальное распределение:

B'2 – геометрический параметр ЯР со стержнем.

Для решения (4) воспользуемся граничным условием (2), выразим константу С2 через константу С1 и получившееся подставим в (4)

C1J0 (RBr ) C2Y0 (RBr ) 0 C2 C1 J0 (Br R) Y0 (Br R)

Для решения (5) используем граничное условие (3) (сокращая на C1) и получим:

Из (6) получим условие следующего вида:

114

которое является условием критичности гомогенного ЯР без отражателя с центральным черным стержнем в одногрупповом приближении.

Определим эффективность стержня. Исходным положением для этого является тот факт, что стержень изменяет форму ЯР (вводится дополнительная граница). Таким образом, эффективность стержня можно связать с изменением геометрического параметра ЯР при переходе от случая без стержня (Br2 ) к слу-

чаю при наличии стержня (Br 2 ). Выразим эффективность стержня через разность указанных геометрических параметров. Для этого запишем выражение для kэф для ЯР без стержня

Для критического состояния в отсутствии замедления условие (8) примет вид:

Будем считать, что введение стержня не должно нарушать критического состояния ЯР. Таким образом, изменение формы ЯР из-за введения стержня должно быть скомпенсировано изменением k∞. Пусть это изменение равно δkэф. Эту величину и будем считать мерой эффективности стержня. Тогда если δkэф мало, то можем перейти в выражении (9) к дифференциалам (продифференцировать это выражение):

Таким образом, δkэф =L2δB2. Преобразуем это выражение

115

где С – константа Эйлера, С=0,5772…

Вследствие малости аргумента Br эф ограничимся одним членом разложения.

Тогда Y0 (Br эф) 2 (0,577 ln Br 2эф )J0 (Br эф)

Учитывая, что 0,577 ln1,781 и J0 (Br эф) 1, получаем

Y0 (Br эф) 2 ln1,781 ln Br эф ln2 2 ln1,781 2Br эф

116

3. J0(Br R). Для этого множителя воспользуемся разложением в ряд Тейлора. В общем случае разложение функции f(x) в ряд в окрестности т. a имеет вид:

f (x) f (a) x a f (a) x a 2

1! 2!

Разложим функцию J0(Br R) в ряд Тейлора вблизи т. Вr

J0 (Br R) J0 (Br R) (Br Br )J0 (Br R) 12 Br Br 2 J0 (Br R) ...

Так как Br 2,405R , то первое слагаемое в разложении

J0 (Br R) J0 2,405R R J0 2,405 0

Учитывая, что Br и Вr различаются слабо, то ограничимся первым ненулевым

4. Y0(Br R). По аналогии со случаем 3 разложим в ряд Тейлора функцию Y0(Br R) вблизи т. Вr и вследствие малости Br Br ограничимся первым членом разложения

Полученные выражения (13) – (16) подставим в условие критичности цилиндрического ЯР с центральным черным стержнем (7) и выразим Br .

Подставив (17) в условие (12) для эффективности стержня получаем